Las matemáticas son un área del conocimiento que incluye los temas de los números, fórmulas y estructuras relacionadas, las formas y los espacios en los que están contenidas, y las cantidades y sus cambios. Estos temas están representados en las matemáticas modernas con las principales subdisciplinas de teoría de números , [1] álgebra , [2] geometría , [1] y análisis , [3] respectivamente. No existe un consenso general entre los matemáticos sobre una definición común para su disciplina académica .
La mayor parte de la actividad matemática implica el descubrimiento de propiedades de objetos abstractos y el uso de la razón pura para demostrarlas . Estos objetos consisten en abstracciones de la naturaleza o, en las matemáticas modernas, en entidades a las que se les estipula que tienen ciertas propiedades, llamadas axiomas . Una prueba consiste en una sucesión de aplicaciones de reglas deductivas a resultados ya establecidos. Estos resultados incluyen teoremas , axiomas y, en caso de abstracción de la naturaleza, algunas propiedades básicas previamente probadas que se consideran verdaderos puntos de partida de la teoría bajo consideración. [4]
Las matemáticas son esenciales en las ciencias naturales , la ingeniería , la medicina , las finanzas , la informática y las ciencias sociales . Aunque las matemáticas se utilizan ampliamente para modelar fenómenos, las verdades fundamentales de las matemáticas son independientes de cualquier experimentación científica. Algunas áreas de las matemáticas, como la estadística y la teoría de juegos , se desarrollan en estrecha correlación con sus aplicaciones y a menudo se agrupan en matemáticas aplicadas . Otras áreas se desarrollan independientemente de cualquier aplicación (y por eso se denominan matemáticas puras ), pero a menudo encuentran aplicaciones prácticas más adelante. [5] [6]
Históricamente, el concepto de prueba y su rigor matemático asociado aparecieron por primera vez en las matemáticas griegas , más notablemente en los Elementos de Euclides . [7] Desde sus inicios, las matemáticas se dividieron principalmente en geometría y aritmética (la manipulación de números naturales y fracciones ), hasta los siglos XVI y XVII, cuando el álgebra [a] y el cálculo infinitesimal se introdujeron como nuevos campos. Desde entonces, la interacción entre las innovaciones matemáticas y los descubrimientos científicos ha llevado a un aumento correlacionado en el desarrollo de ambos. [8] A finales del siglo XIX, la crisis fundacional de las matemáticas llevó a la sistematización del método axiomático , [9] que presagió un aumento dramático en el número de áreas matemáticas y sus campos de aplicación. La Clasificación de Matemáticas contemporánea enumera más de sesenta áreas de matemáticas de primer nivel.
La palabra matemáticas proviene del griego antiguo máthēma ( μάθημα ), que significa "lo que se aprende", [10] "lo que uno llega a saber", de ahí también "estudio" y "ciencia". La palabra llegó a tener el significado más limitado y técnico de "estudio matemático" incluso en la época clásica . [b] Su adjetivo es mathēmatikós ( μαθηματικός ), que significa "relacionado con el aprendizaje" o "estudioso", que además pasó a significar "matemático". [14] En particular, mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ; latín : ars mathematica ) significaba "el arte matemático". [10]
De manera similar, una de las dos principales escuelas de pensamiento del pitagorismo se conocía como mathēmatikoi (μαθηματικοί), que en ese momento significaba "aprendices" en lugar de "matemáticos" en el sentido moderno. Probablemente los pitagóricos fueron los primeros en limitar el uso de la palabra únicamente al estudio de la aritmética y la geometría. En la época de Aristóteles (384-322 a. C.) este significado estaba plenamente establecido. [15]
En latín y en inglés hasta alrededor de 1700, el término matemáticas significaba más comúnmente " astrología " (o, a veces, " astronomía ") en lugar de "matemáticas"; el significado cambió gradualmente a su significado actual aproximadamente entre 1500 y 1800. Este cambio ha dado lugar a varias traducciones erróneas: por ejemplo, la advertencia de San Agustín de que los cristianos deben tener cuidado con los mathematici , que significa "astrólogos", a veces se traduce erróneamente como una condena a los matemáticos. . [dieciséis]
La forma plural aparente en inglés se remonta al plural neutro latino mathematica ( Cicerón ), basado en el plural griego ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ) y significa aproximadamente "todo lo matemático", aunque es plausible que el inglés haya tomado prestado sólo el adjetivo matemático ( al) y formó de nuevo el sustantivo matemáticas , según el patrón de física y metafísica , heredado del griego. [17] En inglés, el sustantivo matemáticas lleva un verbo singular. A menudo se abrevia a matemáticas [18] o, en América del Norte, matemáticas . [19]
Antes del Renacimiento , las matemáticas se dividían en dos áreas principales: la aritmética, relativa a la manipulación de los números, y la geometría , relativa al estudio de las formas. [20] Algunos tipos de pseudociencia , como la numerología y la astrología, no se distinguían claramente de las matemáticas. [21]
Durante el Renacimiento aparecieron dos zonas más. La notación matemática dio lugar al álgebra que, a grandes rasgos, consiste en el estudio y la manipulación de fórmulas . El cálculo , que consta de dos subcampos , cálculo diferencial y cálculo integral , es el estudio de funciones continuas , que modelan las relaciones típicamente no lineales entre cantidades variables, representadas por variables . Esta división en cuatro áreas principales –aritmética, geometría, álgebra y cálculo [22] –perduró hasta finales del siglo XIX. Áreas como la mecánica celeste y la mecánica de sólidos fueron entonces estudiadas por los matemáticos, pero ahora se consideran pertenecientes a la física. [23] El tema de la combinatoria se ha estudiado durante gran parte de la historia registrada, pero no se convirtió en una rama separada de las matemáticas hasta el siglo XVII. [24]
A finales del siglo XIX, la crisis fundacional de las matemáticas y la consiguiente sistematización del método axiomático condujeron a una explosión de nuevas áreas de las matemáticas. [25] [9] La Clasificación de Materias de Matemáticas 2020 contiene nada menos que sesenta y tres áreas de primer nivel. [26] Algunas de estas áreas corresponden a la división más antigua, como ocurre con la teoría de números (el nombre moderno de la aritmética superior ) y la geometría. Varias otras áreas de primer nivel tienen "geometría" en sus nombres o comúnmente se consideran parte de la geometría. Álgebra y cálculo no aparecen como áreas de primer nivel, sino que se dividen respectivamente en varias áreas de primer nivel. Otras áreas de primer nivel surgieron durante el siglo XX o no habían sido consideradas anteriormente como matemáticas, como la lógica y los fundamentos matemáticos . [27]
La teoría de números comenzó con la manipulación de números , es decir, números naturales y luego se expandió a números enteros y racionales. La teoría de números alguna vez se llamó aritmética, pero hoy en día este término se usa principalmente para cálculos numéricos . [28] La teoría de números se remonta a la antigua Babilonia y probablemente a China . Dos de los primeros teóricos de números destacados fueron Euclides de la antigua Grecia y Diofanto de Alejandría. [29] El estudio moderno de la teoría de números en su forma abstracta se atribuye en gran medida a Pierre de Fermat y Leonhard Euler . El campo llegó a su plenitud con las contribuciones de Adrien-Marie Legendre y Carl Friedrich Gauss . [30]
Muchos problemas numéricos fáciles de plantear tienen soluciones que requieren métodos sofisticados, a menudo de todas las matemáticas. Un ejemplo destacado es el último teorema de Fermat . Esta conjetura fue planteada en 1637 por Pierre de Fermat, pero no fue demostrada hasta 1994 por Andrew Wiles , quien utilizó herramientas que incluían la teoría de esquemas de la geometría algebraica , la teoría de categorías y el álgebra homológica . [31] Otro ejemplo es la conjetura de Goldbach , que afirma que todo número entero par mayor que 2 es la suma de dos números primos . Enunciado en 1742 por Christian Goldbach , sigue sin demostrarse a pesar de los considerables esfuerzos. [32]
La teoría de números incluye varias subáreas, incluida la teoría analítica de números , la teoría algebraica de números , la geometría de números (orientada a métodos), las ecuaciones diofánticas y la teoría de la trascendencia (orientada a problemas). [27]
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La geometría es una de las ramas más antiguas de las matemáticas. Comenzó con recetas empíricas sobre formas, como líneas , ángulos y círculos , que se desarrollaron principalmente para las necesidades de la topografía y la arquitectura , pero desde entonces ha florecido en muchos otros subcampos. [33]
Una innovación fundamental fue la introducción por parte de los antiguos griegos del concepto de pruebas , que exigen que toda afirmación sea demostrada . Por ejemplo, no basta con verificar mediante medición que, digamos, dos longitudes son iguales; su igualdad debe demostrarse mediante el razonamiento a partir de resultados previamente aceptados ( teoremas ) y algunas afirmaciones básicas. Los enunciados básicos no están sujetos a prueba porque son evidentes por sí mismos ( postulados ), o forman parte de la definición del tema de estudio ( axiomas ). Este principio, fundamental para todas las matemáticas, fue elaborado por primera vez para la geometría y sistematizado por Euclides alrededor del año 300 a.C. en su libro Elementos . [34] [35]
La geometría euclidiana resultante es el estudio de las formas y sus disposiciones construidas a partir de líneas, planos y círculos en el plano euclidiano ( geometría plana ) y el espacio euclidiano tridimensional . [c] [33]
La geometría euclidiana se desarrolló sin cambio de métodos ni alcance hasta el siglo XVII, cuando René Descartes introdujo lo que hoy se llama coordenadas cartesianas . Esto constituyó un cambio importante de paradigma : en lugar de definir los números reales como longitudes de segmentos de recta (ver recta numérica ), permitió la representación de puntos utilizando sus coordenadas , que son números. Por tanto, el álgebra (y más tarde el cálculo) se puede utilizar para resolver problemas geométricos. La geometría se dividió en dos nuevos subcampos: la geometría sintética , que utiliza métodos puramente geométricos, y la geometría analítica , que utiliza coordenadas de forma sistémica. [36]
La geometría analítica permite el estudio de curvas no relacionadas con círculos y líneas. Estas curvas pueden definirse como la gráfica de funciones , cuyo estudio condujo a la geometría diferencial . También pueden definirse como ecuaciones implícitas , a menudo ecuaciones polinómicas (que engendraron la geometría algebraica ). La geometría analítica también permite considerar espacios euclidianos de más de tres dimensiones. [33]
En el siglo XIX, los matemáticos descubrieron geometrías no euclidianas , que no siguen el postulado de las paralelas . Al cuestionar la verdad de ese postulado, se ha considerado que este descubrimiento se une a la paradoja de Russell al revelar la crisis fundamental de las matemáticas . Este aspecto de la crisis se resolvió sistematizando el método axiomático y adoptando que la verdad de los axiomas elegidos no es un problema matemático. [37] [9] A su vez, el método axiomático permite el estudio de diversas geometrías obtenidas ya sea cambiando los axiomas o considerando propiedades que no cambian bajo transformaciones específicas del espacio . [38]
Las subáreas actuales de la geometría incluyen: [27]
El álgebra es el arte de manipular ecuaciones y fórmulas. Diofanto (siglo III) y al-Khwarizmi (siglo IX) fueron los dos principales precursores del álgebra. [40] [41] Diofanto resolvió algunas ecuaciones que involucraban números naturales desconocidos deduciendo nuevas relaciones hasta que obtuvo la solución. Al-Khwarizmi introdujo métodos sistemáticos para transformar ecuaciones, como mover un término de un lado de una ecuación al otro lado. El término álgebra se deriva de la palabra árabe al-jabr que significa "la reunión de partes rotas" [42] que utilizó para nombrar uno de estos métodos en el título de su tratado principal .
El álgebra se convirtió en un área por derecho propio sólo con François Viète (1540-1603), quien introdujo el uso de variables para representar números desconocidos o no especificados. [43] Las variables permiten a los matemáticos describir las operaciones que deben realizarse con los números representados mediante fórmulas matemáticas .
Hasta el siglo XIX, el álgebra consistía principalmente en el estudio de ecuaciones lineales (actualmente álgebra lineal ), y de ecuaciones polinómicas en una única incógnita , que se denominaban ecuaciones algebraicas (término aún en uso, aunque puede resultar ambiguo). Durante el siglo XIX, los matemáticos comenzaron a utilizar variables para representar cosas distintas de los números (como matrices , enteros modulares y transformaciones geométricas ), sobre las cuales las generalizaciones de las operaciones aritméticas suelen ser válidas. [44] El concepto de estructura algebraica aborda esto, que consiste en un conjunto cuyos elementos no están especificados, de operaciones que actúan sobre los elementos del conjunto y las reglas que estas operaciones deben seguir. Así, el alcance del álgebra creció hasta incluir el estudio de estructuras algebraicas. Este objeto del álgebra fue llamado álgebra moderna o álgebra abstracta , según lo establecido por la influencia y los trabajos de Emmy Noether . [45] (Este último término aparece principalmente en un contexto educativo, en oposición al álgebra elemental , que se ocupa de la forma más antigua de manipular fórmulas).
Algunos tipos de estructuras algebraicas tienen propiedades útiles y, a menudo, fundamentales en muchas áreas de las matemáticas. Su estudio se convirtió en partes autónomas del álgebra e incluye: [27]
El estudio de tipos de estructuras algebraicas como objetos matemáticos es el propósito del álgebra universal y la teoría de categorías . [46] Esto último se aplica a todas las estructuras matemáticas (no sólo a las algebraicas). En su origen, se introdujo, junto con el álgebra homológica, para permitir el estudio algebraico de objetos no algebraicos como los espacios topológicos ; Esta área particular de aplicación se llama topología algebraica . [47]
El cálculo, antes llamado cálculo infinitesimal, fue introducido de forma independiente y simultánea por los matemáticos del siglo XVII Newton y Leibniz . [48] Es fundamentalmente el estudio de la relación de variables que dependen unas de otras. El cálculo fue ampliado en el siglo XVIII por Euler con la introducción del concepto de función y muchos otros resultados. [49] Actualmente, "cálculo" se refiere principalmente a la parte elemental de esta teoría, y "análisis" se usa comúnmente para las partes avanzadas.
El análisis se subdivide en análisis real , donde las variables representan números reales , y análisis complejo , donde las variables representan números complejos . El análisis incluye muchas subáreas compartidas por otras áreas de las matemáticas que incluyen: [27]
Las matemáticas discretas, en términos generales, son el estudio de objetos matemáticos individuales y contables . Un ejemplo es el conjunto de todos los números enteros. [50] Debido a que los objetos de estudio aquí son discretos, los métodos de cálculo y análisis matemático no se aplican directamente. [d] Los algoritmos , especialmente su implementación y complejidad computacional , juegan un papel importante en las matemáticas discretas. [51]
El teorema de los cuatro colores y el empaquetamiento óptimo de esferas fueron dos problemas importantes de las matemáticas discretas resueltos en la segunda mitad del siglo XX. [52] El problema P versus NP , que permanece abierto hasta el día de hoy, también es importante para las matemáticas discretas, ya que su solución potencialmente afectaría a una gran cantidad de problemas computacionalmente difíciles . [53]
Las matemáticas discretas incluyen: [27]
Las dos materias de lógica matemática y teoría de conjuntos pertenecen a las matemáticas desde finales del siglo XIX. [54] [55] Antes de este período, los conjuntos no se consideraban objetos matemáticos, y la lógica , aunque se usaba para pruebas matemáticas, pertenecía a la filosofía y no era estudiada específicamente por los matemáticos. [56]
Antes del estudio de Cantor de los conjuntos infinitos , los matemáticos eran reacios a considerar colecciones realmente infinitas y consideraban que el infinito era el resultado de una enumeración infinita . El trabajo de Cantor ofendió a muchos matemáticos no sólo al considerar conjuntos realmente infinitos [57] sino al mostrar que esto implica diferentes tamaños de infinito, según el argumento de la diagonal de Cantor . Esto llevó a la controversia sobre la teoría de conjuntos de Cantor . [58]
En el mismo período, diversas áreas de las matemáticas concluyeron que las antiguas definiciones intuitivas de los objetos matemáticos básicos eran insuficientes para garantizar el rigor matemático . Ejemplos de definiciones intuitivas son "un conjunto es una colección de objetos", "un número natural es lo que se usa para contar", "un punto es una forma con una longitud cero en cada dirección", "una curva es una huella dejada por un punto en movimiento", etc.
Esta se convirtió en la crisis fundamental de las matemáticas. [59] Finalmente se resolvió en las matemáticas convencionales sistematizando el método axiomático dentro de una teoría de conjuntos formalizada . En términos generales, cada objeto matemático está definido por el conjunto de todos los objetos similares y las propiedades que estos objetos deben tener. [25] Por ejemplo, en la aritmética de Peano , los números naturales se definen por "el cero es un número", "cada número tiene un sucesor único", "cada número excepto el cero tiene un predecesor único" y algunas reglas de razonamiento. [60] Esta abstracción matemática de la realidad está incorporada en la filosofía moderna del formalismo , fundada por David Hilbert alrededor de 1910. [61]
La "naturaleza" de los objetos definidos de esta manera es un problema filosófico que los matemáticos dejan a los filósofos, incluso si muchos matemáticos tienen opiniones sobre esta naturaleza y utilizan su opinión (a veces llamada "intuición") para guiar su estudio y sus pruebas. El enfoque permite considerar "lógicas" (es decir, conjuntos de reglas de deducción permitidas), teoremas, demostraciones, etc. como objetos matemáticos, y demostrar teoremas sobre ellos. Por ejemplo, los teoremas de incompletitud de Gödel afirman, en términos generales, que, en todo sistema formal consistente que contiene números naturales, hay teoremas que son verdaderos (es decir, demostrables en un sistema más fuerte), pero no demostrables dentro del sistema. [62] Este enfoque de los fundamentos de las matemáticas fue cuestionado durante la primera mitad del siglo XX por matemáticos liderados por Brouwer , quien promovió la lógica intuicionista , que carece explícitamente de la ley del tercero excluido . [63] [64]
Estos problemas y debates llevaron a una amplia expansión de la lógica matemática, con subáreas como la teoría de modelos (modelar algunas teorías lógicas dentro de otras teorías), la teoría de la prueba , la teoría de tipos , la teoría de la computabilidad y la teoría de la complejidad computacional . [27] Aunque estos aspectos de la lógica matemática se introdujeron antes del surgimiento de las computadoras , su uso en el diseño de compiladores , certificación de programas , asistentes de prueba y otros aspectos de la informática , contribuyó a su vez a la expansión de estas teorías lógicas. [sesenta y cinco]
El campo de la estadística es una aplicación matemática que se emplea para la recolección y procesamiento de muestras de datos, utilizando procedimientos basados en métodos matemáticos, especialmente la teoría de la probabilidad . Los estadísticos generan datos con muestreo aleatorio o experimentos aleatorios . [67] El diseño de una muestra o experimento estadístico determina los métodos analíticos que se utilizarán. El análisis de datos de estudios observacionales se realiza utilizando modelos estadísticos y la teoría de la inferencia , utilizando la selección y estimación de modelos . Los modelos y las consiguientes predicciones deberían luego contrastarse con nuevos datos . [mi]
La teoría estadística estudia problemas de decisión como minimizar el riesgo ( pérdida esperada ) de una acción estadística, como el uso de un procedimiento en, por ejemplo, la estimación de parámetros , la prueba de hipótesis y la selección de los mejores . En estas áreas tradicionales de la estadística matemática , un problema de decisión estadística se formula minimizando una función objetivo , como la pérdida o el costo esperado , bajo restricciones específicas. Por ejemplo, diseñar una encuesta a menudo implica minimizar el costo de estimar una media poblacional con un nivel de confianza determinado. [68] Debido a su uso de la optimización , la teoría matemática de la estadística se superpone con otras ciencias de la decisión , como la investigación de operaciones , la teoría del control y la economía matemática . [69]
Las matemáticas computacionales son el estudio de problemas matemáticos que normalmente son demasiado grandes para la capacidad numérica humana. [70] [71] El análisis numérico estudia métodos para problemas de análisis utilizando análisis funcional y teoría de aproximación ; El análisis numérico incluye ampliamente el estudio de la aproximación y la discretización con especial atención a los errores de redondeo . [72] El análisis numérico y, más ampliamente, la computación científica también estudian temas no analíticos de la ciencia matemática, especialmente la teoría algorítmica de matrices y grafos . Otras áreas de las matemáticas computacionales incluyen el álgebra informática y la computación simbólica .
La historia de las matemáticas es una serie cada vez mayor de abstracciones. Hablando evolutivamente, la primera abstracción jamás descubierta, compartida por muchos animales, [73] fue probablemente la de los números: la comprensión de que, por ejemplo, una colección de dos manzanas y una colección de dos naranjas (digamos) tienen algo en común. común, es decir, que hay dos . Como lo demuestran los recuentos encontrados en huesos, además de reconocer cómo contar objetos físicos, los pueblos prehistóricos también pueden haber sabido contar cantidades abstractas, como el tiempo (días, estaciones o años). [74] [75]
La evidencia de matemáticas más complejas no aparece hasta alrededor del 3000 a. C. , cuando los babilonios y los egipcios comenzaron a utilizar la aritmética, el álgebra y la geometría para los impuestos y otros cálculos financieros, para la edificación y la astronomía. [76] Los textos matemáticos más antiguos de Mesopotamia y Egipto datan del 2000 al 1800 a.C. Muchos textos antiguos mencionan ternas pitagóricas y, por lo tanto, por inferencia, el teorema de Pitágoras parece ser el concepto matemático más antiguo y extendido después de la aritmética y la geometría básicas. Es en las matemáticas babilónicas donde la aritmética elemental ( suma , resta , multiplicación y división ) aparece por primera vez en el registro arqueológico. Los babilonios también poseían un sistema de valor posicional y utilizaban un sistema de numeración sexagesimal que todavía se utiliza hoy en día para medir ángulos y el tiempo. [77]
En el siglo VI a. C., las matemáticas griegas comenzaron a surgir como una disciplina distinta y algunos antiguos griegos, como los pitagóricos , parecían haberlas considerado una materia por derecho propio. [78] Alrededor del 300 a. C., Euclides organizó el conocimiento matemático mediante postulados y primeros principios, que evolucionaron hasta convertirse en el método axiomático que se utiliza en las matemáticas hoy en día, que consta de definición, axioma, teorema y prueba. [79] Su libro, Elementos , es ampliamente considerado el libro de texto más exitoso e influyente de todos los tiempos. [80] A menudo se considera que el mayor matemático de la antigüedad fue Arquímedes ( c. 287 – c. 212 a. C. ) de Siracusa . [81] Desarrolló fórmulas para calcular el área de superficie y el volumen de sólidos de revolución y utilizó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita , de una manera no muy diferente del cálculo moderno. . [82] Otros logros notables de las matemáticas griegas son las secciones cónicas ( Apolonio de Perga , siglo III a.C.), [83] la trigonometría ( Hiparco de Nicea , siglo II a.C.), [84] y los inicios del álgebra (Diofanto, siglo III d.C. ). [85]
El sistema de numeración hindú-árabe y las reglas para el uso de sus operaciones, que se utilizan hoy en todo el mundo, evolucionaron a lo largo del primer milenio d.C. en la India y se transmitieron al mundo occidental a través de las matemáticas islámicas . [86] Otros desarrollos notables de las matemáticas indias incluyen la definición y aproximación modernas del seno y el coseno , y una forma temprana de series infinitas . [87] [88]
Durante la Edad de Oro del Islam , especialmente durante los siglos IX y X, las matemáticas vieron muchas innovaciones importantes basadas en las matemáticas griegas. El logro más notable de las matemáticas islámicas fue el desarrollo del álgebra. Otros logros del período islámico incluyen avances en trigonometría esférica y la adición del punto decimal al sistema de numeración arábigo. [89] Muchos matemáticos notables de este período eran persas, como Al-Khwarismi, Omar Khayyam y Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī . [90] Los textos matemáticos griegos y árabes fueron a su vez traducidos al latín durante la Edad Media y puestos a disposición en Europa. [91]
Durante el período moderno temprano , las matemáticas comenzaron a desarrollarse a un ritmo acelerado en Europa occidental , con innovaciones que revolucionaron las matemáticas, como la introducción de variables y notación simbólica por François Viète (1540-1603), la introducción de logaritmos por John Napier en 1614, que simplificó enormemente los cálculos numéricos, especialmente para la astronomía y la navegación marina , la introducción de coordenadas por René Descartes (1596-1650) para reducir la geometría al álgebra y el desarrollo del cálculo por Isaac Newton (1642-1726/27) y Gottfried . Leibniz (1646-1716). Leonhard Euler (1707-1783), el matemático más notable del siglo XVIII, unificó estas innovaciones en un solo corpus con una terminología estandarizada y las completó con el descubrimiento y la demostración de numerosos teoremas.
Quizás el matemático más destacado del siglo XIX fue el matemático alemán Carl Gauss, quien hizo numerosas contribuciones en campos como el álgebra, el análisis, la geometría diferencial , la teoría de matrices , la teoría de números y la estadística . [92] A principios del siglo XX, Kurt Gödel transformó las matemáticas al publicar sus teoremas de incompletitud, que muestran en parte que cualquier sistema axiomático consistente, si es lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética, contendrá proposiciones verdaderas que no se pueden probar. [62]
Desde entonces, las matemáticas se han extendido enormemente y ha habido una interacción fructífera entre las matemáticas y la ciencia , en beneficio de ambas. Hasta el día de hoy se siguen realizando descubrimientos matemáticos. Según Mikhail B. Sevryuk, en la edición de enero de 2006 del Bulletin of the American Mathematical Society , "El número de artículos y libros incluidos en la base de datos de Mathematical Reviews desde 1940 (el primer año de funcionamiento de MR) es ahora de más de 1,9 millones y cada año se añaden a la base de datos más de 75 mil elementos. La inmensa mayoría de los trabajos en este océano contienen nuevos teoremas matemáticos y sus demostraciones." [93]
La notación matemática se usa ampliamente en ciencias e ingeniería para representar conceptos y propiedades complejos de una manera concisa, inequívoca y precisa. Esta notación consta de símbolos utilizados para representar operaciones , números no especificados, relaciones y cualquier otro objeto matemático, y luego ensamblarlos en expresiones y fórmulas. [94] Más precisamente, los números y otros objetos matemáticos se representan mediante símbolos llamados variables, que generalmente son letras latinas o griegas , y a menudo incluyen subíndices . Las operaciones y las relaciones generalmente se representan mediante símbolos o glifos específicos , [95] como + ( más ), × ( multiplicación ), ( integral ), = ( igual ) y < ( menor que ). [96] Todos estos símbolos generalmente se agrupan según reglas específicas para formar expresiones y fórmulas. [97] Normalmente, las expresiones y fórmulas no aparecen solas, sino que se incluyen en oraciones del lenguaje actual, donde las expresiones desempeñan el papel de sintagmas nominales y las fórmulas desempeñan el papel de cláusulas .
Las matemáticas han desarrollado una rica terminología que cubre una amplia gama de campos que estudian las propiedades de varios objetos abstractos e idealizados y cómo interactúan. Se basa en definiciones rigurosas que proporcionan una base estándar para la comunicación. Un axioma o postulado es una afirmación matemática que se considera verdadera sin necesidad de prueba. Si una afirmación matemática aún no ha sido probada (o refutada), se denomina conjetura . A través de una serie de argumentos rigurosos que emplean razonamiento deductivo , una afirmación que se demuestra que es cierta se convierte en un teorema. Un teorema especializado que se utiliza principalmente para demostrar otro teorema se llama lema . Un caso comprobado que forma parte de un hallazgo más general se denomina corolario . [98]
Numerosos términos técnicos utilizados en matemáticas son neologismos , como polinomio y homeomorfismo . [99] Otros términos técnicos son palabras del lenguaje común que se utilizan con un significado preciso que puede diferir ligeramente de su significado común. Por ejemplo, en matemáticas, " o " significa "uno, el otro o ambos", mientras que, en el lenguaje común, o es ambiguo o significa "uno o el otro pero no ambos" (en matemáticas, este último se llama " exclusivo "). o "). Por último, muchos términos matemáticos son palabras comunes que se utilizan con un significado completamente diferente. [100] Esto puede conducir a oraciones que son afirmaciones matemáticas correctas y verdaderas, pero que parecen una tontería para las personas que no tienen la formación requerida. Por ejemplo, "cada módulo libre es plano " y "un campo es siempre un anillo ".
Las matemáticas se utilizan en la mayoría de las ciencias para modelar fenómenos, lo que luego permite hacer predicciones a partir de leyes experimentales. [101] La independencia de la verdad matemática de cualquier experimentación implica que la precisión de tales predicciones depende sólo de la idoneidad del modelo. [102] Las predicciones inexactas, en lugar de ser causadas por conceptos matemáticos no válidos, implican la necesidad de cambiar el modelo matemático utilizado. [103] Por ejemplo, la precesión del perihelio de Mercurio sólo pudo explicarse después del surgimiento de la relatividad general de Einstein , que reemplazó a la ley de gravitación de Newton como un mejor modelo matemático. [104]
Todavía existe un debate filosófico sobre si las matemáticas son una ciencia. Sin embargo, en la práctica, los matemáticos suelen agruparse con los científicos, y las matemáticas tienen mucho en común con las ciencias físicas. Como ellos, es falsable , lo que significa en matemáticas que, si un resultado o una teoría es incorrecto, esto se puede demostrar proporcionando un contraejemplo . Al igual que en la ciencia, las teorías y los resultados (teoremas) a menudo se obtienen a partir de la experimentación . [105] En matemáticas, la experimentación puede consistir en el cálculo de ejemplos seleccionados o en el estudio de figuras u otras representaciones de objetos matemáticos (a menudo representaciones mentales sin soporte físico). Por ejemplo, cuando se le preguntó cómo surgió sus teoremas, Gauss respondió una vez "durch planmässiges Tattonieren" (mediante experimentación sistemática). [106] Sin embargo, algunos autores enfatizan que las matemáticas difieren de la noción moderna de ciencia al no depender de evidencia empírica. [107] [108] [109] [110]
Hasta el siglo XIX, el desarrollo de las matemáticas en Occidente estuvo motivado principalmente por las necesidades de la tecnología y la ciencia, y no existía una distinción clara entre matemáticas puras y aplicadas. [111] Por ejemplo, los números naturales y la aritmética se introdujeron por la necesidad de contar, y la geometría fue motivada por la topografía, la arquitectura y la astronomía. Posteriormente, Isaac Newton introdujo el cálculo infinitesimal para explicar el movimiento de los planetas con su ley de gravitación. Además, la mayoría de los matemáticos también eran científicos, y muchos científicos también eran matemáticos. [112] Sin embargo, se produjo una excepción notable con la tradición de las matemáticas puras en la Antigua Grecia . [113] El problema de la factorización de números enteros , por ejemplo, que se remonta a Euclides en el año 300 a. C., no tenía ninguna aplicación práctica antes de su uso en el criptosistema RSA , ahora ampliamente utilizado para la seguridad de las redes informáticas . [114]
En el siglo XIX, matemáticos como Karl Weierstrass y Richard Dedekind centraron cada vez más sus investigaciones en problemas internos, es decir, la matemática pura . [111] [115] Esto llevó a dividir las matemáticas en matemáticas puras y matemáticas aplicadas , siendo estas últimas a menudo consideradas de menor valor entre los puristas matemáticos. Sin embargo, las líneas entre ambos con frecuencia son borrosas. [116]
Las secuelas de la Segunda Guerra Mundial provocaron un aumento en el desarrollo de las matemáticas aplicadas en Estados Unidos y otros lugares. [117] [118] Muchas de las teorías desarrolladas para aplicaciones se encontraron interesantes desde el punto de vista de las matemáticas puras, y se demostró que muchos resultados de las matemáticas puras tenían aplicaciones fuera de las matemáticas; a su vez, el estudio de estas aplicaciones puede aportar nuevos conocimientos sobre la "teoría pura". [119] [120]
Un ejemplo del primer caso es la teoría de las distribuciones , introducida por Laurent Schwartz para validar los cálculos realizados en mecánica cuántica , que se convirtió inmediatamente en una importante herramienta de análisis matemático (puro). [121] Un ejemplo del segundo caso es la decidibilidad de la teoría de primer orden de los números reales , un problema de matemáticas puras que fue demostrado por Alfred Tarski , con un algoritmo que es imposible de implementar debido a una complejidad computacional que es demasiado alto. [122] Para obtener un algoritmo que pueda implementarse y pueda resolver sistemas de ecuaciones polinómicas y desigualdades, George Collins introdujo la descomposición algebraica cilíndrica que se convirtió en una herramienta fundamental en la geometría algebraica real . [123]
Hoy en día, la distinción entre matemáticas puras y aplicadas es más una cuestión de objetivos de investigación personales de los matemáticos que una división de las matemáticas en áreas amplias. [124] [125] La Clasificación de Matemáticas tiene una sección para "matemáticas generales aplicadas", pero no menciona "matemáticas puras". [27] Sin embargo, estos términos todavía se utilizan en los nombres de algunos departamentos universitarios , como en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Cambridge .
La eficacia irrazonable de las matemáticas es un fenómeno que fue nombrado y explicitado por primera vez por el físico Eugene Wigner . [6] Es el hecho de que muchas teorías matemáticas (incluso las "más puras") tienen aplicaciones fuera de su objeto inicial. Estas aplicaciones pueden estar completamente fuera de su área inicial de las matemáticas y pueden referirse a fenómenos físicos que eran completamente desconocidos cuando se introdujo la teoría matemática. [126] Se pueden encontrar ejemplos de aplicaciones inesperadas de teorías matemáticas en muchas áreas de las matemáticas.
Un ejemplo notable es la factorización prima de números naturales que se descubrió más de 2.000 años antes de su uso común para comunicaciones seguras por Internet a través del criptosistema RSA . [127] Un segundo ejemplo histórico es la teoría de las elipses . Fueron estudiados por los antiguos matemáticos griegos como secciones cónicas (es decir, intersecciones de conos con planos). Casi 2.000 años después, Johannes Kepler descubrió que las trayectorias de los planetas son elipses. [128]
En el siglo XIX, el desarrollo interno de la geometría (matemática pura) condujo a la definición y estudio de geometrías no euclidianas, espacios de dimensión superior a tres y variedades . En esta época, estos conceptos parecían totalmente desconectados de la realidad física, pero a principios del siglo XX, Albert Einstein desarrolló la teoría de la relatividad que utiliza fundamentalmente estos conceptos. En particular, el espaciotiempo de la relatividad especial es un espacio no euclidiano de dimensión cuatro, y el espaciotiempo de la relatividad general es una variedad (curva) de dimensión cuatro. [129] [130]
Un aspecto sorprendente de la interacción entre matemáticas y física es cuando las matemáticas impulsan la investigación en física. Esto lo ilustran los descubrimientos del positrón y del barión. En ambos casos, las ecuaciones de las teorías tenían soluciones inexplicables, lo que llevó a conjeturar sobre la existencia de una partícula desconocida y a buscar estas partículas. En ambos casos, estas partículas fueron descubiertas unos años más tarde mediante experimentos específicos. [131] [132] [133]
Las matemáticas y la física se han influenciado mutuamente a lo largo de su historia moderna. La física moderna utiliza abundantemente las matemáticas [134] y es también la motivación de importantes desarrollos matemáticos. [135]
El auge de la tecnología en el siglo XX abrió el camino a una nueva ciencia: la informática . [f] Este campo está estrechamente relacionado con las matemáticas de varias maneras. La informática teórica es esencialmente de naturaleza matemática. Las tecnologías de la comunicación aplican ramas de las matemáticas que pueden ser muy antiguas (por ejemplo, la aritmética), especialmente con respecto a la seguridad de la transmisión, en la criptografía y la teoría de la codificación . Las matemáticas discretas son útiles en muchas áreas de la informática, como la teoría de la complejidad , la teoría de la información , la teoría de grafos , etc. [ cita necesaria ]
A cambio, la informática también se ha vuelto imprescindible para obtener nuevos resultados. Se trata de un grupo de técnicas conocidas como matemáticas experimentales , que consiste en el uso de la experimentación para descubrir conocimientos matemáticos. [136] El ejemplo más conocido es el teorema de los cuatro colores , que se demostró en 1976 con la ayuda de una computadora. Esto revolucionó las matemáticas tradicionales, donde la regla era que el matemático debía verificar cada parte de la demostración. En 1998, la conjetura de Kepler sobre el empaquetamiento de las esferas pareció ser también parcialmente demostrada por computadora. Desde entonces, un equipo internacional había trabajado en la redacción de una prueba formal; se terminó (y verificó) en 2015. [137]
Una vez escrita formalmente, una prueba se puede verificar utilizando un programa llamado asistente de prueba . [138] Estos programas son útiles en situaciones en las que uno no está seguro de la exactitud de una prueba. [138]
Un importante problema abierto en la informática teórica es P versus NP . Es uno de los siete Problemas del Premio del Milenio . [139]
La biología utiliza ampliamente la probabilidad, por ejemplo, en ecología o neurobiología . [140] Sin embargo, la mayor parte del debate sobre la probabilidad en biología se centra en el concepto de aptitud evolutiva . [140]
La ecología utiliza en gran medida el modelado para simular la dinámica de poblaciones , [140] [141] estudiar ecosistemas como el modelo depredador-presa, medir la difusión de la contaminación, [142] o evaluar el cambio climático. [143] La dinámica de una población se puede modelar mediante ecuaciones diferenciales acopladas, como las ecuaciones de Lotka-Volterra . [144] Sin embargo, existe el problema de la validación del modelo . Esto es particularmente grave cuando los resultados del modelado influyen en las decisiones políticas; la existencia de modelos contradictorios podría permitir a las naciones elegir el modelo más favorable. [145]
La evolución del genotipo se puede modelar con el principio de Hardy-Weinberg . [ cita necesaria ]
La filogeografía utiliza modelos probabilísticos. [ cita necesaria ]
La medicina utiliza pruebas de hipótesis estadísticas , basadas en datos de ensayos clínicos , para determinar si un nuevo tratamiento funciona. [ cita necesaria ]
Desde principios del siglo XX, la química ha utilizado la informática para modelar moléculas en tres dimensiones. Resulta que la forma de las macromoléculas en biología es variable y determina la acción. Dicho modelado utiliza geometría euclidiana; Los átomos vecinos forman un poliedro cuyas distancias y ángulos están fijados por las leyes de interacción. [ cita necesaria ]
La geología estructural y la climatología utilizan modelos probabilísticos para predecir el riesgo de catástrofes naturales. [ cita necesaria ] De manera similar, la meteorología , la oceanografía y la planetología también utilizan las matemáticas debido al uso intensivo de modelos. [ cita necesaria ]
Las áreas de matemáticas utilizadas en las ciencias sociales incluyen probabilidad/estadística y ecuaciones diferenciales. Estos se utilizan en lingüística, economía , sociología , [146] y psicología . [147]
El postulado fundamental de la economía matemática es el del actor individual racional: Homo economicus ( literalmente, 'hombre económico'). [148] En este modelo, el individuo busca maximizar su propio interés , [148] y siempre toma decisiones óptimas utilizando información perfecta . [149] [ se necesita mejor fuente ] Esta visión atomista de la economía le permite matematizar su pensamiento con relativa facilidad, porque los cálculos individuales se transponen a cálculos matemáticos. Este modelo matemático permite sondear mecanismos económicos que serían difíciles de descubrir mediante un análisis "literario". [ cita necesaria ] Por ejemplo, las explicaciones de los ciclos económicos no son triviales. Sin modelos matemáticos, es difícil ir más allá de las observaciones estadísticas o la especulación no comprobada. [ cita necesaria ]
Sin embargo, muchas personas han rechazado o criticado el concepto de Homo economicus . [149] [ se necesita mejor fuente ] Los economistas señalan que las personas reales tienen información limitada, toman malas decisiones y se preocupan por la justicia, el altruismo, no solo el beneficio personal. [149] [ se necesita una mejor fuente ]
A principios del siglo XX, se desarrolló la tendencia a expresar movimientos históricos en fórmulas. En 1922, Nikolai Kondratiev discernió el ciclo de Kondratiev de aproximadamente 50 años de duración , que explica las fases de crecimiento económico o crisis. [150] Hacia finales del siglo XIX, Nicolas-Remi Brück y Charles Henri Lagrange ampliaron su análisis a la geopolítica . [151] Peter Turchin ha trabajado en el desarrollo de la cliodinámica desde la década de 1990. [152]
Aun así, la matematización de las ciencias sociales no está exenta de peligros. En el controvertido libro Fashionable Nonsense (1997), Sokal y Bricmont denunciaron el uso infundado o abusivo de terminología científica, particularmente de matemáticas o física, en las ciencias sociales. [153] El estudio de sistemas complejos (evolución del desempleo, capital empresarial, evolución demográfica de una población, etc.) utiliza conocimientos matemáticos. Sin embargo, la elección de los criterios de conteo, particularmente para el desempleo, o de los modelos, puede ser objeto de controversia. [ cita necesaria ]
Algunos matemáticos de renombre también han sido considerados astrólogos de renombre; por ejemplo, Ptolomeo , los astrónomos árabes, Regiomantus , Cardano , Kepler o John Dee . En la Edad Media, la astrología era considerada una ciencia que incluía las matemáticas. En su enciclopedia, Theodor Zwinger escribió que la astrología era una ciencia matemática que estudiaba el "movimiento activo de los cuerpos cuando actúan sobre otros cuerpos". Reservó a las matemáticas la necesidad de "calcular con probabilidad las influencias [de las estrellas]" para prever sus "conjunciones y oposiciones". [154]
La astrología ya no se considera una ciencia. [155]
La conexión entre las matemáticas y la realidad material ha dado lugar a debates filosóficos desde al menos la época de Pitágoras . El antiguo filósofo Platón argumentó que las abstracciones que reflejan la realidad material tienen en sí mismas una realidad que existe fuera del espacio y el tiempo. Como resultado, la visión filosófica de que los objetos matemáticos de alguna manera existen por sí solos en abstracción a menudo se denomina platonismo . Independientemente de sus posibles opiniones filosóficas, los matemáticos modernos pueden ser considerados generalmente como platónicos, ya que piensan y hablan de sus objetos de estudio como objetos reales. [156]
Armand Borel resumió esta visión de la realidad matemática de la siguiente manera y proporcionó citas de GH Hardy , Charles Hermite , Henri Poincaré y Albert Einstein que respaldan sus puntos de vista. [131]
Algo se vuelve objetivo (en lugar de "subjetivo") tan pronto como estamos convencidos de que existe en la mente de los demás de la misma forma que en la nuestra y que podemos pensar en ello y discutirlo juntos. [157] Debido a que el lenguaje de las matemáticas es tan preciso, es ideal para definir conceptos para los cuales existe tal consenso. En mi opinión, esto es suficiente para darnos la sensación de una existencia objetiva, de una realidad de las matemáticas...
Sin embargo, el platonismo y las opiniones concurrentes sobre la abstracción no explican la irrazonable eficacia de las matemáticas. [158]
No existe un consenso general sobre una definición de matemáticas o su estatus epistemológico , es decir, su lugar entre otras actividades humanas. [159] [160] Muchos matemáticos profesionales no se interesan por una definición de matemáticas o la consideran indefinible. [159] Ni siquiera hay consenso sobre si las matemáticas son un arte o una ciencia. [160] Algunos simplemente dicen: "las matemáticas son lo que hacen los matemáticos". [159] Esto tiene sentido, ya que existe un fuerte consenso entre ellos sobre qué son matemáticas y qué no. La mayoría de las definiciones propuestas intentan definir las matemáticas por su objeto de estudio. [161]
Aristóteles definió las matemáticas como "la ciencia de la cantidad" y esta definición prevaleció hasta el siglo XVIII. Sin embargo, Aristóteles también señaló que centrarse únicamente en la cantidad puede no distinguir las matemáticas de ciencias como la física; En su opinión, la abstracción y el estudio de la cantidad como una propiedad "separable en el pensamiento" de instancias reales distinguen a las matemáticas. [162] En el siglo XIX, cuando los matemáticos comenzaron a abordar temas, como los conjuntos infinitos, que no tienen una relación clara con la realidad física, se dieron una variedad de nuevas definiciones. [163] Con la gran cantidad de nuevas áreas de las matemáticas que aparecieron desde principios del siglo XX y continúan apareciendo, definir las matemáticas por este objeto de estudio se convierte en una tarea imposible.
Otro enfoque para definir las matemáticas es utilizar sus métodos. Por lo tanto, un área de estudio puede calificarse como matemáticas tan pronto como se puedan demostrar teoremas (afirmaciones cuya validez depende de una demostración, es decir, de una deducción puramente lógica). [164] Otros adoptan la perspectiva de que las matemáticas son una investigación de la teoría de conjuntos axiomáticos, ya que este estudio es ahora una disciplina fundamental para gran parte de las matemáticas modernas. [165]
El razonamiento matemático requiere rigor . Esto significa que las definiciones deben ser absolutamente inequívocas y las pruebas deben ser reducibles a una sucesión de aplicaciones de reglas de inferencia , [g] sin ningún uso de evidencia empírica ni de intuición . [h] [166] El razonamiento riguroso no es específico de las matemáticas, pero, en matemáticas, el estándar de rigor es mucho más alto que en otros lugares. A pesar de la concisión de las matemáticas , la expresión de pruebas rigurosas puede requerir cientos de páginas. La aparición de pruebas asistidas por computadora ha permitido que la longitud de las pruebas se amplíe aún más, [i] [167] , como el teorema de Feit-Thompson de 255 páginas . [j] El resultado de esta tendencia es una filosofía de la prueba cuasi-empirista que no puede considerarse infalible, pero que lleva consigo una probabilidad. [9]
El concepto de rigor en matemáticas se remonta a la antigua Grecia, donde su sociedad fomentaba el razonamiento lógico y deductivo. Sin embargo, este enfoque riguroso tendería a desalentar la exploración de nuevos enfoques, como los números irracionales y los conceptos de infinito. El método para demostrar pruebas rigurosas se mejoró en el siglo XVI mediante el uso de notación simbólica. En el siglo XVIII, la transición social llevó a que los matemáticos se ganaran el sustento mediante la enseñanza, lo que llevó a pensar más cuidadosamente sobre los conceptos subyacentes de las matemáticas. Esto produjo enfoques más rigurosos, mientras se pasaba de métodos geométricos a pruebas algebraicas y luego aritméticas. [9]
A finales del siglo XIX, parecía que las definiciones de los conceptos básicos de las matemáticas no eran lo suficientemente precisas para evitar paradojas (geometrías no euclidianas y función de Weierstrass ) y contradicciones (paradoja de Russell). Esto se resolvió mediante la inclusión de axiomas con las reglas de inferencia apodícticas de las teorías matemáticas; la reintroducción del método axiomático iniciado por los antiguos griegos. [9] Resulta que "rigor" ya no es un concepto relevante en matemáticas, ya que una prueba es correcta o errónea, y una "prueba rigurosa" es simplemente un pleonasmo . Donde entra en juego un concepto especial de rigor es en los aspectos socializados de una demostración, en los que otros matemáticos pueden demostrar que ésta es refutada. Una vez que una prueba ha sido aceptada durante muchos años o incluso décadas, puede considerarse fiable. [168]
Sin embargo, el concepto de "rigor" puede seguir siendo útil para enseñar a los principiantes qué es una demostración matemática. [169]
Las matemáticas tienen una capacidad notable para cruzar fronteras culturales y períodos de tiempo. Como actividad humana , la práctica de las matemáticas tiene un lado social, que incluye educación , carreras , reconocimiento , popularización , etc. En educación, las matemáticas son una parte central del plan de estudios y constituyen un elemento importante de las disciplinas académicas STEM . Las carreras destacadas para los matemáticos profesionales incluyen profesor o profesor de matemáticas, estadístico , actuario , analista financiero , economista , contador , comerciante de productos básicos o consultor informático . [170]
La evidencia arqueológica muestra que la enseñanza de las matemáticas se produjo ya en el segundo milenio a. C. en la antigua Babilonia. [171] Se han desenterrado pruebas comparables de la formación de los escribas en matemáticas en el antiguo Cercano Oriente y luego en el mundo grecorromano a partir del año 300 a.C. [172] El libro de texto de matemáticas más antiguo conocido es el papiro de Rhind , que data de c. 1650 a. C. en Egipto. [173] Debido a la escasez de libros, las enseñanzas matemáticas en la antigua India se comunicaban utilizando la tradición oral memorizada desde el período védico ( c. 1500 – c. 500 a. C. ). [174] En la China imperial durante la dinastía Tang (618–907 d.C.), se adoptó un plan de estudios de matemáticas para el examen de servicio civil para unirse a la burocracia estatal. [175]
Después de la Edad Media , la educación matemática en Europa fue impartida por escuelas religiosas como parte del Quadrivium . La instrucción formal en pedagogía comenzó en las escuelas jesuitas en los siglos XVI y XVII. La mayor parte del plan de estudios matemático permaneció en un nivel básico y práctico hasta el siglo XIX, cuando comenzó a florecer en Francia y Alemania. La revista más antigua que abordaba la enseñanza de las matemáticas fue L'Enseignement Mathématique , que comenzó a publicarse en 1899. [176] Los avances occidentales en ciencia y tecnología llevaron al establecimiento de sistemas educativos centralizados en muchos estados-nación, con las matemáticas como componente central. inicialmente para sus aplicaciones militares. [177] Si bien el contenido de los cursos varía, en la actualidad casi todos los países enseñan matemáticas a los estudiantes durante períodos de tiempo significativos. [178]
Durante la escuela, las capacidades matemáticas y las expectativas positivas tienen una fuerte asociación con el interés profesional en este campo. Los factores extrínsecos, como la motivación por la retroalimentación por parte de profesores, padres y grupos de pares, pueden influir en el nivel de interés por las matemáticas. [179] Algunos estudiantes que estudian matemáticas pueden desarrollar aprensión o miedo sobre su desempeño en la materia. Esto se conoce como ansiedad matemática o fobia a las matemáticas y se considera el más destacado de los trastornos que afectan el rendimiento académico. La ansiedad matemática puede desarrollarse debido a diversos factores, como las actitudes de los padres y profesores, los estereotipos sociales y los rasgos personales. La ayuda para contrarrestar la ansiedad puede provenir de cambios en los enfoques de instrucción, de interacciones con padres y maestros y de tratamientos personalizados para cada individuo. [180]
La validez de un teorema matemático depende únicamente del rigor de su demostración, que en teoría podría realizarse automáticamente mediante un programa de computadora . Esto no significa que no haya lugar para la creatividad en un trabajo matemático. Por el contrario, muchos resultados matemáticos importantes (teoremas) son soluciones de problemas que otros matemáticos no lograron resolver, y la invención de una forma de resolverlos puede ser una forma fundamental del proceso de resolución. [181] [182] Un ejemplo extremo es el teorema de Apery : Roger Apery proporcionó sólo las ideas para una prueba, y la prueba formal fue dada sólo varios meses después por otros tres matemáticos. [183]
La creatividad y el rigor no son los únicos aspectos psicológicos de la actividad de los matemáticos. Algunos matemáticos pueden ver su actividad como un juego, más concretamente como resolver acertijos . [184] Este aspecto de la actividad matemática se enfatiza en las matemáticas recreativas .
Los matemáticos pueden encontrar un valor estético en las matemáticas. Al igual que la belleza , es difícil de definir, comúnmente se relaciona con la elegancia , que involucra cualidades como la simplicidad , la simetría , la plenitud y la generalidad. GH Hardy en A Mathematician's Apology expresó la creencia de que las consideraciones estéticas son, por sí mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas puras. También identificó otros criterios como la importancia, lo inesperado y la inevitabilidad, que contribuyen a la estética matemática. [185] Paul Erdős expresó este sentimiento de manera más irónica al hablar de "El Libro", una supuesta colección divina de las más bellas pruebas. El libro de 1998 Pruebas del LIBRO , inspirado por Erdős, es una colección de argumentos matemáticos particularmente sucintos y reveladores. Algunos ejemplos de resultados particularmente elegantes incluidos son la prueba de Euclides de que hay infinitos números primos y la transformada rápida de Fourier para el análisis armónico . [186]
Algunos sienten que considerar las matemáticas como una ciencia es restar importancia a su arte y su historia en las siete artes liberales tradicionales . [187] Una forma en que se manifiesta esta diferencia de puntos de vista es en el debate filosófico sobre si los resultados matemáticos se crean (como en el arte) o se descubren (como en la ciencia). [131] La popularidad de las matemáticas recreativas es otro signo del placer que muchos encuentran al resolver preguntas matemáticas.
Las notas que suenan bien juntas para el oído occidental son sonidos cuyas frecuencias fundamentales de vibración están en proporciones simples. Por ejemplo, una octava duplica la frecuencia y una quinta justa la multiplica por . [188] [189]
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Los humanos, así como algunos otros animales, encuentran que los patrones simétricos son más hermosos. [190] Matemáticamente, las simetrías de un objeto forman un grupo conocido como grupo de simetría . [191]
Por ejemplo, el grupo subyacente a la simetría especular es el grupo cíclico de dos elementos . Una prueba de Rorschach es una figura invariante por esta simetría, [192] al igual que los cuerpos de mariposas y animales en general (al menos en la superficie). [193] Las olas en la superficie del mar poseen simetría de traslación: mover el punto de vista a la distancia entre las crestas de las olas no cambia la visión del mar. [ cita necesaria ] Los fractales poseen autosimilitud . [194] [195]
La matemática popular es el acto de presentar las matemáticas sin términos técnicos. [196] Presentar las matemáticas puede ser difícil ya que el público en general sufre de ansiedad matemática y los objetos matemáticos son muy abstractos. [197] Sin embargo, la escritura matemática popular puede superar esto mediante el uso de aplicaciones o vínculos culturales. [198] A pesar de esto, las matemáticas rara vez son un tema de popularización en los medios impresos o televisados.
El premio más prestigioso en matemáticas es la Medalla Fields , [199] [200] establecida en 1936 y otorgada cada cuatro años (excepto alrededor de la Segunda Guerra Mundial ) a hasta cuatro personas. [201] [202] Se considera el equivalente matemático del Premio Nobel . [202]
Otros premios prestigiosos de matemáticas incluyen: [203]
Una famosa lista de 23 problemas abiertos , llamada " problemas de Hilbert ", fue compilada en 1900 por el matemático alemán David Hilbert. [211] Esta lista ha alcanzado gran fama entre los matemáticos, [212] y, a partir de 2022 [update], al menos trece de los problemas (dependiendo de cómo se interpreten algunos) han sido resueltos. [211]
En 2000 se publicó una nueva lista de siete problemas importantes, titulada " Problemas del Premio del Milenio ". Sólo uno de ellos, la hipótesis de Riemann , duplica uno de los problemas de Hilbert. Una solución a cualquiera de estos problemas conlleva una recompensa de 1 millón de dólares. [213] Hasta la fecha, sólo uno de estos problemas, la conjetura de Poincaré , ha sido resuelto. [214]
La ciencia del espacio, los números, la cantidad y la disposición, cuyos métodos implican razonamiento lógico y generalmente el uso de notación simbólica, y que incluye geometría, aritmética, álgebra y análisis.
Matemáticas... es simplemente el estudio de estructuras abstractas o patrones formales de conectividad.
El cálculo es el estudio del cambio: cómo cambian las cosas y con qué rapidez.
Archivado el 5 de noviembre de 2022 en Wayback Machine )... las matemáticas han llegado hasta el presente a través de las dos corrientes principales del número y la forma. El primero llevó consigo la aritmética y el álgebra, el segundo, la geometría.
Es lamentable que dos cursos de las matemáticas: la numerología y la astrología también nacieran con él y hayan sido más aceptables para las masas que las matemáticas mismas.
El nuevo MSC contiene 63 clasificaciones de dos dígitos, 529 clasificaciones de tres dígitos y 6.006 clasificaciones de cinco dígitos.
[E]s primero es necesario preguntar qué se entiende por matemáticas en general. Ilustres eruditos han debatido esta cuestión hasta el cansancio y, sin embargo, no se ha llegado a un consenso sobre si las matemáticas son una ciencia natural, una rama de las humanidades o una forma de arte.
Una mente para los números.
