Secuencia de Padovan

Sucesión de números enteros

En teoría de números , la secuencia de Padovan es la secuencia de números enteros P ( n ) definida ^[1] por los valores iniciales

${\displaystyle P(0)=P(1)=P(2)=1,}$

y la relación de recurrencia

${\displaystyle P(n)=P(n-2)+P(n-3).}$

Los primeros valores de P ( n ) son

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ... (secuencia A000931 en la OEIS )

Un número primo de Padovan es un número primo de Padovan . Los primeros números primos de Padovan son:

2, 3, 5, 7, 37, 151, 3329, 23833, 13091204281, 3093215881333057, 1363005552434666078217421284621279933627102780881053358473, 1558877695141608507751098941899265975115403618621811951868598809164180630185566719, ... (secuencia A100891 en la OEIS ).

Espiral de triángulos equiláteros con lados que siguen la secuencia de Padovan.

La secuencia de Padovan recibe su nombre de Richard Padovan , quien atribuyó su descubrimiento al arquitecto holandés Hans van der Laan en su ensayo de 1994 Dom. Hans van der Laan: Modern Primitive . ^[2] La secuencia fue descrita por Ian Stewart en su columna Mathematical Recreations en Scientific American en junio de 1996. ^[3] También escribe sobre ella en uno de sus libros, "Math Hysteria: Fun Games With Mathematics". ^[4]

La definición anterior es la que dieron Ian Stewart y MathWorld . Es posible que otras fuentes comiencen la secuencia en un lugar diferente, en cuyo caso algunas de las identidades de este artículo deben ajustarse con los desplazamientos apropiados.

Relaciones de recurrencia

En la espiral, cada triángulo comparte un lado con otros dos, lo que da una prueba visual de que la secuencia de Padovan también satisface la relación de recurrencia.

${\displaystyle P(n)=P(n-1)+P(n-5)}$

A partir de esto, de la recurrencia definitoria y de otras recurrencias a medida que se descubren, se pueden crear un número infinito de recurrencias adicionales reemplazando repetidamente por ${\displaystyle P(m)}$ ${\displaystyle P(m-2)+P(m-3)}$

La secuencia de Perrin satisface las mismas relaciones de recurrencia que la secuencia de Padovan, aunque tiene valores iniciales diferentes.

La secuencia de Perrin se puede obtener a partir de la secuencia de Padovan mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle \mathrm {Perrin} (n)=P(n+1)+P(n-10).\,}$

Extensión a parámetros negativos

Al igual que con cualquier secuencia definida por una relación de recurrencia, los números de Padovan P ( m ) para m < 0 se pueden definir reescribiendo la relación de recurrencia como

${\displaystyle P(m)=P(m+3)-P(m+1),}$

Comenzando con m = −1 y trabajando hacia atrás, extendemos P ( m ) a índices negativos:

Sumas de términos

La suma de los primeros n términos de la sucesión de Padovan es 2 menos que P ( n  + 5), es decir

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(m)=P(n+5)-2.}$

Las sumas de términos alternos, las sumas de cada tercer término y las sumas de cada quinto término también están relacionadas con otros términos de la secuencia:

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(2m)=P(2n+3)-1}$ OEIS : A077855

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(2m+1)=P(2n+4)-1}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(3m)=P(3n+2)}$ Norma OEIS : A034943

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(3m+1)=P(3n+3)-1}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(3m+2)=P(3n+4)-1}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(5m)=P(5n+1).}$ Norma OEIS : A012772

Las sumas que involucran productos de términos en la secuencia de Padovan satisfacen las siguientes identidades:

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(m)^{2}=P(n+2)^{2}-P(n-1)^{2}-P(n-3)^{2}}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(m)^{2}P(m+1)=P(n)P(n+1)P(n+2)}$

${\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P(m)P(m+2)=P(n+2)P(n+3)-1.}$

Otras identidades

La secuencia de Padovan también satisface la identidad

${\displaystyle P(n)^{2}-P(n+1)P(n-1)=P(-n-7).\,}$

La secuencia de Padovan está relacionada con las sumas de coeficientes binomiales por la siguiente identidad:

${\displaystyle P(k-2)=\sum _{2m+n=k}{m \choose n}=\sum _{m=\lceil k/3\rceil }^{\lfloor k/2\rfloor }{m \choose k-2m}.}$

Por ejemplo, para k = 12, los valores para el par ( m ,  n ) con 2 m  +  n = 12 que dan coeficientes binomiales distintos de cero son (6, 0), (5, 2) y (4, 4), y:

${\displaystyle {6 \choose 0}+{5 \choose 2}+{4 \choose 4}=1+10+1=12=P(10).\,}$

Fórmula similar a la de Binet

Los triángulos con lados en razón de 1/ ρ forman una espiral cerrada

Los números de secuencia de Padovan se pueden escribir en términos de potencias de las raíces de la ecuación ^[1]

${\displaystyle x^{3}-x-1=0.\,}$

Esta ecuación tiene 3 raíces: una raíz real p (conocida como razón plástica ) y dos raíces conjugadas complejas q y r . ^[5] Dadas estas tres raíces, la secuencia de Padovan se puede expresar mediante una fórmula que involucra p , q y r  :

${\displaystyle P(n)=ap^{n}+bq^{n}+cr^{n}}$

donde a , b y c son constantes. ^[1]

Dado que los valores absolutos de las raíces complejas q y r son ambos menores que 1 (y, por lo tanto, p es un número de Pisot–Vijayaraghavan ), las potencias de estas raíces se acercan a 0 para n grande y tienden a cero. ${\displaystyle P(n)-ap^{n}}$

Para todo , P ( n ) es el entero más cercano a . En efecto, es el valor de la constante a anterior, mientras que b y c se obtienen reemplazando p por q y r , respectivamente. ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle {\frac {p^{5}}{2p+3}}p^{n}}$ ${\displaystyle {\frac {p^{5}}{2p+3}}}$

La proporción de términos sucesivos en la sucesión de Padovan se aproxima a p , que tiene un valor de aproximadamente 1,324718. Esta constante guarda la misma relación con la sucesión de Padovan y la sucesión de Perrin que la proporción áurea con la sucesión de Fibonacci .

Interpretaciones combinatorias

• P ( n ) es el número de formas de escribir n  + 2 como una suma ordenada en la que cada término es 2 o 3 (es decir, el número de composiciones de n  + 2 en las que cada término es 2 o 3). Por ejemplo, P (6) = 4, y hay 4 formas de escribir 8 como una suma ordenada de 2 y 3:

2 + 2 + 2 + 2 ; 2 + 3 + 3 ; 3 + 2 + 3 ; 3 + 3 + 2

• La cantidad de formas de escribir n como una suma ordenada en la que ningún término es 2 es P (2 n  − 2). Por ejemplo, P (6) = 4, y hay 4 formas de escribir 4 como una suma ordenada en la que ningún término es 2:

4; 1 + 3 ; 3 + 1 ; 1+1+1+1

• La cantidad de formas de escribir n como una suma ordenada palindrómica en la que ningún término es 2 es P ( n ). Por ejemplo, P (6) = 4, y hay 4 formas de escribir 6 como una suma ordenada palindrómica en la que ningún término es 2:

6; 3 + 3 ; 1 + 4 + 1 ; 1+1+1+1+1+1

• La cantidad de formas de escribir n como una suma ordenada en la que cada término es impar y mayor que 1 es igual a P ( n  − 5). Por ejemplo, P (6) = 4, y hay 4 formas de escribir 11 como una suma ordenada en la que cada término es impar y mayor que 1:

11; 5 + 3 + 3 ; 3 + 5 + 3 ; 3+3+5

• La cantidad de formas de escribir n como una suma ordenada en la que cada término es congruente con 2 módulo 3 es igual a P ( n  − 4). Por ejemplo, P (6) = 4, y hay 4 formas de escribir 10 como una suma ordenada en la que cada término es congruente con 2 módulo 3:

8 + 2 ; 2 + 8 ; 5 + 5 ; 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Función generadora

La función generadora de la secuencia de Padovan es

${\displaystyle G(P(n);x)={\frac {1+x}{1-x^{2}-x^{3}}}.}$

Esto se puede utilizar para demostrar identidades que involucran productos de la secuencia de Padovan con términos geométricos , como:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {P(n)}{2^{n}}}={\frac {12}{5}}.}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {P(n)}{\alpha ^{n}}}={\frac {\alpha ^{2}(\alpha +1)}{\alpha ^{3}-\alpha -1}}.}$

Generalizaciones

De manera similar a los números de Fibonacci que pueden generalizarse a un conjunto de polinomios llamados polinomios de Fibonacci , los números de secuencia de Padovan pueden generalizarse para producir los polinomios de Padovan .

Sistema L de Padovan

Si definimos la siguiente gramática simple:

variables  : abc

constantes  : ninguna

comienzo  :A

reglas  : (A → B), (B → C), (C → AB)

Entonces este sistema Lindenmayer o sistema L produce la siguiente secuencia de cadenas:

n = 0 : A

n = 1 : B

n = 2 : C

n = 3 : AB

n = 4 : BC

n = 5 : CAB

n = 6 : ABBC

n = 7 : BCCAB

n = 8 : CABABA

y si contamos la longitud de cada cuerda, obtenemos los números de Padovan:

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, ...

Además, si cuentas el número de A , B y C en cada cadena, entonces para la cadena n , tienes P ( n  − 5) A , P ( n  − 3) B y P ( n  − 4) C. El recuento de pares BB y pares CC también son números de Padovan.

Espiral cuboide

Se puede formar una espiral uniendo los vértices de un conjunto de cuboides tridimensionales . Esta es la espiral cuboide de Padovan . Los lados sucesivos de esta espiral tienen longitudes que son los números de Padovan multiplicados por la raíz cuadrada de 2 .

Triángulo de Pascal

Erv Wilson, en su artículo The Scales of Mt. Meru ^[6], observó ciertas diagonales en el triángulo de Pascal (ver diagrama) y las dibujó en papel en 1993. Los números de Padovan se descubrieron en 1994. Paul Barry (2004) observó que estas diagonales generan la secuencia de Padovan sumando los números diagonales. ^[7]

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Secuencia de Padovan". MathWorld ..
2. Richard Padovan. Dom Hans van der Laan: primitivo moderno : Architectura & Natura Press, ISBN 9789071570407 . 
3. Ian Stewart, Cuentos de un número desatendido, Scientific American , n.º 6, junio de 1996, págs. 92-93.
4. Ian Stewart (2004), Histeria matemática: diversión y juegos con las matemáticas , Oxford University Press, pág. 87, ISBN 978-0-19-861336-7.
5. Richard Padovan, "Dom Hans Van Der Laan y el número plástico", pp. 181-193 en Nexus IV: Architecture and Mathematics, eds. Kim Williams y Jose Francisco Rodrigues, Fucecchio (Florencia): Kim Williams Books, 2002.
6. Erv Wilson (1993), Escalas del monte Meru
7. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A000931". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.Véase la fórmula atribuida a Paul Barry, 6 de julio de 2004

• Ian Stewart, A Guide to Computer Dating (Feedback), Scientific American, vol. 275, núm. 5, noviembre de 1996, pág. 118.

Enlaces externos

• Secuencia OEIS A000931 (secuencia de Padovan)
• Calculadora de secuencias de Padovan