Un primo de Padovan es un número de Padovan que es primo . Los primeros números primos de Padovan son:
2, 3, 5, 7, 37, 151, 3329, 23833, 13091204281, 3093215881333057, 136300555243466607821742128462127993362710278088105335847 3, 1558877695141608507751098941899265975115403618621811951868598809164180630185566719, ... (secuencia A100891 en la OEIS ).
Espiral de triángulos equiláteros con longitudes de lados que siguen la secuencia padovana.
La secuencia Padovan lleva el nombre de Richard Padovan , quien atribuyó su descubrimiento al arquitecto holandés Hans van der Laan en su ensayo Dom de 1994. Hans van der Laan: Primitivo moderno . [2] La secuencia fue descrita por Ian Stewart en su columna Mathematical Recreations de Scientific American en junio de 1996. [3] También escribe sobre ello en uno de sus libros, "Math Hysteria: Fun Games With Mathematics". [4]
La definición anterior es la dada por Ian Stewart y MathWorld . Otras fuentes pueden comenzar la secuencia en un lugar diferente, en cuyo caso algunas de las identidades de este artículo deben ajustarse con las compensaciones adecuadas.
Relaciones de recurrencia
En la espiral, cada triángulo comparte un lado con otros dos, dando una prueba visual de que la secuencia de Padovan también satisface la relación de recurrencia.
A partir de esto, la recurrencia definitoria y otras recurrencias a medida que se descubren, se puede crear un número infinito de recurrencias adicionales reemplazando repetidamente por
La secuencia de Perrin satisface las mismas relaciones de recurrencia que la secuencia de Padovan, aunque tiene diferentes valores iniciales.
La secuencia de Perrin se puede obtener a partir de la secuencia de Padovan mediante la siguiente fórmula:
Ampliación a parámetros negativos
Como ocurre con cualquier secuencia definida por una relación de recurrencia, los números de Padovan P ( m ) para m <0 se pueden definir reescribiendo la relación de recurrencia como
Comenzando con m = −1 y trabajando hacia atrás, extendemos P ( m ) a índices negativos:
Sumas de términos
La suma de los primeros n términos de la secuencia de Padovan es 2 menos que P ( n + 5), es decir
Las sumas de términos alternos, las sumas de cada tercer término y las sumas de cada quinto término también están relacionadas con otros términos de la secuencia:
OEIS : A077855
OEIS : A034943
OEIS : A012772
Las sumas que involucran productos de términos en la secuencia Padovan satisfacen las siguientes identidades:
Otras identidades
La secuencia de Padovan también satisface la identidad.
La secuencia de Padovan está relacionada con sumas de coeficientes binomiales mediante la siguiente identidad:
Por ejemplo, para k = 12, los valores para el par ( m , n ) con 2 m + n = 12 que dan coeficientes binomiales distintos de cero son (6, 0), (5, 2) y (4, 4) , y:
Fórmula tipo Binet
Los triángulos con lados en proporción 1/ ρ forman una espiral cerrada
Los números de secuencia de Padovan se pueden escribir en términos de potencias de las raíces de la ecuación [1]
Esta ecuación tiene 3 raíces; una raíz real p (conocida como relación plástica ) y dos raíces conjugadas complejas q y r . [5] Dadas estas tres raíces, la secuencia de Padovan se puede expresar mediante una fórmula que involucra p , q y r :
Para todos , P ( n ) es el número entero más cercano a . De hecho, es el valor de la constante a anterior, mientras que b y c se obtienen reemplazando p con q y r , respectivamente.
La proporción de términos sucesivos en la secuencia de Padovan se acerca a p , que tiene un valor de aproximadamente 1,324718. Esta constante tiene la misma relación con la secuencia de Padovan y la secuencia de Perrin que la proporción áurea con la secuencia de Fibonacci .
Interpretaciones combinatorias
P ( n ) es el número de formas de escribir n + 2 como una suma ordenada en la que cada término es 2 o 3 (es decir, el número de composiciones de n + 2 en las que cada término es 2 o 3). Por ejemplo, P (6) = 4, y hay 4 formas de escribir 8 como una suma ordenada de 2 y 3:
2 + 2 + 2 + 2 ; 2 + 3 + 3 ; 3 + 2 + 3 ; 3 + 3 + 2
El número de formas de escribir n como una suma ordenada en la que ningún término es 2 es P (2 n − 2). Por ejemplo, P (6) = 4, y hay 4 formas de escribir 4 como una suma ordenada en la que ningún término es 2:
4; 1 + 3 ; 3 + 1 ; 1+1+1+1
El número de formas de escribir n como una suma ordenada palindrómica en la que ningún término es 2 es P ( n ). Por ejemplo, P (6) = 4, y hay 4 formas de escribir 6 como una suma ordenada palindrómica en la que ningún término es 2:
6; 3 + 3 ; 1 + 4 + 1 ; 1+1+1+1+1+1
El número de formas de escribir n como una suma ordenada en la que cada término es impar y mayor que 1 es igual a P ( n − 5). Por ejemplo, P (6) = 4, y hay 4 formas de escribir 11 como una suma ordenada en la que cada término es impar y mayor que 1:
11; 5 + 3 + 3 ; 3 + 5 + 3 ; 3+3+5
El número de formas de escribir n como una suma ordenada en la que cada término es congruente con 2 mod 3 es igual a P ( n − 4). Por ejemplo, P (6) = 4, y hay 4 formas de escribir 10 como una suma ordenada en la que cada término es congruente con 2 mod 3:
entonces este sistema Lindenmayer o sistema L produce la siguiente secuencia de cadenas:
norte = 0 : Un
norte = 1: segundo
norte = 2 : C
norte = 3 : AB
norte = 4 : antes de Cristo
n = 5 : CABINA
n = 6 : ABBC
n = 7 : BCCAB
n = 8 : CABABBC
y si contamos la longitud de cada cuerda, obtenemos los números de Padovan:
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5,...
Además, si cuentas el número de A s, B s y C s en cada cadena, entonces para la enésima cadena, tienes P ( n − 5) A s, P ( n − 3) B s y P ( n − 4) C s. El recuento de pares BB y CC también son números Padovan.
Erv Wilson en su artículo The Scales of Mt. Meru [6] observó ciertas diagonales en el triángulo de Pascal (ver diagrama) y las dibujó en papel en 1993. Los números de Padovan fueron descubiertos en 1994. Paul Barry (2004) observó que estas diagonales generan la secuencia de Padovan sumando los números diagonales. [7]
^ Richard Padovan. Dom Hans van der Laan: primitivo moderno : Architectura & Natura Press, ISBN 9789071570407 .
^ Ian Stewart, Cuentos de un número olvidado, Scientific American , núm. 6, junio de 1996, págs.
^ Ian Stewart (2004), Histeria matemática: diversión y juegos con las matemáticas , Oxford University Press, p. 87, ISBN978-0-19-861336-7.
^ Richard Padovan, "Dom Hans Van Der Laan and the Plastic Number", págs. 181-193 en Nexus IV: Arquitectura y Matemáticas, eds. Kim Williams y José Francisco Rodrigues, Fucecchio (Florencia): Kim Williams Books, 2002.