La historia de los logaritmos es la historia de una correspondencia (en términos modernos, un isomorfismo de grupo ) entre la multiplicación en los números reales positivos y la adición en la línea de números reales que se formalizó en la Europa del siglo XVII y se usó ampliamente para simplificar el cálculo hasta la llegada de la computadora digital. Los logaritmos neperianos se publicaron por primera vez en 1614. EW Hobson lo llamó "uno de los mayores descubrimientos científicos que el mundo haya visto". [1] : p.5 Henry Briggs introdujo los logaritmos comunes (base 10) , que eran más fáciles de usar. Las tablas de logaritmos se publicaron en muchas formas durante cuatro siglos. La idea de los logaritmos también se utilizó para construir la regla de cálculo , que se volvió omnipresente en la ciencia y la ingeniería hasta la década de 1970. Un gran avance que generó el logaritmo natural fue el resultado de una búsqueda de una expresión de área contra una hipérbola rectangular , y requirió la asimilación de una nueva función en las matemáticas estándar.
El método de los logaritmos fue propuesto públicamente por primera vez por John Napier en 1614, en su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Descripción del maravilloso canon de los logaritmos ). [1] El libro contiene cincuenta y siete páginas de material explicativo y noventa páginas de tablas de funciones trigonométricas y sus logaritmos naturales . Estas tablas simplificaron enormemente los cálculos en trigonometría esférica , que son fundamentales para la astronomía y la navegación celeste y que suelen incluir productos de senos, cosenos y otras funciones. Napier también describió otros usos, como la resolución de problemas de proporciones. [2]
John Napier escribió un volumen aparte en el que describe cómo construyó sus tablas, pero postergó su publicación para ver cómo sería recibido su primer libro. John murió en 1617. Su hijo, Robert, publicó el libro de su padre, Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ( Construcción del maravilloso canon de logaritmos ), con añadidos de Henry Briggs , en 1619 en latín [3] y luego en 1620 en inglés. [4]
Napier concibió el logaritmo como la relación entre dos partículas que se mueven a lo largo de una línea, una a velocidad constante y la otra a una velocidad proporcional a su distancia desde un punto final fijo. Si bien en términos modernos, la función logaritmo se puede explicar simplemente como la inversa de la función exponencial o como la integral de 1/ x , Napier trabajó décadas antes de que se inventara el cálculo, se comprendiera la función exponencial o Descartes desarrollara la geometría de coordenadas . [1] : pp.6–8 Napier fue pionero en el uso de un punto decimal en el cálculo numérico, algo que no se volvió común hasta el siglo siguiente. [1] : pp.21–23
El nuevo método de cálculo de Napier obtuvo una rápida aceptación. Johannes Kepler lo elogió; Edward Wright , una autoridad en navegación, tradujo la Descriptio de Napier al inglés al año siguiente. [2] Briggs extendió el concepto a la base 10, más conveniente. [1] : pp.16–18
Como el logaritmo común de diez es uno, el de cien es dos y el de mil es tres, el concepto de logaritmo común es muy cercano al sistema de numeración decimal-posicional. Se dice que el logaritmo común tiene base 10, pero la base 10.000 es antigua y todavía común en el este de Asia . En su libro El contador de arena , Arquímedes utilizó la miríada como base de un sistema numérico diseñado para contar los granos de arena en el universo. Como se señaló en 2000: [5]
En 1616, Henry Briggs visitó a John Napier en Edimburgo para discutir el cambio sugerido a los logaritmos de Napier. Al año siguiente, volvió a visitarlo con un propósito similar. Durante estas conferencias, se acordó la alteración propuesta por Briggs y, a su regreso de su segunda visita a Edimburgo, en 1617, publicó la primera quiliada de sus logaritmos.
En 1624, Briggs publicó su Arithmetica Logarithmica , en folio, una obra que contenía los logaritmos de treinta mil números naturales con catorce decimales (1-20.000 y 90.001 a 100.000). Esta tabla fue ampliada posteriormente por Adriaan Vlacq , pero a 10 decimales, y por Alexander John Thompson a 20 decimales en 1952.
Briggs fue uno de los primeros en utilizar métodos de diferencias finitas para calcular tablas de funciones. [6] [7] También completó una tabla de senos y tangentes logarítmicos para la centésima parte de cada grado hasta catorce lugares decimales, con una tabla de senos naturales hasta quince lugares y las tangentes y secantes para los mismos hasta diez lugares, todas las cuales fueron impresas en Gouda en 1631 y publicadas en 1633 bajo el título de Trigonometria Britannica ; este trabajo fue probablemente un sucesor de su Logarithmorum Chilias Prima ("Los primeros mil logaritmos") de 1617, que dio una breve descripción de los logaritmos y una larga tabla de los primeros 1000 números enteros calculados hasta el decimocuarto lugar decimal.
En 1649, Alphonse Antonio de Sarasa , un antiguo alumno de Grégoire de Saint-Vincent , [8] relacionó los logaritmos con la cuadratura de la hipérbola, al señalar que el área A ( t ) bajo la hipérbola desde x = 1 hasta x = t satisface [9]
En un primer momento, la reacción al logaritmo hiperbólico de Saint-Vincent fue la continuación de los estudios de cuadratura de Christiaan Huygens (1651) [10] y James Gregory (1667). [11] Posteriormente, surgió una industria de elaboración de logaritmos llamada "logaritmotechnia", el título de las obras de Nicholas Mercator (1668), [12] Euclid Speidell (1688), [13] y John Craig (1710). [14]
Mediante el uso de la serie geométrica con su radio de convergencia condicional , una serie alternada llamada serie de Mercator expresa la función logaritmo en el intervalo (0,2). Como la serie es negativa en (0,1), el "área bajo la hipérbola" debe considerarse negativa allí, por lo que un área con signo determina el logaritmo hiperbólico.
El historiador Tom Whiteside describió la transición a la función analítica de la siguiente manera: [15]
Leonhard Euler trató el logaritmo como un exponente de un número determinado llamado base del logaritmo. Observó que el número 2,71828 y su recíproco proporcionaban un punto en la hipérbola xy = 1 tal que un área de una unidad cuadrada se encuentra debajo de la hipérbola, a la derecha de (1,1) y por encima de la asíntota de la hipérbola. Luego llamó al logaritmo, con este número como base, logaritmo natural .
Como señaló Howard Eves , "una de las anomalías en la historia de las matemáticas es el hecho de que los logaritmos se descubrieron antes de que se usaran los exponentes". [16] Carl B. Boyer escribió: "Euler fue uno de los primeros en tratar los logaritmos como exponentes, de la manera que ahora nos resulta tan familiar". [17]
Los babilonios , en algún momento entre 2000 y 1600 a. C., pueden haber inventado el algoritmo de multiplicación de cuartos de cuadrado para multiplicar dos números utilizando solo la suma, la resta y una tabla de cuartos de cuadrado. [18] [19] Por lo tanto, dicha tabla tenía un propósito similar a las tablas de logaritmos, que también permiten calcular la multiplicación utilizando la suma y las búsquedas en la tabla. Sin embargo, el método de cuartos de cuadrado no podía usarse para la división sin una tabla adicional de recíprocos (o el conocimiento de un algoritmo lo suficientemente simple para generar recíprocos ). Se utilizaron grandes tablas de cuartos de cuadrado para simplificar la multiplicación precisa de números grandes desde 1817 en adelante hasta que esto fue reemplazado por el uso de computadoras. [ cita requerida ]
El matemático indio Virasena trabajó con el concepto de ardhaccheda: el número de veces que un número de la forma 2n puede ser reducido a la mitad. Para potencias exactas de 2 , esto es igual al logaritmo binario, pero difiere del logaritmo para otros números y da orden 2-ádico en lugar del logaritmo. [20] [21]
Michael Stifel publicó Arithmetica integra en Nuremberg en 1544, que contiene una tabla [22] de números enteros y potencias de 2 que se ha considerado una versión temprana de una tabla de logaritmos binarios . [23] [24]
En los siglos XVI y principios del XVII se utilizaba un algoritmo llamado prostaféresis para aproximar la multiplicación y la división. Este algoritmo utilizaba la identidad trigonométrica
o algo similar para convertir las multiplicaciones en sumas y búsquedas en tablas. Sin embargo, los logaritmos son más sencillos y requieren menos trabajo. Se puede demostrar mediante la fórmula de Euler que las dos técnicas están relacionadas.
El matemático suizo Jost Bürgi construyó una tabla de progresiones que puede considerarse una tabla de antilogaritmos [25] independientemente de John Napier , cuya publicación (1614) era conocida en la época en que Bürgi publicó a instancias de Johannes Kepler . Sabemos que Bürgi tenía alguna forma de simplificar los cálculos alrededor de 1588, pero lo más probable es que esta forma fuera el uso de la prostaféresis, y no el uso de su tabla de progresiones que probablemente se remonta a alrededor de 1600. De hecho, Wittich, que estuvo en Kassel de 1584 a 1586, trajo consigo el conocimiento de la prostaféresis , un método por el cual las multiplicaciones y divisiones pueden reemplazarse por sumas y restas de valores trigonométricos. Este procedimiento logra lo mismo que los logaritmos lograrán unos años más tarde.
El método de logaritmos fue propuesto públicamente por primera vez por John Napier en 1614, en un libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio . [26] [27] [28]
Johannes Kepler , quien utilizó ampliamente tablas de logaritmos para compilar sus Efemérides y por lo tanto las dedicó a Napier, [29] comentó:
... el acento en el cálculo llevó a Justus Byrgius [Joost Bürgi] por el camino de estos mismos logaritmos muchos años antes de que apareciera el sistema de Napier; pero... en lugar de criar a su hijo para el bien público, lo abandonó en el momento del nacimiento.
— Johannes Kepler [30] , Tablas Rudolfinas (1627)
Napier imaginó un punto P que viaja a través de un segmento de línea P0 hasta Q. Partiendo de P0, con una cierta velocidad inicial, P viaja a una velocidad proporcional a su distancia a Q, lo que hace que P nunca llegue a Q. Napier yuxtapuso esta figura con la de un punto L que viaja a lo largo de un segmento de línea ilimitado, comenzando en L0, y con una velocidad constante igual a la velocidad inicial del punto P. Napier definió la distancia de L0 a L como el logaritmo de la distancia de P a Q. [31]
Mediante restas repetidas, Napier calculó (1 − 10 −7 ) L para L comprendidos entre 1 y 100. El resultado para L = 100 es aproximadamente 0,99999 = 1 − 10 −5 . Luego, Napier calculó los productos de estos números con 10 7 (1 − 10 −5 ) L para L comprendidos entre 1 y 50, e hizo lo mismo con 0,9998 ≈ (1 − 10 −5 ) 20 y 0,9 ≈ 0,995 20 . [32] Estos cálculos, que le ocuparon 20 años, le permitieron dar, para cualquier número N comprendido entre 5 y 10 millones, el número L que resuelve la ecuación.
Napier primero llamó a L un "número artificial", pero luego introdujo la palabra "logaritmo" para referirse a un número que indica una proporción: λόγος ( logos ) significa proporción, y ἀριθμός ( arithmos ) significa número. En la notación moderna, la relación con los logaritmos naturales es: [33]
donde la aproximación muy cercana corresponde a la observación de que
La invención fue rápidamente acogida con gran aceptación. Los trabajos de Bonaventura Cavalieri (Italia), Edmund Wingate (Francia), Xue Fengzuo (China) y el Chilias logarithmorum de Johannes Kepler (Alemania) ayudaron a difundir aún más el concepto. [34]
Alrededor de 1730, Leonhard Euler definió la función exponencial y el logaritmo natural mediante [35] [36] [37]
En su libro de texto de 1748 Introducción al análisis del infinito , Euler publicó el enfoque ahora estándar para los logaritmos a través de una función inversa : En el capítulo 6, "Sobre exponenciales y logaritmos", comienza con una base constante a y analiza la función trascendental Entonces su inversa es el logaritmo:
Las tablas matemáticas que contienen logaritmos comunes (base 10) se usaron ampliamente en los cálculos antes de la llegada de las computadoras y las calculadoras , no solo porque los logaritmos convierten los problemas de multiplicación y división en problemas de suma y resta mucho más fáciles, sino por una propiedad adicional que es exclusiva de la base 10 y resulta útil: cualquier número positivo se puede expresar como el producto de un número del intervalo [1,10) y una potencia entera de 10. Esto se puede imaginar como desplazar el separador decimal del número dado hacia la izquierda, lo que produce un exponente positivo, y hacia la derecha, lo que produce un exponente negativo de 10. Solo los logaritmos de estos números normalizados (aproximados por un cierto número de dígitos), que se llaman mantisas , necesitan tabularse en listas con una precisión similar (un número similar de dígitos). Estas mantisas son todas positivas y están encerradas en el intervalo [0,1) . El logaritmo común de cualquier número positivo dado se obtiene sumando su mantisa al logaritmo común del segundo factor. Este logaritmo se llama característica del número dado. Dado que el logaritmo común de una potencia de 10 es exactamente el exponente, la característica es un número entero, lo que hace que el logaritmo común sea excepcionalmente útil para tratar con números decimales. Para números menores que 1, la característica hace que el logaritmo resultante sea negativo, como se requiere. [38] Véase logaritmo común para obtener detalles sobre el uso de características y mantisas.
Michael Stifel publicó Arithmetica integra en Nuremberg en 1544, que contiene una tabla [39] de números enteros y potencias de 2 que se ha considerado una versión temprana de una tabla logarítmica. [23] [24]
La primera tabla de logaritmos publicada fue en Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio de John Napier de 1614. [1] El libro contenía cincuenta y siete páginas de material explicativo y noventa páginas de tablas de funciones trigonométricas y sus logaritmos naturales . [27]
El matemático inglés Henry Briggs visitó a Napier en 1615 y propuso una nueva escala de los logaritmos de Napier para formar lo que hoy se conoce como logaritmos comunes o de base 10. Napier delegó en Briggs el cálculo de una tabla revisada y más tarde publicaron, en 1617, Logarithmorum Chilias Prima ("Los primeros mil logaritmos"), que ofrecía una breve descripción de los logaritmos y una tabla para los primeros 1000 números enteros calculados hasta el decimocuarto decimal.
En 1624, la Arithmetica Logarithmica de Briggs apareció en folio como una obra que contenía los logaritmos de 30.000 números naturales con catorce decimales (1-20.000 y 90.001 a 100.000). Esta tabla fue ampliada posteriormente por Adriaan Vlacq , pero a 10 decimales, y por Alexander John Thompson a 20 decimales en 1952.
Briggs fue uno de los primeros en utilizar métodos de diferencias finitas para calcular tablas de funciones. [6] [7]
Más tarde se descubrió que la tabla de Vlacq contenía 603 errores, pero "no se puede considerar que sea un gran número, si tenemos en cuenta que la tabla era el resultado de un cálculo original y que más de 2.100.000 cifras impresas están sujetas a errores". [40] Una edición de la obra de Vlacq, que contenía muchas correcciones, fue publicada en Leipzig en 1794 bajo el título Thesaurus Logarithmorum Completus por Jurij Vega .
La tabla de siete cifras de François Callet ( París , 1795), en lugar de detenerse en 100.000, proporcionó los logaritmos de ocho cifras de los números entre 100.000 y 108.000, con el fin de disminuir los errores de interpolación , que eran mayores en la primera parte de la tabla, y esta adición se incluyó generalmente en las tablas de siete cifras. La única ampliación importante publicada de la tabla de Vlacq fue realizada por Edward Sang en 1871, cuya tabla contenía los logaritmos de siete cifras de todos los números por debajo de 200.000.
Briggs y Vlacq también publicaron tablas originales de los logaritmos de las funciones trigonométricas . Briggs completó una tabla de senos logarítmicos y tangentes logarítmicas para la centésima parte de cada grado hasta catorce lugares decimales, con una tabla de senos naturales hasta quince lugares y las tangentes y secantes para los mismos hasta diez lugares, todas las cuales fueron impresas en Gouda en 1631 y publicadas en 1633 bajo el título de Trigonometria Britannica . Las tablas de logaritmos de funciones trigonométricas simplifican los cálculos manuales donde una función de un ángulo debe ser multiplicada por otro número, como suele ser el caso.
Además de las tablas mencionadas anteriormente, se construyó una gran colección, llamada Tables du Cadastre, bajo la dirección de Gaspard de Prony , mediante un cálculo original, bajo los auspicios del gobierno republicano francés de la década de 1790. Esta obra, que contenía los logaritmos de todos los números hasta 100.000 en diecinueve lugares, y de los números entre 100.000 y 200.000 en veinticuatro lugares, existe solo en manuscrito, "en diecisiete enormes folios", en el Observatorio de París. Se comenzó en 1792, y "la totalidad de los cálculos, que para asegurar una mayor precisión se realizaron por duplicado, y los dos manuscritos posteriormente cotejados con cuidado, se completaron en el breve espacio de dos años". [41] La interpolación cúbica podría usarse para encontrar el logaritmo de cualquier número con una precisión similar.
Para diferentes necesidades se han compilado tablas de logaritmos que abarcan desde pequeños manuales hasta ediciones de varios volúmenes: [42]
La regla de cálculo se inventó alrededor de 1620-1630, poco después de que John Napier publicara el concepto de logaritmo . Edmund Gunter de Oxford desarrolló un dispositivo de cálculo con una sola escala logarítmica; con herramientas de medición adicionales, podía usarse para multiplicar y dividir. La primera descripción de esta escala fue publicada en París en 1624 por Edmund Wingate (c.1593-1656), un matemático inglés, en un libro titulado L'usage de la reigle de percentage en l'arithmetique & geometrie . El libro contiene una escala doble, logarítmica en un lado, tabular en el otro. En 1630, William Oughtred de Cambridge inventó una regla de cálculo circular y en 1632 combinó dos reglas Gunter portátiles para hacer un dispositivo que es reconocible como la regla de cálculo moderna. Al igual que su contemporáneo en Cambridge, Isaac Newton , Oughtred enseñó sus ideas en privado a sus estudiantes. Al igual que Newton, se vio envuelto en una polémica virulenta sobre la prioridad, con su antiguo alumno Richard Delamain y las pretensiones de Wingate. Las ideas de Oughtred no se hicieron públicas hasta que su alumno William Forster publicó sus ideas en 1632 y 1653.
En 1677, Henry Coggeshall creó una regla plegable de dos pies para medir la madera, llamada regla de cálculo Coggeshall , ampliando el uso de la regla de cálculo más allá de la investigación matemática.
En 1722, Warner introdujo las escalas de dos y tres décadas, y en 1755 Everard incluyó una escala invertida; una regla de cálculo que contiene todas estas escalas se conoce habitualmente como regla "polifásica".
En 1815, Peter Mark Roget inventó la regla de cálculo logarítmica, que incluía una escala que mostraba el logaritmo del logaritmo. Esto permitía al usuario realizar cálculos directamente con raíces y exponentes. Esto era especialmente útil para potencias fraccionarias.
En 1821, Nathaniel Bowditch describió en el American Practical Navigator una "regla deslizante" que contenía escalas de funciones trigonométricas en la parte fija y una línea de logaritmos-senos y logaritmos-tandas en la parte deslizante utilizada para resolver problemas de navegación.
En 1845, Paul Cameron de Glasgow introdujo una regla de cálculo náutica capaz de responder a cuestiones de navegación, incluidas la ascensión recta y la declinación del sol y las estrellas principales. [50]
En 1859, el teniente de artillería francés Amédée Mannheim creó una forma más moderna de regla de cálculo , "que tuvo la suerte de que su regla fuera fabricada por una firma de reputación nacional y de que la adoptara la artillería francesa". Fue en esa época cuando la ingeniería se convirtió en una profesión reconocida, lo que dio lugar a un uso generalizado de la regla de cálculo en Europa, pero no en los Estados Unidos. Allí, la regla cilíndrica de Edwin Thacher se impuso después de 1881. La regla dúplex fue inventada por William Cox en 1891 y fue producida por Keuffel and Esser Co. de Nueva York. [51] [52]
En 1914, en el 300 aniversario de las tablas de Napier, EW Hobson describió los logaritmos como "un gran instrumento que ahorra trabajo para el uso de todos aquellos que tienen la ocasión de realizar cálculos numéricos extensos" y comparó su importancia con la "invención india" de nuestro sistema numérico decimal. [1] : p. 5 El método de cálculo mejorado de Napier fue adoptado pronto en Gran Bretaña y Europa. Kepler dedicó su Ephereris de 1620 a Napier, felicitándolo por su invención y sus beneficios para la astronomía. [1] : p. 16 Edward Wright , una autoridad en navegación celestial, tradujo la Descriptio latina de Napier al inglés en 1615, poco después de su publicación. [2] Briggs extendió el concepto a la base 10 más conveniente, o logaritmo común . [1] : pp.16–18
“Probablemente ninguna obra haya influido en la ciencia en su conjunto, y en las matemáticas en particular, de manera tan profunda como este modesto librito [la Descriptio]. Abrió el camino para la abolición, de una vez por todas, de los procesos infinitamente laboriosos, más aún, de pesadilla, de la división y la multiplicación largas, de hallar la potencia y la raíz de los números.” [53]
La función logarítmica sigue siendo un elemento básico del análisis matemático, pero las tablas impresas de logaritmos gradualmente perdieron importancia en el siglo XX a medida que las calculadoras mecánicas y, más tarde, las calculadoras electrónicas de bolsillo y las computadoras asumieron los cálculos que requerían alta precisión. [54] La introducción de calculadoras científicas portátiles en la década de 1970 puso fin a la era de las reglas de cálculo. [55] Los gráficos de escala logarítmica se utilizan ampliamente para mostrar datos con un amplio rango. El decibel , una unidad logarítmica, también se usa ampliamente.
En la época de G. Darwin, las tablas de logaritmos venían en diferentes tamaños.
![{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/259d10c33d35f3017b2e39b6ac29f444f38ae291)
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},\\[6pt]\ln(x)&=\lim _{n\rightarrow \infty }n(x^{1/n}-1).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce99b5c7839127c5fa09b2bb7699e96df1bc71cf)
