Además de ser la suma de los únicos números enteros positivos consecutivos que también son números primos, 2 + 3 , también es el único número que forma parte de más de un par de primos gemelos , ( 3 , 5) y (5, 7 ). ; [5] [6] esto lo convierte en el primer primo equilibrado con espacios primos del mismo tamaño encima y debajo (de 2). [7]
5 es también el primer primo seguro [8] donde para un primo también es primo ( 2 ), y el primer primo bueno , ya que es el primer número primo cuyo cuadrado ( 25 ) es mayor que el producto de dos primos cualesquiera en el el mismo número de posiciones antes y después en la secuencia de números primos (es decir, 3 × 7 = 21 y 11 × 2 = 22 son menores que 25). [9] 11, el quinto número primo, es el siguiente primo bueno, que también forma el primer par de primos sexys con 5. [10] 5 es el segundo primo de Fermat de la forma , de un total de cinco primos de Fermat conocidos. [11]
Clases de números enteros
números primos de wilson
5 es también el primero de tres primos de Wilson conocidos (5, 13, 563), [12] donde el cuadrado de un primo se divide en el caso de ,
5 es también un número tetraédrico centrado , que precede a la secuencia: 1, 5 , 15, 35, 69, ... [19] Todo número tetraédrico centrado con índice 2, 3 o 4 módulo 5 es divisible por 5.
5 es también un número cuadrado centrado , que precede a la secuencia: 1, 5 , 13, 25, 41, ... [21] El quinto número cuadrado o 5 2 es 25 , que presenta las proporciones de los dos más pequeños (3, 4, 5 ) y ( 5 , 12, 13) ternas pitagóricas primitivas . [22]
El quinto número pentagonal y tetraédrico es 35 , que es igual a la suma de los primeros cinco números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15. [23] En la secuencia de números pentatópicos que comienzan desde el primero (o quinto) celda de la quinta fila del triángulo de Pascal (de izquierda a derecha o de derecha a izquierda), los primeros términos son: 1, 5, 15, 35, 70 , 126, 210, 330, 495,... [24]
Se conjetura que el cinco es el único número impar e intocable ; Si este es el caso, entonces cinco será el único número primo impar que no sea la base de un árbol alícuota. [25]
Donde cinco es el tercer número primo y el número impar, se conjetura que cada número impar mayor que cinco puede expresarse como la suma de tres números primos; Helfgott ha proporcionado una prueba de esto [26] (también conocida como la extraña conjetura de Goldbach ) que ya es ampliamente reconocida por los matemáticos, ya que aún se encuentra bajo revisión por pares . Por otro lado, todo número impar mayor que uno es la suma de como máximo cinco números primos (como límite inferior). [27]
En la conjetura de Collatz , 5 requiere cinco pasos para llegar a uno multiplicando los términos por tres y sumando uno si el término es impar (comenzando con cinco), [31] y dividiendo por dos si son pares: {5 ➙ 16 ➙ 8 ➙ 4 ➙ 2 ➙ 1}; el único otro número que requiere cinco pasos es 32, ya que 16 debe ser parte de dicho camino (consulte la imagen a la derecha para ver un mapa de órbitas para números impares pequeños). [32] [33]
Números de Pisot-Vijayaraghavan
En la secuencia de Fibonacci , que puede definirse en términos de la proporción áurea (ver, por ejemplo, la fórmula de Binet ), 5 es estrictamente el quinto número de Fibonacci ( , 1 , 1, 2, 3, 5 , 8 , 13, 21, 34, 55, 89, 144,...) — siendo la suma de 2 y 3 — [1] como el único número de Fibonacci mayor que 1 que es igual a su posición. En geometría plana, la relación entre un lado y una diagonal de un pentágono regular de cinco lados también es . De manera similar, 5 es un miembro de la secuencia de Perrin , donde 5 es tanto el quinto como el sexto número de Perrin , después de (2, 3, 2) y precedente (7, 17); [34] esta secuencia está asociada, en cambio, con la proporción plástica , el número de Pisot-Vijayaraghavan menos "pequeño" que no reemplaza la proporción áurea. [35] Esta proporción también está asociada con la secuencia Padovan (1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 , 7, 9, 12, 16, 21, 28, ...) donde 5 es el duodécimo miembro (y 12 el decimoquinto), en el que el −ésimo número Padovan satisface y [36] Manipulación de la secuencia de las vacas de Narayana que tiene relaciones en proporción con la proporción superáurea como el cuarto número más pequeño de Pisot-Vijayaraghavan cuyo valor es menor que el número áureo relación, tal que , cinco aparece como cuarto miembro: (1, 1, 4, 5 , 6, 10, 15, 21, 31, 46, 67, 98, 144,...). [37] [38] Por otro lado, el 5 forma parte de la secuencia de números de Pell como tercer miembro indexado, (0, 1, 2, 5 , 12, 29, 70, 169, 408, ...). [39] Estos números son aproximadamente proporcionales a las potencias del segundo número más pequeño de Pisot Vijayaraghavan después de , la proporción de plata (y análoga a los números de Fibonacci, como potencias de ), que aparece en el octágono regular .
Clases de permutación
Hay cinco clases de permutaciones de Ramsey contablemente infinitas , donde la edad de cada permutación homogénea contable forma una clase de objetos de Ramsey individual de modo que, para cada número natural y cada elección de objetos , no hay ningún objeto en el que haya coloración de todos los subobjetos. de isomorfo a existe un subobjeto monocromático isomorfo a . [40] : pp.1, 2 Aparte de , las cinco clases de permutaciones de Ramsey son las clases de: [40] : p.4
5 es el valor de la celda central del primer cuadrado mágico normal no trivial , llamado cuadrado Luoshu . Su matriz tiene una constante mágica , donde las sumas de sus filas, columnas y diagonales son todas iguales a quince. [41] Por otro lado, un cuadrado mágico normal [a] tiene una constante mágica . [42] 5 es también el valor de la celda central, el único hexágono mágico normal no trivial hecho de diecinueve celdas. [43] [b] La estrella mágica más pequeña es un pentagrama mágico de cinco puntas , único en el sentido de que su constante mágica más pequeña posible solo se puede lograr utilizando números enteros distintos . [44] [c]
Hay cinco álgebras de Lie excepcionales complejas : , , , y . El más pequeño de ellos, de dimensión real 28, puede representarse en un espacio complejo de cinco dimensiones y proyectarse como una bola que rueda encima de otra bola, cuyo movimiento se describe en un espacio de dos dimensiones. [71] es el más grande y contiene las otras cuatro álgebras de Lie como subgrupos , con una representación en la dimensión 496. Contiene una red asociada que se construye con ciento veinte icosianos unitarios cuaterniónicos que forman los vértices de los 600- celda , cuyas normas euclidianas definen una forma cuadrática en una estructura reticular isomorfa a la configuración óptima de esferas en ocho dimensiones. [72] Esta estructura reticular de empaquetamiento de esferas en 8 espacios está sostenida por la disposición del vértice del panal 5 21 , uno de los cinco panales euclidianos que admiten la definición original de Gosset de un panal semirregular , que incluye el panal cúbico alternado tridimensional. . [73] [74] El isomorfismo simple más pequeño que se encuentra dentro de grupos de Lie simples finitos es , [75] donde aquí representa grupos alternos y grupos de Chevalley clásicos . En particular, el grupo más pequeño que no tiene solución es el grupo alterno de cinco letras, que también es el grupo no abeliano simple más pequeño .
Grupos esporádicos
Este diagrama muestra las relaciones subcocientes de los veintiséis grupos esporádicos ; los cinco grupos de Mathieu forman la clase más simple (de color rojo).
Un centralizador de un elemento de orden 5 dentro del grupo esporádico más grande surge del producto entre el grupo esporádico Harada-Norton y un grupo de orden 5. [79] [80] Por sí solo, se puede representar usando generadores estándar que dictan además una condición donde . [81] [82] Esta condición también la tienen otros generadores que pertenecen al grupo Tetas , [83] el único grupo finito simple que es un grupo no estricto de tipo Lie que también puede clasificarse como esporádico. Además, sobre el campo con cinco elementos, tiene una representación de 133 dimensiones donde 5 actúa sobre un producto conmutativo pero no asociativo como un análogo modular de 5 del álgebra de Griess ♮ , [84] que se mantiene como su grupo de automorfismo .
Lista de cálculos básicos.
Propiedades decimales
Todos los múltiplos de 5 terminarán en 5 o , y las fracciones vulgares con 5 o 2 en el denominador no producen expansiones decimales infinitas porque son factores primos de 10 , la base.
En las potencias de 5, toda potencia termina en el número cinco, y a partir de 5 3 en adelante, si el exponente es impar , entonces la cifra de las centenas es 1 , y si es par, la cifra de las centenas es 6 .
Un número elevado a la quinta potencia siempre termina en el mismo dígito que .
Evolución del dígito árabe
La evolución del dígito occidental moderno para el número cinco se remonta al sistema indio de numeración, donde en algunas versiones anteriores, el número se parecía a variaciones del número cuatro, en lugar de "5" (como se representa hoy). ). Los imperios Kushana y Gupta en lo que hoy es la India tenían entre sí varias formas que no se parecen en nada a la cifra moderna. Posteriormente, las tradiciones árabes transformaron el dígito de varias maneras, produciendo formas que todavía eran similares al número cuatro, con similitudes al número tres; sin embargo, todavía a diferencia de los cinco modernos. [85] Fue a partir de esos dígitos que a los europeos finalmente se les ocurrió el moderno 5 (representado en los escritos de Durero, por ejemplo).
Mientras que en la mayoría de las tipografías modernas la forma del carácter del dígito 5 tiene un ascendente , en las tipografías con cifras de texto el glifo suele tener un descendente , como, por ejemplo, en.
En la pantalla de siete segmentos de una calculadora y un reloj digital, está representado por cinco segmentos en cuatro vueltas sucesivas de arriba a abajo, girando primero en el sentido contrario a las agujas del reloj, luego en el sentido de las agujas del reloj y viceversa. Es uno de los tres números, junto con el 4 y el 6, donde el número de segmentos coincide con el número.
La notación musical moderna utiliza un pentagrama musical formado por cinco líneas horizontales. [91] Una escala con cinco notas por octava se llama escala pentatónica . [92] Una quinta justa es la armonía más consonante y es la base de la mayoría de los sistemas de afinación occidentales. [93] En armónicos , el quinto parcial (o cuarto sobretono ) de una fundamental tiene una relación de frecuencia de 5:1 a la frecuencia de esa fundamental. Esta relación corresponde al intervalo de 2 octavas más una tercera mayor pura. Así, el intervalo de 5:4 es el intervalo de tercera pura. Un acorde de tríada mayor , cuando se toca con entonación justa (el caso más frecuente en el canto de un conjunto vocal a capella), contendrá una tercera mayor pura.
Cinco es el número más bajo posible que puede ser el número superior de un compás con un compás asimétrico .
Religión
judaísmo
El Libro de Números es uno de los cinco libros de la Torá ; los otros son los libros de Génesis , Éxodo , Levítico y Deuteronomio . Se les llama colectivamente los Cinco Libros de Moisés , el Pentateuco ( en griego , "cinco recipientes", en referencia a las cajas de rollos en las que se guardaban los libros), o Humash ( חומש , en hebreo , "quinto"). [94] El Khamsa , un símbolo antiguo con forma de mano con cuatro dedos y un pulgar, es utilizado como amuleto protector por los judíos ; ese mismo símbolo también es muy popular en la cultura árabe , conocido por proteger de la envidia y el mal de ojo . [95]
cristianismo
Tradicionalmente hay cinco llagas de Jesucristo en el cristianismo : las llagas de los clavos en las dos manos de Cristo, las llagas de los clavos en los dos pies de Cristo y la herida de lanza de Cristo (respectivamente en las cuatro extremidades del cuerpo y en la cabeza). [96]
El número cinco era un número simbólico importante en el maniqueísmo , con seres celestiales, conceptos y otros a menudo agrupados en conjuntos de cinco.
Alquimia
Según filósofos griegos antiguos como Aristóteles , el universo se compone de cinco elementos clásicos : agua , tierra , aire , fuego y éter . Este concepto fue adoptado posteriormente por los alquimistas medievales y más recientemente por practicantes de religiones neopaganas como la Wicca . Según la cosmología hindú , existen cinco elementos en el universo : dharti, agni, jal, vayu evam akash (tierra, fuego, agua, aire y espacio, respectivamente). En la tradición del este de Asia , hay cinco elementos: agua , fuego , tierra , madera y metal . [98] Los nombres japoneses para los días de la semana , de martes a sábado , provienen de estos elementos mediante la identificación de los elementos con los cinco planetas visibles a simple vista . [99] Además, el calendario japonés tradicional tiene un ciclo semanal de cinco días que todavía se puede observar en calendarios mixtos impresos que combinan nombres occidentales, chino-budistas y japoneses para cada día de la semana. También hay cinco elementos en el tradicional Wuxing chino . [100]
Quintaesencia , que significa "quinto elemento", se refiere al esquivo quinto elemento que completa los cuatro elementos básicos (agua, fuego, aire y tierra), como unión de estos. [101] El pentagrama , o estrella de cinco puntas, tiene un significado místico en varios sistemas de creencias, incluidos el baháʼí , el cristianismo , la masonería , el satanismo , el taoísmo , la thelema y la wicca .
"Dame cinco" es una frase común que se usa antes de chocar esos cinco .
Los Juegos Olímpicos tienen como símbolo cinco anillos entrelazados, que representan el número de continentes habitados representados por los atletas olímpicos (Europa, Asia, África, Australia y Oceanía, y América). [102]
^ ab Dixon, AC (marzo de 1908). "La cónica a través de cinco puntos dados". La Gaceta Matemática . 4 (70). La Asociación Matemática: 228–230. doi :10.2307/3605147. JSTOR 3605147. S2CID 125356690.
^ Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A006562 (Primos equilibrados (de orden uno): primos que son el promedio del primo anterior y el siguiente primo)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS . Consultado el 14 de febrero de 2023 .
^ Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A001599 (Números armónicos o minerales: números n tales que la media armónica de los divisores de n es un número entero)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS . Consultado el 26 de diciembre de 2022 .
^ Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A103606 (Tripias pitagóricas primitivas en orden no decreciente de perímetro, con cada tripleta en orden creciente, y si los perímetros coinciden, entonces orden creciente de los miembros pares.)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS . Consultado el 26 de mayo de 2023 .
^ Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A000217 (Números triangulares)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS . Consultado el 8 de noviembre de 2022 .En general, la suma de n números triangulares consecutivos es el enésimo número tetraédrico.
^ Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A000332 (Números figurados basados en el politopo convexo regular de 4 dimensiones llamado 4-simplex regular, pentacorón, 5 células, pentatopo o 4-hipertetraedro con símbolo de Schlaefli {3,3,3}...)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS . Consultado el 14 de junio de 2023 .
^ Pomerancia, Carl; Yang, Hee-Sung (14 de junio de 2012). "Sobre números intocables y problemas relacionados" (PDF) . math.dartmouth.edu . Universidad de Dartmouth : 1. S2CID 30344483.Clasificación de Materias de Matemáticas 2010. 11A25, 11Y70, 11Y16.
^ Helfgott, Harald Andrés (2014). «El problema ternario de Goldbach» (PDF) . En Jang, Sun Young (ed.). Actas del Congreso Internacional de Matemáticos de Seúl . vol. 2. Seúl, KOR: Kyung Moon SA. págs. 391–418. ISBN978-89-6105-805-6. OCLC 913564239.
^ Tao, Terence (marzo de 2014). «Todo número impar mayor que 1 tiene una representación que es la suma de como máximo cinco primos» (PDF) . Matemáticas de la Computación . 83 (286): 997–1038. doi :10.1090/S0025-5718-2013-02733-0. SEÑOR 3143702. S2CID 2618958.
^ Vendedores, James A. (2013). "Una congruencia inesperada módulo 5 para particiones Frobenius generalizadas de 4 colores". J. Matemáticas indias. Soc . Nueva serie (número especial). Pune, IMD: Sociedad Matemática de la India : 99. arXiv : 1302.5708 . Código Bib : 2013arXiv1302.5708S. SEÑOR 0157339. S2CID 116931082. Zbl 1290.05015.
Sólo doce números enteros hasta 33 no pueden expresarse como la suma de cinco cuadrados distintos de cero: {1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 18, 33} donde 2, 3 y 7 son los únicos primos sin expresión.
^ Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A006577 (Número de pasos de reducción a la mitad y triplicación para llegar a 1 en el problema '3x+1', o -1 si nunca se alcanza 1)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS . Consultado el 24 de enero de 2023 .
^ Weisstein, Eric W. "Secuencia de Perrin". mathworld.wolfram.com . Consultado el 30 de julio de 2020 .
^ MJ Bertín; A. Decomps-Guilloux; el señor Grandet-Hugot; M. Pathiaux-Delefosse; JP Schreiber (1992). Números de Pisot y Salem . Birkhäuser. ISBN3-7643-2648-4.
^ Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A000931 (secuencia Padovan (o números Padovan): a(n) es a(n-2) + a(n-3) con a(0) igual a 1, a(1) igual a a(2) igual a 0.)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS . Consultado el 9 de mayo de 2024 .
^ Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A000930 (secuencia de las vacas de Narayana: a(0) es a(1) igual a a(2) igual a 1; en adelante a(n) es a(n-1) + a(n-3).)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS . Consultado el 9 de mayo de 2024 .
^ abc Böttcher, Julia ; Foniok, enero (2013). "Propiedades de Ramsey de las permutaciones". La Revista Electrónica de Combinatoria . 20 (1): P2. arXiv : 1103.5686v2 . doi :10.37236/2978. S2CID 17184541. Zbl 1267.05284.
^ William H. Richardson. "Cuadrados Mágicos de Orden 3". Departamento de Matemáticas de la Universidad Estatal de Wichita . Consultado el 14 de julio de 2022 .
^ Sarhangi, Reza (2012). "Polígonos de estrellas entrelazados en la arquitectura persa: el caso especial del decagrama en diseños de mosaicos" (PDF) . Diario de la red Nexus . 14 (2): 350. doi : 10.1007/s00004-012-0117-5 . S2CID 124558613.
^ Burnstein, Michael (1978). "Teorema de Kuratowski-Pontrjagin sobre gráficos planos". Revista de teoría combinatoria . Serie B. 24 (2): 228–232. doi : 10.1016/0095-8956(78)90024-2 .
^ Alón, Noga ; Grytczuk, Jaroslaw; Hałuszczak, Mariusz; Riordan, Oliver (2002). "Coloraciones no repetitivas de gráficos" (PDF) . Algoritmos y estructuras aleatorias . 2 (3–4): 337. doi : 10.1002/rsa.10057. MR 1945373. S2CID 5724512. Una coloración del conjunto de aristas de un gráfico G se denomina no repetitiva si la secuencia de colores en cualquier camino en G no es repetitiva... En la Fig. 1 mostramos un 5 no repetitivo -coloración de las aristas de P ... Como, como se puede comprobar fácilmente, 4 colores no son suficientes para esta tarea, tenemos π( P ) = 5.
^ Royle, G.; et al. (febrero de 2001). "Gráficos simétricos cúbicos (el censo de Foster)". Archivado desde el original el 20 de julio de 2008.
^ Exoo, Geoffrey; Ismailescu, Dan (2020). "El número cromático del avión es al menos 5: una nueva prueba". Geometría discreta y computacional . 64 . Nueva York, Nueva York: Springer : 216–226. arXiv : 1805.00157 . doi :10.1007/s00454-019-00058-1. SEÑOR 4110534. S2CID 119266055. Zbl 1445.05040.
^ Grünbaum, Branko ; Shephard, Geoffrey C. (1987). "Azulejos por polígonos". Azulejos y patrones . Nueva York: WH Freeman and Company. ISBN978-0-7167-1193-3. SEÑOR 0857454.Apartado 9.3: "Otros mosaicos monoédricos por polígonos convexos".
^ Bryan Bunch, El reino del número infinito . Nueva York: WH Freeman & Company (2000): 61
^ Habilidad, John (1976). "Compuestos uniformes de poliedros uniformes". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 79 (3): 447–457. Código bibliográfico : 1976MPCPS..79..447S. doi :10.1017/S0305004100052440. SEÑOR 0397554. S2CID 123279687.
^ Hart, George W. (1998). «Construcciones icosaédricas» (PDF) . En Sarhangi, Reza (ed.). Puentes: conexiones matemáticas en el arte, la música y la ciencia . Winfield, Kansas: La organización Bridges . pag. 196.ISBN978-0-9665201-0-1. OCLC 59580549. S2CID 202679388.
^ Hart, George W. "Planos de simetría". Poliedros virtuales (La enciclopedia de los poliedros) . Consultado el 27 de septiembre de 2023 .
"Se pueden colorear como cinco conjuntos de tres planos mutuamente ortogonales", donde los "quince planos dividen la esfera en 120 triángulos de Möbius ".
^ Kepler, Johannes (2010). El copo de nieve de seis puntas . Libros secos de Paul. Nota a pie de página 18, pág. 146.ISBN978-1-58988-285-0.
^ Webb, Robert. "Enumeración de estelaciones". www.software3d.com . Archivado desde el original el 26 de noviembre de 2022 . Consultado el 12 de enero de 2023 .
^ Testamentos, JM (1987). "Los poliedros combinatoriamente regulares del índice 2". Aecuaciones Mathematicae . 34 (2–3): 206–220. doi :10.1007/BF01830672. S2CID 121281276.
^ Har'El, Zvi (1993). "Solución uniforme para poliedros uniformes" (PDF) . Geometriae Dedicata . 47 . Países Bajos: Springer Publishing : 57–110. doi :10.1007/BF01263494. SEÑOR 1230107. S2CID 120995279. Zbl 0784.51020.
"En las tablas 4 a 8, enumeramos los setenta y cinco poliedros uniformes no diédricos, así como los cinco prismas y antiprismas pentagonales, agrupados generando triángulos de Schwarz ". Apéndice II: Poliedros uniformes.
^ Coxeter, HSM (1982). "Diez toroides y cincuenta y siete hemidodecaedros". Geometriae Dedicata . 13 (1): 87–99. doi :10.1007/BF00149428. SEÑOR 0679218. S2CID 120672023..
^ Coxeter, HS M (1984). "Una disposición simétrica de once hemi-icosaedros". Anales de Matemáticas Discretas . Estudios de Matemáticas de Holanda Septentrional. 87 (20): 103-114. doi :10.1016/S0304-0208(08)72814-7. ISBN978-0-444-86571-7.
^ McMullen, Pedro ; Schulte, Egon (2002). Politopos regulares abstractos . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. vol. 92. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 162-164. doi :10.1017/CBO9780511546686. ISBN0-521-81496-0. SEÑOR 1965665. S2CID 115688843.
^ HSM Coxeter (1956). "Panales regulares en el espacio hiperbólico". pag. 168. CiteSeerX 10.1.1.361.251 .
^ HSM Coxeter (1991). Politopos complejos regulares (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 144-146. doi :10.2307/3617711. ISBN978-0-521-39490-1. JSTOR 3617711. S2CID 116900933. Zbl 0732.51002.
^ Báez, John C .; Huerta, Juan (2014). "G2 y la bola rodante". Trans. América. Matemáticas. Soc . 366 (10): 5257–5293. doi : 10.1090/s0002-9947-2014-05977-1 . SEÑOR 3240924. S2CID 50818244.
^ Báez, John C. (2018). "Del Icosaedro a E 8 ". Matemáticas de Londres. Soc. Boletín . 476 : 18-23. arXiv : 1712.06436 . SEÑOR 3792329. S2CID 119151549. Zbl 1476.51020.
^ Thorold Gosset (1900). «Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones» (PDF) . Mensajero de las Matemáticas . 29 : 43–48. JFM 30.0494.02.
^ abcd Robert L. Griess, Jr. (1998). Doce Grupos Esporádicos . Monografías de Springer en Matemáticas. Berlín: Springer-Verlag. págs. 1-169. doi :10.1007/978-3-662-03516-0. ISBN978-3-540-62778-4. SEÑOR 1707296. S2CID 116914446. Zbl 0908.20007.
^ Cameron, Peter J. (1992). «Capítulo 9: La geometría de los grupos de Mathieu» (PDF) . Espacios proyectivos y polares . Universidad de Londres, Queen Mary y Westfield College. pag. 139.ISBN978-0-902-48012-4. S2CID 115302359.
^ Lux, Klaus; Noeske, Félix; Ryba, Alexander JE (2008). "Los caracteres de 5 módulos del grupo HN esporádico simple de Harada-Norton y su grupo de automorfismo HN.2". Revista de Álgebra . 319 (1). Ámsterdam: Elsevier : 320–335. doi : 10.1016/j.jalgebra.2007.03.046 . SEÑOR 2378074. S2CID 120706746. Zbl 1135.20007.
^ Wilson, Robert A. (2009). "Los extraños subgrupos locales del Monstruo". Revista de la Sociedad Australiana de Matemáticas (Serie A) . 44 (1). Cambridge: Cambridge University Press : 12-13. doi : 10.1017/S1446788700031323 . SEÑOR 0914399. S2CID 123184319. Zbl 0636.20014.
^ Wilson, RA (1998). "Un atlas de representaciones grupales esporádicas" (PDF) . El Atlas de los grupos finitos: diez años después (LMS Lecture Note Series 249) . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 267. doi : 10.1017/CBO9780511565830.024. ISBN978-0-511-56583-0. OCLC 726827806. S2CID 59394831. Zbl 0914.20016.
^ Nickerson, SJ; Wilson, RA (2011). "Semipresentaciones para los Grupos Simples Esporádicos". Matemáticas Experimentales . 14 (3). Oxfordshire: Taylor y Francis : 367. doi : 10.1080/10586458.2005.10128927. SEÑOR 2172713. S2CID 13100616. Zbl 1087.20025.
^ Wilson, RA ; Parker, RA ; Nickerson, SJ; Bray, JN (1999). "Grupo excepcional 2F4 (2) ', grupo de tetas T". ATLAS de Representaciones de Grupos Finitos .
^ Georges Ifrah, La historia universal de los números: desde la prehistoria hasta la invención de la computadora David Bellos et al. Londres: The Harvill Press (1998): 394, figura 24.65
^ Marcus, Jacqueline B. (15 de abril de 2013). Nutrición culinaria: la ciencia y la práctica de la cocina saludable. Prensa académica. pag. 55.ISBN978-0-12-391883-3. Hay cinco sabores básicos: dulce, salado, ácido, amargo y umami...
^ Kisia, SM (2010), Vertebrados: estructuras y funciones, sistemas biológicos en vertebrados, CRC Press, p. 106, ISBN978-1-4398-4052-8La extremidad típica de los tetrápodos es la extremidad pentadactilo ( del gr. penta, cinco) que tiene cinco dedos. Los tetrápodos evolucionaron a partir de un ancestro que tenía extremidades con cinco dedos. ... Aunque el número de dígitos en diferentes vertebrados puede variar a partir de cinco, los vertebrados se desarrollan a partir de una etapa embrionaria de cinco dígitos.
^ Cinalli, G.; Maixner, WJ; Sainte-Rose, C. (6 de diciembre de 2012). Hidrocefalia pediátrica. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 19.ISBN978-88-470-2121-1. Se cree que los cinco apéndices de la estrella de mar son homólogos de cinco yemas humanas
^ Pozrikidis, Constantino (17 de septiembre de 2012). XML en informática científica. Prensa CRC. pag. 209.ISBN978-1-4665-1228-3. 5 5 005 ENQ (consulta)
^ Veith (Jr.), Gene Edward; Wilson, Douglas (2009). Ómnibus IV: El mundo antiguo. Prensa Veritas. pag. 52.ISBN978-1-932168-86-0. Las líneas acentuales-silábicas más comunes son las líneas yámbicas de cinco pies (pentámetro yámbico)
^ "STAVE | significado en el Diccionario Cambridge inglés". diccionario.cambridge.org . Consultado el 2 de agosto de 2020 . las cinco líneas y cuatro espacios entre ellas en las que se escriben las notas musicales
^ Ricker, Ramón (27 de noviembre de 1999). Escalas pentatónicas para la improvisación del jazz. Alfredo Música. pag. 2.ISBN978-1-4574-9410-9. Las escalas pentatónicas, como se usan en el jazz, son escalas de cinco notas.
^ Danneley, John Feltham (1825). Una enciclopedia o diccionario de música...: con más de doscientos ejemplos grabados, compilados en su totalidad de las autoridades extranjeras e inglesas más célebres, intercalados con observaciones críticas y explicativas. editor y publicación. son la cuarta justa, la quinta justa y la octava
^ Pelaya, Ariela. "Judaísmo 101: ¿Cuáles son los cinco libros de Moisés?". Aprenda Religiones . Consultado el 3 de agosto de 2020 .
^ Zenner, Walter P. (1 de enero de 1988). Persistencia y flexibilidad: perspectivas antropológicas sobre la experiencia judía estadounidense. Prensa SUNY. pag. 284.ISBN978-0-88706-748-8.
^ "ENCICLOPEDIA CATÓLICA: Las Cinco Sagradas Llagas". www.newadvent.org . Consultado el 2 de agosto de 2020 .
^ "PBS - Islam: Imperio de la fe - Fe - Cinco pilares". www.pbs.org . Consultado el 3 de agosto de 2020 .
^ Yoon, Hong-key (2006). La cultura del Fengshui en Corea: una exploración de la geomancia del este de Asia. Libros de Lexington. pag. 59.ISBN978-0-7391-1348-6. La primera categoría son los Cinco Agentes [Elementos], a saber, Agua, Fuego, Madera, Metal y Tierra.
^ Walsh, Len (15 de noviembre de 2008). Lea japonés hoy: la manera fácil de aprender 400 kanji prácticos. Publicación de Tuttle. ISBN978-1-4629-1592-7. Los nombres japoneses de los días de la semana se toman de los nombres de los siete símbolos básicos de la naturaleza.
^ Chen, Yuan (2014). "Discurso de legitimación y teoría de los cinco elementos en la China imperial". Revista de estudios Song-Yuan . 44 (1): 325–364. doi :10.1353/sys.2014.0000. ISSN 2154-6665. S2CID 147099574.
^ Kronland-Martinet, Richard; Ystad, Solvi; Jensen, Kristoffer (19 de julio de 2008). Modelado y recuperación de música por computadora. Sense of Sounds: 4th International Symposium, CMMR 2007, Copenhague, Dinamarca, agosto de 2007, artículos revisados. Saltador. pag. 502.ISBN978-3-540-85035-9. Platón y Aristóteles postularon un quinto estado de la materia, al que llamaron "idea" o quintaesencia" (de "quint" que significa "quinto")
^ "Anillos olímpicos: símbolo del movimiento olímpico". Comité Olímpico Internacional . 2020-06-23 . Consultado el 2 de agosto de 2020 .
^ Laplante, Philip A. (3 de octubre de 2018). Diccionario Integral de Ingeniería Eléctrica. Prensa CRC. pag. 562.ISBN978-1-4200-3780-7. quincuncio cinco puntos