Relación de plástico

Número, aproximadamente 1.3247

En matemáticas, la razón plástica es una proporción geométrica próxima a 53/40 . Su valor verdadero es la solución real de la ecuación x ³ = x + 1.

El adjetivo plástico no se refiere al material artificial , sino a las cualidades formativas y escultóricas de esta relación, como en las artes plásticas .

Los cuadrados con lados en razón ρ forman una espiral cerrada

Definición

Tres cantidades a > b > c > 0 están en la razón plástica si

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {b+c}{a}}={\frac {b}{c}}}$.

La relación se denota comúnmente como ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ ${\displaystyle \rho .}$

Sea ⁠ ⁠ ${\displaystyle a=\rho \,}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \,b=1}$ , entonces

${\displaystyle \rho ^{2}=1+c\,\land \,\rho =1/c}$

${\displaystyle \implies \rho ^{2}-1=\rho ^{-1}}$.

De ello se deduce que la razón plástica se encuentra como la única solución real de la ecuación cúbica. La expansión decimal de la raíz comienza como (secuencia A060006 en la OEIS ). ${\displaystyle \rho ^{3}-\rho -1=0.}$ ${\displaystyle 1.324\,717\,957\,244\,746...}$

Resolviendo la ecuación con la fórmula de Cardano ,

${\displaystyle w_{1,2}={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}\right)}$

${\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}}}$

o, utilizando el coseno hiperbólico , ^[2]

${\displaystyle \rho ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\cosh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right).}$

⁠ ⁠ es el ${\displaystyle \rho }$punto fijo superestable de la iteración . ${\displaystyle x\gets (2x^{3}+1)/(3x^{2}-1)}$

La iteración da como resultado la raíz cuadrada recíproca continua. ${\displaystyle x\gets {\sqrt {1+{\tfrac {1}{x}}}}}$

${\displaystyle \rho ={\sqrt {1+{\cfrac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {1}{\sqrt {1+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}$

Dividiendo el trinomio definitorio por ⁠ ⁠ se obtiene , y los elementos conjugados de ⁠ ⁠ son ${\displaystyle x^{3}-x-1}$ ${\displaystyle x-\rho }$ ${\displaystyle x^{2}+\rho x+1/\rho }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {1}{2}}\left(-\rho \pm i{\sqrt {3\rho ^{2}-4}}\right),}$

con y ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-\rho \;}$ ${\displaystyle \;x_{1}x_{2}=1/\rho .}$

Propiedades

Los rectángulos en proporciones de aspecto ρ , ρ ² , ρ ³ (arriba) y ρ ² , ρ , ρ ³ (fila inferior) forman mosaicos en el cuadrado.

La razón ${\displaystyle \rho }$ plástica y la proporción áurea son los únicos números mórficos: números reales x > 1 para los cuales existen números naturales m y n tales que ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle x+1=x^{m}}$y . ^[3] ${\displaystyle x-1=x^{-n}}$

Los números mórficos pueden servir como base para un sistema de medida.

Las propiedades de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \rho }$ (m=3 y n=4) están relacionadas con las de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$ (m=2 y n=1). Por ejemplo, la relación plástica satisface la regla radical continua

${\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}}}$,

mientras que la proporción áurea satisface la analogía

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}$

La relación plástica puede expresarse en términos de sí misma como la serie geométrica infinita

${\displaystyle \rho =\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-5n}}$y ${\displaystyle \,\rho ^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\rho ^{-3n},}$

en comparación con la identidad de la proporción áurea

${\displaystyle \varphi =\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-2n}}$y viceversa .

Además, mientras que ${\displaystyle 1+\varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}=2}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{13}\rho ^{-n}=4.}$

Para cada entero se tiene ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{n}&=\rho ^{n-2}+\rho ^{n-3}\\&=\rho ^{n-1}+\rho ^{n-5}\\&=\rho ^{n-3}+\rho ^{n-4}+\rho ^{n-5}.\end{aligned}}}$

La solución algebraica de una ecuación quintica reducida se puede escribir en términos de raíces cuadradas, raíces cúbicas y el radical Traer . Si entonces . Dado que ${\displaystyle y=x^{5}+x}$ ${\displaystyle x=BR(y)}$ ${\displaystyle \rho ^{-5}+\rho ^{-1}=1,\quad \rho =1/BR(1).}$

Patrón de fracción continua de unas pocas potencias bajas

${\displaystyle \rho ^{-1}=[0;1,3,12,1,1,3,2,3,2,...]\approx 0.7549}$( 25/33 )

${\displaystyle \ \rho ^{0}=[1]}$

${\displaystyle \ \rho ^{1}=[1;3,12,1,1,3,2,3,2,4,...]\approx 1.3247}$( 45/34 )

${\displaystyle \ \rho ^{2}=[1;1,3,12,1,1,3,2,3,2,...]\approx 1.7549}$( 58/33 )

${\displaystyle \ \rho ^{3}=[2;3,12,1,1,3,2,3,2,4,...]\approx 2.3247}$( 79/34 )

${\displaystyle \ \rho ^{4}=[3;12,1,1,3,2,3,2,4,2,...]\approx 3.0796}$( 40/13 )

${\displaystyle \ \rho ^{5}=[4;12,1,1,3,2,3,2,4,2,...]\approx 4.0796}$( 53/13 ) ...

${\displaystyle \ \rho ^{7}=[7;6,3,1,1,4,1,1,2,1,1,...]\approx 7.1592}$( 93/13 ) ...

${\displaystyle \ \rho ^{9}=[12;1,1,3,2,3,2,4,2,141,...]\approx 12.5635}$( 88/7 )

La razón plástica es el número de Pisot más pequeño . ^[4] Debido a que el valor absoluto de los conjugados algebraicos es menor que 1, las potencias de ⁠ ⁠ generan casi números enteros . Por ejemplo: después de 29 pasos de rotación, las fases del par conjugado en espiral hacia adentro, inicialmente cerca de ⁠ ⁠ , casi se alinean con el eje imaginario. ${\displaystyle 1/{\sqrt {\rho }}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho ^{29}=3480.0002874...\approx 3480+1/3479.}$ ${\displaystyle \pm 45\pi /58}$

El polinomio mínimo de la razón plástica tiene discriminante . El cuerpo de la clase de Hilbert del cuerpo cuadrático imaginario se puede formar adjuntando ⁠ ⁠ . Con argumento un generador para el anillo de números enteros de ⁠ ⁠ , se tiene el valor especial del cociente eta de Dedekind ${\displaystyle m(x)=x^{3}-x-1}$ ${\displaystyle \Delta =-23}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {\Delta }})/2\,}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \rho ={\frac {e^{\pi i/24}\,\eta (\tau )}{{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}}}$. ^[5]

Expresado en términos del invariante de clase de Weber-Ramanujan G _n

${\displaystyle \rho ={\frac {{\mathfrak {f}}({\sqrt {\Delta }})}{\sqrt {2}}}={\frac {G_{23}}{\sqrt[{4}]{2}}}}$. ^[6]

Las propiedades del invariante j de Klein relacionado ⁠ ⁠ ${\displaystyle j(\tau )}$ dan como resultado una identidad cercana . La diferencia es < 1/12659 . ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}\approx \left({\sqrt {2}}\,\rho \right)^{24}-24}$

El valor singular integral elíptico ^[7] para ⁠ ⁠ tiene expresión en forma cerrada ${\displaystyle k_{r}=\lambda ^{*}(r)}$ ${\displaystyle r=23}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(23)=\sin(\arcsin \left(({\sqrt[{4}]{2}}\,\rho )^{-12}\right)/2)}$

(que es menos de 1/3 de la excentricidad de la órbita de Venus).

Secuencia de Van der Laan

Un abanico de baldosas plásticas Rauzy con áreas en proporción Ⴔ. El límite fractal tiene una dimensión de conteo de cajas de 1,11

En su búsqueda de claridad perceptible, el monje benedictino holandés y arquitecto Dom Hans van der Laan (1904-1991) preguntó cuál era la diferencia mínima entre dos tamaños, de modo que los percibiéramos claramente como distintos. Además, cuál era la razón máxima entre dos tamaños, de modo que todavía pudiéramos relacionarlos y percibir su proximidad. Según sus observaciones, las respuestas son 1/4 y 7/1 , abarcando un solo orden de tamaño . ^[8] Al exigir una continuidad proporcional, construyó una serie geométrica de ocho medidas ( tipos de tamaño ) con razón común 2 / (3/4 + 1/7 ^1/7 ) ≈ ρ . Expresado en forma racional, este sistema arquitectónico de medida se construye a partir de un subconjunto de los números que llevan su nombre.

Los números de Van der Laan tienen una estrecha relación con las sucesiones de Perrin y Padovan . En combinatoria, el número de composiciones de n en las partes 2 y 3 se cuenta mediante el n- ésimo número de Van der Laan.

La secuencia de Van der Laan está definida por la relación de recurrencia de tercer orden

${\displaystyle V_{n}=V_{n-2}+V_{n-3}}$para n > 2 ,

con valores iniciales

${\displaystyle V_{1}=0,V_{0}=V_{2}=1}$.

Los primeros términos son 1, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86,... (secuencia A182097 en la OEIS ). La razón límite entre términos consecutivos es la razón plástica.

El corte Cordonnier de 1924. Con S ₁ = 3, S ₂ = 4, S ₃ = 5 , la media armónica de ⁠S ₂/S ₁ ⁠ , ⁠S1 + _S2​/S ₃ ⁠ y ⁠S ₃/S ₂ ⁠ es 3 / ( ⁠3/4⁠ + ⁠5/7⁠ + ⁠4/5⁠ ) ​​≈ ρ + 1/4922.

Los primeros 14 índices n para los cuales ⁠ ⁠ ${\displaystyle V_{n}}$ es primo son n = 5, 6, 7, 9, 10, 16, 21, 32, 39, 86, 130, 471, 668, 1264 (secuencia A112882 en la OEIS ). ^[9] El último número tiene 154 dígitos decimales.

La secuencia se puede extender a índices negativos utilizando

${\displaystyle V_{n}=V_{n+3}-V_{n+1}}$.

La función generadora de la secuencia de Van der Laan está dada por

${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }V_{n}x^{n}}$para ^[10] ${\displaystyle x<1/\rho \;.}$

La secuencia está relacionada con las sumas de coeficientes binomiales por

${\displaystyle V_{n}=\sum _{k=\lfloor (n+2)/3\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }{k \choose n-2k}}$. ^[11]

La ecuación característica de la recurrencia es . Si las tres soluciones son raíz real ⁠ ⁠ y par conjugado ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ , los números de Van der Laan se pueden calcular con la fórmula de Binet ^[11] ${\displaystyle x^{3}-x-1=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle V_{n-1}=a\alpha ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}}$, con reales ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ y conjugados ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ las raíces de . ${\displaystyle 23x^{3}+x-1=0}$

Dado que y , el número ⁠ ⁠ es el entero más cercano a , con n > 1 y 0,31062 88296 40467 07776 19027... ${\displaystyle \left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <1/{\sqrt {\alpha ^{n}}}}$ ${\displaystyle \alpha =\rho }$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle a\,\rho ^{n+1}}$ ${\displaystyle a=\rho /(3\rho ^{2}-1)=}$

Los coeficientes dan como resultado la fórmula de Binet para la secuencia relacionada . ${\displaystyle a=b=c=1}$ ${\displaystyle P_{n}=2V_{n}+V_{n-3}}$

Los primeros términos son 3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, 51, 68, 90, 119,... (secuencia A001608 en la OEIS ).

Esta secuencia de Perrin tiene la propiedad de Fermat : si p es primo, . La inversa no se cumple, pero el pequeño número de pseudoprimos hace que la secuencia sea especial. ^[12] Los únicos 7 números compuestos por debajo de 10 ⁸ que pasan la prueba son n = 271441, 904631, 16532714, 24658561, 27422714, 27664033, 46672291. ^[13] ${\displaystyle P_{p}\equiv P_{1}{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle \,n\mid P_{n}}$

Un fractal plástico de Rauzy: la superficie combinada y las tres piezas separadas tienen áreas en las proporciones ρ ⁵  : ρ ²  : ρ  : 1.

Los números de Van der Laan se obtienen como potencias integrales n > 2 de una matriz con valor propio real ⁠ ⁠ ${\displaystyle \rho }$ ^[10]

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle Q^{n}={\begin{pmatrix}V_{n}&V_{n+1}&V_{n-1}\\V_{n-1}&V_{n}&V_{n-2}\\V_{n-2}&V_{n-1}&V_{n-3}\end{pmatrix}}}$

El rastro de ⁠ ⁠ ${\displaystyle Q^{n}}$ da los números de Perrin.

Alternativamente, ⁠ ⁠ ${\displaystyle Q}$ se puede interpretar como una matriz de incidencia para un sistema Lindenmayer D0L en el alfabeto ⁠ ⁠ con la regla de sustitución correspondiente ${\displaystyle \{a,b,c\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}a\;\mapsto \;b\\b\;\mapsto \;ac\\c\;\mapsto \;a\end{cases}}}$

y el iniciador ⁠ ⁠ ${\displaystyle w_{0}=c}$ . La serie de palabras ⁠ ⁠ ${\displaystyle w_{n}}$ producidas al iterar la sustitución tienen la propiedad de que el número de c, b y a son iguales a los números de Van der Laan sucesivos. Sus longitudes son ${\displaystyle l(w_{n})=V_{n+2}.}$

Asociado a este proceso de reescritura de cadenas hay un conjunto compuesto por tres mosaicos autosimilares superpuestos llamado fractal de Rauzy , que visualiza la información combinatoria contenida en una secuencia de letras de múltiples generaciones. ^[14]

Geometría

Tres particiones de un cuadrado en rectángulos similares, 1 = 3· ⁠1/3⁠ = ⁠2/3⁠ + 2· ⁠1/6⁠ = ⁠1/ρ2^​ ⁠ + ⁠1/ρ ⁴ ⁠ + ⁠1/ρ8^​ ⁠ .

Existen exactamente tres maneras de dividir un cuadrado en tres rectángulos similares: ^{[15] [16]}

1. La solución trivial dada por tres rectángulos congruentes con relación de aspecto 3:1.
2. La solución en la que dos de los tres rectángulos son congruentes y el tercero tiene el doble de longitudes de lado que los otros dos, donde los rectángulos tienen una relación de aspecto de 3:2.
3. Solución en la que los tres rectángulos tienen tamaños diferentes y una relación de aspecto de ρ ² . Las relaciones de los tamaños lineales de los tres rectángulos son: ρ (grande:mediano); ρ ² (mediano:pequeño); y ρ ³ (grande:pequeño). El borde largo interno del rectángulo más grande (la línea de falla del cuadrado) divide dos de los cuatro bordes del cuadrado en dos segmentos que se encuentran uno al otro en la relación ρ . El borde corto interno coincidente del rectángulo mediano y el borde largo del rectángulo pequeño divide uno de los otros dos bordes del cuadrado en dos segmentos que se encuentran uno al otro en la relación ρ ⁴ .

El hecho de que un rectángulo con una relación de aspecto ρ ² pueda utilizarse para disecciones de un cuadrado en rectángulos similares es equivalente a una propiedad algebraica del número ρ ² relacionada con el teorema de Routh-Hurwitz : todos sus conjugados tienen una parte real positiva. ^{[17] [18]}

El radio circunscrito del icosidodecadodecaedro romo para una longitud de arista unitaria es

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2\rho -1}{\rho -1}}}}$. ^[19]

Rectángulo Rho-cuadrado

Rectángulos rho-cuadrados anidados con longitudes de lados en potencias de ρ .

Dado un rectángulo de altura 1 , longitud ⁠ ⁠ ${\displaystyle \rho ^{2}}$ y longitud diagonal (según ). Los triángulos en la diagonal tienen alturas cada pie perpendicular divide la diagonal en razón ⁠ ⁠ . ${\displaystyle {\sqrt {\rho ^{5}}}}$ ${\displaystyle 1+\rho ^{4}=\rho ^{5}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\rho }}\,;}$ ${\displaystyle \rho ^{4}}$

En el lado izquierdo, corta un cuadrado de lado 1 y marca la intersección con la diagonal descendente. El rectángulo restante ahora tiene una relación de aspecto ⁠ ⁠ ${\displaystyle \rho :1}$ (según ). Divide el rectángulo original en cuatro partes mediante un segundo corte horizontal que pase por el punto de intersección. ^[20] ${\displaystyle \rho ^{2}-1=\rho ^{-1}}$

El gran rectángulo rho-cuadrado y las dos copias escaladas a lo largo de la diagonal tienen tamaños lineales en las proporciones Las áreas de los rectángulos opuestos a la diagonal son ambas iguales a ⁠ ⁠ , con relaciones de aspecto ⁠ ⁠ (abajo) y ⁠ ⁠ (arriba). ${\displaystyle \rho ^{3}:\rho :1.}$ ${\displaystyle 1/\rho ^{3}}$ ${\displaystyle \rho ^{3}}$ ${\displaystyle \rho }$

Si el diagrama se subdivide aún más mediante líneas perpendiculares a través de los pies de las alturas, las longitudes de la diagonal y sus (hasta ahora) siete subsecciones distintas están en proporciones donde ⁠ ⁠ corresponde a la distancia entre ambos pies. ${\displaystyle \rho ^{6}:\rho ^{5}:\rho ^{4}:\rho ^{2}+1:}$ ${\displaystyle \,\rho ^{3}:\rho ^{2}:\rho :1,}$ ${\displaystyle \rho ^{2}+1}$

Los rectángulos rho-cuadrados anidados con longitudes diagonales en proporciones convergen a ${\displaystyle 1/\rho ^{2}}$ una distancia del punto de intersección. Esto es igual al único nodo positivo que optimiza la interpolación cúbica de Lagrange en el intervalo [−1,1] . Con el conjunto de nodos óptimo T = {−1,−t, t, 1 }, la función de Lebesgue ⁠ ⁠ se evalúa como la constante de Lebesgue cúbica mínima ⁠ ⁠ en el punto crítico ^[21] Como , esta es también la distancia desde el punto de convergencia hasta el vértice superior izquierdo. ${\displaystyle t={\sqrt {\rho }}/(\rho ^{2}+1)=0.41779130...}$ ${\displaystyle \lambda _{3}(x)}$ ${\displaystyle \Lambda _{3}(T)}$ ${\displaystyle x_{c}=\rho ^{2}t.}$ ${\displaystyle t+\rho ^{2}t={\sqrt {\rho }}}$

Historia y nombres

La iglesia de la abadía de St. Benedictusberg de 1967 diseñada por Hans van der Laan.

⁠ ⁠ ${\displaystyle \rho }$ fue estudiado por primera vez por Axel Thue en 1912 y por GH Hardy en 1919. ^[4] El estudiante de secundaria francés Gérard Cordonnier descubrió la razón por sí mismo en 1924. En su correspondencia con Hans van der Laan unos años más tarde, lo llamó el número radiante ( en francés : le nombre radiant ). Van der Laan se refirió inicialmente a él como la razón fundamental ( en holandés : de grondverhouding ), utilizando el número plástico ( en holandés : het plastische getal ) a partir de la década de 1950 en adelante. ^[22] En 1944 Carl Siegel demostró que ρ es el número de Pisot-Vijayaraghavan más pequeño posible y sugirió nombrarlo en honor a Thue.

A diferencia de los nombres de las proporciones áurea y plateada , van der Laan no pretendía que la palabra plástico se refiriera a una sustancia específica, sino más bien en su sentido adjetivo, es decir, algo a lo que se le puede dar una forma tridimensional. [ ^23] Esto, según Richard Padovan , se debe a que las proporciones características del número,3/4⁠ y ⁠1/7⁠ , se relacionan con los límites de la percepción humana al relacionar un tamaño físico con otro. Van der Laan diseñó la iglesia de la abadía de San Benedicto de 1967 según estas proporciones numéricas plásticas. ^[24]

El número de plástico también se denomina a veces número de plata, nombre que le dio Midhat J. Gazalé ^[25] y que posteriormente utilizó Martin Gardner ^[26] , pero ese nombre se utiliza más comúnmente para la relación de plata 1 + √ 2 , una de las relaciones de la familia de medios metálicos descrita por primera vez por Vera W. de Spinadel . Gardner sugirió referirse a ρ ² como "phi alto", y Donald Knuth creó una marca tipográfica especial para este nombre, una variante de la letra griega phi ("φ") con su círculo central elevado, similar a la letra georgiana pari ("Ⴔ").

Véase también

• Soluciones de ecuaciones similares a : ${\displaystyle x^{3}=x+1}$
  • Proporción áurea : la única solución positiva de la ecuación ${\displaystyle x^{2}=x+1}$
  • Proporción superáurea : la única solución real de la ecuación ${\displaystyle x^{3}=x^{2}+1}$

Referencias

1. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A072117". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
2. Tabrizian, Peyam (2022). "¿Cuál es la proporción de plástico?". YouTube . Consultado el 26 de noviembre de 2023 .
3. Aarts, enero; Fokkink, Robbert; Kruijtzer, Godfried (2001). "Números mórficos" (PDF) . Nieuw Archief voor Wiskunde . 5. 2 (1): 56–58 . Consultado el 26 de noviembre de 2023 .
4. Panju, Maysum (2011). "Una construcción sistemática de números casi enteros" (PDF) . The Waterloo Mathematics Review . 1 (2): 35–43 . Consultado el 29 de noviembre de 2023 .
5. Weisstein, Eric W. "Constante plástica". MathWorld .
6. Función G de Ramanujan (en alemán)
7. Weisstein, Eric W. "Valor singular de la integral elíptica". MathWorld .
8. Voet, Caroline [en holandés] (2019). "1:7 y una serie de 8". La sala de estudio digital de Dom Hans van der Laan . Fundación Van der Laan . Consultado el 28 de noviembre de 2023 .
9. V _n = Pa _n+3
10. (secuencia A182097 en la OEIS )
11. (secuencia A000931 en la OEIS )
12. Adams, William; Shanks, Daniel (1982). "Pruebas de primalidad fuertes que no son suficientes". Matemáticas. Comp . 39 (159). AMS: 255–300. doi : 10.2307/2007637 . JSTOR  2007637.
13. (secuencia A013998 en la OEIS )
14. Siegel, Ana; Asíwaldner, Jörg M. (2009). "Propiedades topológicas de los fractales de Rauzy". Mémoires de la Société Mathématique de France . 2. 118 : 1–140. doi :10.24033/msmf.430.
15. Stewart, Ian (1996). "Cuentos de un número desatendido". Scientific American . 274 (6): 102–103. Código Bibliográfico :1996SciAm.274f.102S. doi :10.1038/scientificamerican0696-102. Archivado desde el original el 20 de marzo de 2012.Comentarios en: Stewart, Ian (1996). "Una guía para la datación por ordenador". Scientific American . 275 (5): 118. Bibcode :1996SciAm.275e.116S. doi :10.1038/scientificamerican1196-116.
16. Spinadel, Vera W. de ; Redondo Buitrago, Antonia (2009), "Hacia el número plástico de van der Laan en el plano" (PDF) , Revista de Geometría y Gráfica , 13 (2): 163–175
17. Freiling, C.; Rinne, D. (1994), "Teselación de un cuadrado con rectángulos similares", Mathematical Research Letters , 1 (5): 547–558, doi : 10.4310/MRL.1994.v1.n5.a3 , MR  1295549
18. Laczkovich, M.; Szekeres, G. (1995), "Teselación del cuadrado con rectángulos similares", Geometría discreta y computacional , 13 (3–4): 569–572, doi : 10.1007/BF02574063 , MR  1318796
19. Weisstein, Eric W. "Icosidodecadodecaedro chato". MathWorld .
20. Análogo a la construcción en: Crilly, Tony (1994). "Un rectángulo superáureo". The Mathematical Gazette . 78 (483): 320–325. doi :10.2307/3620208. JSTOR  3620208.
21. Rack, Heinz-Joachim (2013). "Un ejemplo de nodos óptimos para interpolación revisitado". En Anastassiou, George A.; Duman, Oktay (eds.). Avances en matemáticas aplicadas y teoría de aproximación 2012 . Springer Proceedings in Mathematics and Statistics. Vol. 41. págs. 117–120. doi :10.1007/978-1-4614-6393-1. ISBN 978-1-4614-6393-1.
22. Voet 2016, nota 12.
23. Shannon, AG; Anderson, PG; Horadam, AF (2006). "Propiedades de los números de Cordonnier, Perrin y Van der Laan". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 37 (7): 825–831. doi :10.1080/00207390600712554. S2CID  119808971.
24. Padovan, Richard (2002), "Dom Hans van der Laan y el número plástico", Nexus IV: Arquitectura y Matemáticas , Fucecchio (Florencia): Kim Williams Books: 181–193.
25. Gazalé, Midhat J. (1999). "Capítulo VII: El número de plata". Gnomon: De los faraones a los fractales . Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 135–150.
26. Gardner, Martin (2001). "Seis tareas de disección desafiantes" (PDF) . A Gardner's Workout . Natick, MA: AK Peters. págs. 121–128.(Enlace al artículo de Quantum de 1994 sin la posdata de Gardner.)

Lectura adicional

• Laan, van der, Hans (1960), Le nombre plastique, Quinze leçons sur l'ordonnance Architectonique , Leiden: Brill.
• Padovan, Richard ; Eck, Caroline van ; Scheepmaker, HJ (1994), Dom Hans van der Laan: Modern Primitive , Ámsterdam: Architectura & Natura.
• Voet, Caroline [en holandés] (2016), "Entre mirar y hacer: desentrañando el número plástico de Dom Hans van der Laan", Architectural Histories , 4 (1), Londres: European Architectural History Network.

Enlaces externos

• Rectángulo de plástico y secuencia de Padovan en Tartapelago de Giorgio Pietrocola.
• La sala de estudio digital de Dom Hans van der Laan en los Archivos Van der Laan.
• Harriss, Edmund (15 de marzo de 2019), "The Plastic Ratio" (video) , youtube , Brady Haran , archivado del original el 2021-12-21 , consultado el 15 de marzo de 2019.