La historia de los logaritmos es la historia de una correspondencia (en términos modernos, un isomorfismo de grupo ) entre la multiplicación de números reales positivos y la suma en la recta numérica real que se formalizó en la Europa del siglo XVII y se utilizó ampliamente para simplificar el cálculo hasta el advenimiento de de la computadora digital. Los logaritmos napierianos se publicaron por primera vez en 1614. EW Hobson lo llamó "uno de los mayores descubrimientos científicos que el mundo haya visto". [1] : p.5 Henry Briggs introdujo logaritmos comunes (en base 10) , que eran más fáciles de usar. A lo largo de cuatro siglos se publicaron tablas de logaritmos de muchas formas. La idea de logaritmos también se utilizó para construir la regla de cálculo , que se volvió omnipresente en la ciencia y la ingeniería hasta la década de 1970. Un avance que generó el logaritmo natural fue el resultado de la búsqueda de una expresión de área frente a una hipérbola rectangular y requirió la asimilación de una nueva función a las matemáticas estándar.
El método de los logaritmos fue propuesto públicamente por primera vez por John Napier en 1614, en su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Descripción del maravilloso canon de los logaritmos ). [1] El libro contiene cincuenta y siete páginas de material explicativo y noventa páginas de tablas de funciones trigonométricas y sus logaritmos naturales . Estas tablas simplificaron enormemente los cálculos en trigonometría esférica , que son fundamentales para la astronomía y la navegación celeste y que normalmente incluyen productos de senos, cosenos y otras funciones. Napier también describió otros usos, como la resolución de problemas de proporciones. [2]
John Napier escribió un volumen separado que describe cómo construyó sus tablas, pero pospuso la publicación para ver cómo sería recibido su primer libro. John murió en 1617. Su hijo, Robert, publicó el libro de su padre, Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ( Construcción del maravilloso canon de logaritmos ), con adiciones de Henry Briggs , en 1619 en latín [3] y luego en 1620 en inglés. [4]
Napier concibió el logaritmo como la relación entre dos partículas que se mueven a lo largo de una línea, una a velocidad constante y la otra a una velocidad proporcional a su distancia desde un punto final fijo. Si bien en términos modernos, la función logaritmo se puede explicar simplemente como la inversa de la función exponencial o como la integral de 1/ x , Napier trabajó décadas antes de que se inventara el cálculo, se entendiera la función exponencial o Descartes desarrollara la geometría de coordenadas . [1] : págs. 6–8 Napier fue pionero en el uso de un punto decimal en el cálculo numérico, algo que no se volvió común hasta el siglo siguiente. [1] : págs.21-23
El nuevo método de cálculo de Napier obtuvo una rápida aceptación. Johannes Kepler lo elogió; Edward Wright , una autoridad en navegación, tradujo la Descriptio de Napier al inglés el año siguiente. [2] Briggs extendió el concepto a la base 10, más conveniente. [1] : págs.16-18
Como el logaritmo común de diez es uno, el de cien es dos y el de mil es tres, el concepto de logaritmos comunes está muy cerca del sistema numérico posicional decimal. Se dice que el tronco común tiene base 10, pero la base 10.000 es antigua y todavía es común en el este de Asia . En su libro The Sand Reckoner , Arquímedes utilizó la miríada como base de un sistema numérico diseñado para contar los granos de arena del universo. Como se señaló en 2000: [5]
En 1616, Henry Briggs visitó a John Napier en Edimburgo para discutir el cambio sugerido a los logaritmos de Napier. Al año siguiente volvió a visitarlo con un propósito similar. Durante estas conferencias se acordó la modificación propuesta por Briggs y, a su regreso de su segunda visita a Edimburgo, en 1617, publicó la primera quilíada de sus logaritmos.
En 1624, Briggs publicó su Arithmetica Logarithmica , en folio, una obra que contiene los logaritmos de treinta mil números naturales con catorce cifras decimales (1-20.000 y 90.001 a 100.000). Esta tabla fue posteriormente ampliada por Adriaan Vlacq , pero a 10 puestos, y por Alexander John Thompson a 20 puestos en 1952.
Briggs fue uno de los primeros en utilizar métodos de diferencias finitas para calcular tablas de funciones. [6] [7] También completó una tabla de senos y tangentes logarítmicos para la centésima parte de cada grado hasta catorce decimales, con una tabla de senos naturales hasta quince decimales y las tangentes y secantes para los mismos hasta diez decimales, todas de los cuales fueron impresos en Gouda en 1631 y publicados en 1633 bajo el título de Trigonometria Britannica ; este trabajo fue probablemente un sucesor de su Logarithmorum Chilias Prima de 1617 ("Los primeros mil logaritmos"), que ofrece una breve descripción de los logaritmos y una larga tabla de los primeros 1000 números enteros calculados hasta el decimocuarto decimal.
En 1649, Alphonse Antonio de Sarasa , antiguo alumno de Grégoire de Saint-Vincent , [8] relacionó los logaritmos con la cuadratura de la hipérbola, señalando que el área A ( t ) bajo la hipérbola de x = 1 a x = t satisface [9]
Al principio, la reacción al logaritmo hiperbólico de Saint-Vincent fue una continuación de los estudios de cuadratura como los de Christiaan Huygens (1651) [10] y James Gregory (1667). [11] Posteriormente, surgió una industria de fabricación de logaritmos como "logaritmotechnia", título de las obras de Nicholas Mercator (1668), [12] Euclid Speidell (1688), [13] y John Craig (1710). [14]
Mediante el uso de la serie geométrica con su radio de convergencia condicional , una serie alterna llamada serie de Mercator expresa la función logaritmo en el intervalo (0,2). Dado que la serie es negativa en (0,1), el "área bajo la hipérbola" debe considerarse negativa allí, por lo que una medida con signo , en lugar de un área puramente positiva, determina el logaritmo hiperbólico.
El historiador Tom Whiteside describió la transición a la función analítica de la siguiente manera: [15]
Leonard Euler trató un logaritmo como un exponente de cierto número llamado base del logaritmo. Observó que el número 2,71828 y su recíproco proporcionaban un punto en la hipérbola xy = 1 tal que un área de una unidad cuadrada se encuentra debajo de la hipérbola, a la derecha de (1,1) y encima de la asíntota de la hipérbola. Luego llamó al logaritmo, con este número como base, logaritmo natural .
Como señaló Howard Eves , "Una de las anomalías en la historia de las matemáticas es el hecho de que los logaritmos se descubrieron antes de que se utilizaran los exponentes". [16] Carl B. Boyer escribió: "Euler fue uno de los primeros en tratar los logaritmos como exponentes, de la manera ahora tan familiar". [17]
Es posible que los babilonios en algún momento entre 2000 y 1600 a. C. hayan inventado el algoritmo de multiplicación de cuartos de cuadrado para multiplicar dos números usando únicamente sumas, restas y una tabla de cuartos de cuadrados. [18] [19] Por lo tanto, una tabla de este tipo tenía un propósito similar a las tablas de logaritmos, que también permiten calcular la multiplicación mediante sumas y búsquedas en tablas. Sin embargo, el método del cuarto de cuadrado no podría usarse para la división sin una tabla adicional de recíprocos (o el conocimiento de un algoritmo suficientemente simple para generar recíprocos ). Se utilizaron grandes tablas de cuartos de cuadrado para simplificar la multiplicación precisa de números grandes desde 1817 en adelante hasta que fue reemplazada por el uso de computadoras. [ cita necesaria ]
El matemático indio Virasena trabajó con el concepto de ardhaccheda: el número de veces que un número de la forma 2n podía reducirse a la mitad. Para potencias exactas de 2 , esto es igual al logaritmo binario, pero difiere del logaritmo para otros números y proporciona un orden 2-ádico en lugar del logaritmo. [20] [21]
Michael Stifel publicó Arithmetica integra en Nuremberg en 1544, que contiene una tabla [22] de números enteros y potencias de 2 que ha sido considerada una versión temprana de una tabla de logaritmos binarios . [23] [24]
En el siglo XVI y principios del XVII se utilizó un algoritmo llamado prosthaféresis para aproximar la multiplicación y la división. Esto utilizó la identidad trigonométrica.
o similar para convertir las multiplicaciones en sumas y búsquedas en tablas. Sin embargo, los logaritmos son más sencillos y requieren menos trabajo. Se puede demostrar mediante la fórmula de Euler que las dos técnicas están relacionadas.
El matemático suizo Jost Bürgi construyó una tabla de progresiones que puede considerarse una tabla de antilogaritmos [25] independientemente de John Napier , cuya publicación (1614) se conocía en la época en que Bürgi publicó a instancias de Johannes Kepler . Sabemos que Bürgi tenía algún modo de simplificar los cálculos alrededor de 1588, pero lo más probable es que este método fuera mediante el uso de la prosthaféresis, y no el uso de su tabla de progresiones, que probablemente se remonta aproximadamente al año 1600. De hecho, Wittich, que estuvo en Kassel desde 1584 a 1586, trajo consigo el conocimiento de la prosthaféresis , un método mediante el cual las multiplicaciones y divisiones pueden ser reemplazadas por sumas y restas de valores trigonométricos. Este procedimiento logra lo mismo que los logaritmos unos años más tarde.
El método de los logaritmos fue propuesto públicamente por primera vez por John Napier en 1614, en un libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio . [26] [27] [28]
Johannes Kepler , que utilizó ampliamente tablas de logaritmos para compilar sus Efemérides y, por tanto, se las dedicó a Napier, [29] comentó:
... el acento en el cálculo llevó a Justus Byrgius [Joost Bürgi] por el camino hacia estos mismos logaritmos muchos años antes de que apareciera el sistema de Napier; pero... en lugar de criar a su hijo para el beneficio público, lo abandonó en el nacimiento.
— Johannes Kepler [30] , Tablas Rudolfinas (1627)
Napier imaginó un punto P que viaja a través de un segmento de línea P0 a Q. Comenzando en P0, con una cierta velocidad inicial, P viaja a una velocidad proporcional a su distancia a Q, lo que hace que P nunca llegue a Q. Napier yuxtapuso esta figura con la de un punto L que viaja a lo largo de un segmento de línea ilimitado, comenzando en L0, y con una velocidad constante igual a la velocidad inicial del punto P. Napier definió la distancia de L0 a L como el logaritmo de la distancia de P a Q. [ 31]
Mediante restas repetidas, Napier calculó (1 − 10 −7 ) L para L que va de 1 a 100. El resultado para L = 100 es aproximadamente 0,99999 = 1 − 10 −5 . Luego, Napier calculó los productos de estos números con 10 7 (1 − 10 −5 ) L para L de 1 a 50, e hizo lo mismo con 0,9998 ≈ (1 − 10 −5 ) 20 y 0,9 ≈ 0,995 20 . [32] Estos cálculos, que tardaron 20 años, le permitieron dar, para cualquier número N entre 5 y 10 millones, el número L que resuelve la ecuación
Napier primero llamó a L un "número artificial", pero luego introdujo la palabra "logaritmo" para significar un número que indica una proporción: λόγος ( logos ), que significa proporción, y ἀριθμός ( arithmos ), que significa número. En notación moderna, la relación con los logaritmos naturales es: [33]
donde la aproximación más cercana corresponde a la observación de que
La invención fue rápida y ampliamente aclamada. Las obras de Bonaventura Cavalieri (Italia), Edmund Wingate (Francia), Xue Fengzuo (China) y Chilias logarithmorum (Alemania) de Johannes Kepler ayudaron a difundir aún más el concepto. [34]
Alrededor de 1730, Leonhard Euler definió la función exponencial y el logaritmo natural mediante [35] [36] [37]
En su libro de texto de 1748 Introducción al análisis del infinito , Euler publicó el enfoque ahora estándar de los logaritmos mediante una función inversa : en el capítulo 6, "Sobre exponenciales y logaritmos", comienza con una base constante a y analiza la función trascendental . su inverso es el logaritmo:
Las tablas matemáticas que contienen logaritmos comunes (base 10) se usaban ampliamente en cálculos antes de la llegada de las computadoras y las calculadoras , no solo porque los logaritmos convierten los problemas de multiplicación y división en problemas de suma y resta mucho más fáciles, sino también por una propiedad adicional que es única. a base 10 y resulta útil: cualquier número positivo se puede expresar como el producto de un número del intervalo [1,10) y una potencia entera de 10. Esto se puede imaginar como desplazar el separador decimal del número dado a la a la izquierda se obtiene un exponente positivo y a la derecha se obtiene un exponente negativo de 10. Sólo los logaritmos de estos números normalizados (aproximados por un cierto número de dígitos), que se denominan mantisas , deben tabularse en listas con una precisión similar (una número similar de dígitos). Estas mantisas son todas positivas y están encerradas en el intervalo [0,1) . El logaritmo común de cualquier número positivo dado se obtiene sumando su mantisa al logaritmo común del segundo factor. Este logaritmo se llama característica del número dado. Dado que el logaritmo común de una potencia de 10 es exactamente el exponente, la característica es un número entero, lo que hace que el logaritmo común sea excepcionalmente útil al tratar con números decimales. Para números menores que 1, la característica hace que el logaritmo resultante sea negativo, según sea necesario. [38] Véase logaritmo común para obtener detalles sobre el uso de características y mantisas.
Michael Stifel publicó Arithmetica integra en Nuremberg en 1544, que contiene una tabla [39] de números enteros y potencias de 2 que se ha considerado una versión temprana de una tabla logarítmica. [23] [24]
La primera tabla de logaritmos publicada fue la de John Napier de 1614, Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio . [1] El libro contenía cincuenta y siete páginas de material explicativo y noventa páginas de tablas de funciones trigonométricas y sus logaritmos naturales . [27]
El matemático inglés Henry Briggs visitó Napier en 1615 y propuso un cambio de escala de los logaritmos de Napier para formar lo que ahora se conoce como logaritmos comunes o de base 10. Napier delegó en Briggs el cálculo de una tabla revisada y posteriormente publicaron, en 1617, Logarithmorum Chilias Prima ("Los primeros mil logaritmos"), que ofrecía una breve descripción de los logaritmos y una tabla para los primeros 1000 números enteros calculados hasta el 14. decimal.
En 1624, Arithmetica Logarithmica de Briggs apareció en folio como una obra que contenía los logaritmos de 30.000 números naturales con catorce decimales (1-20.000 y 90.001 a 100.000). Esta tabla fue posteriormente ampliada por Adriaan Vlacq , pero a 10 puestos, y por Alexander John Thompson a 20 puestos en 1952.
Briggs fue uno de los primeros en utilizar métodos de diferencias finitas para calcular tablas de funciones. [6] [7]
Más tarde se descubrió que la tabla de Vlacq contenía 603 errores, pero "esto no puede considerarse un gran número, si se considera que la tabla fue el resultado de un cálculo original y que más de 2.100.000 cifras impresas están sujetas a errores". [40] Una edición de la obra de Vlacq, que contenía muchas correcciones, fue publicada en Leipzig en 1794 bajo el título Thesaurus Logarithmorum Completus por Jurij Vega .
La tabla de siete cifras de François Callet ( París , 1795), en lugar de detenerse en 100.000, dio los logaritmos de ocho cifras de los números entre 100.000 y 108.000, para disminuir los errores de interpolación , que eran mayores en la primera parte. de la mesa, y este añadido se incluía generalmente en las mesas de siete puestos. La única extensión importante publicada de la tabla de Vlacq fue realizada por Edward Sang en 1871, cuya tabla contenía los logaritmos de siete posiciones de todos los números inferiores a 200.000.
Briggs y Vlacq también publicaron tablas originales de los logaritmos de las funciones trigonométricas . Briggs completó una tabla de senos logarítmicos y tangentes logarítmicas para la centésima parte de cada grado con catorce lugares decimales, con una tabla de senos naturales hasta quince lugares y las tangentes y secantes para los mismos hasta diez lugares, todos los cuales fueron impresos en Gouda. en 1631 y publicado en 1633 con el título de Trigonometria Britannica . Las tablas de logaritmos de funciones trigonométricas simplifican los cálculos manuales donde una función de un ángulo debe multiplicarse por otro número, como suele ser el caso.
Además de las tablas mencionadas anteriormente, se construyó una gran colección, llamada Tables du Cadastre, bajo la dirección de Gaspard de Prony , según un cálculo original, bajo los auspicios del gobierno republicano francés de la década de 1790. Esta obra, que contenía los logaritmos de todos los números hasta 100.000 hasta diecinueve lugares, y de los números entre 100.000 y 200.000 hasta veinticuatro lugares, existe sólo en manuscrito, "en diecisiete enormes folios", en el Observatorio de París. Se inició en 1792 y "todos los cálculos, que para garantizar una mayor precisión se realizaron por duplicado, y los dos manuscritos posteriormente cotejados con cuidado, se completaron en el corto espacio de dos años". [41] La interpolación cúbica podría usarse para encontrar el logaritmo de cualquier número con una precisión similar.
Para diferentes necesidades, se han compilado tablas de logaritmos que van desde pequeños manuales hasta ediciones de varios volúmenes: [42]
La regla de cálculo se inventó alrededor de 1620-1630, poco después de la publicación del concepto de logaritmo por parte de John Napier . Edmund Gunter de Oxford desarrolló un dispositivo de cálculo con una escala logarítmica única; con herramientas de medición adicionales podría usarse para multiplicar y dividir. La primera descripción de esta escala fue publicada en París en 1624 por Edmund Wingate (c.1593-1656), un matemático inglés, en un libro titulado L'usage de la reigle de proporcional en l'arithmetique & geometrie . El libro contiene una escala doble, logarítmica por un lado y tabular por el otro. En 1630, William Oughtred de Cambridge inventó una regla de cálculo circular y en 1632 combinó dos reglas de Gunter portátiles para crear un dispositivo que es reconocible como la regla de cálculo moderna. Al igual que su contemporáneo en Cambridge, Isaac Newton , Oughtred enseñó sus ideas en privado a sus alumnos. También al igual que Newton, se vio envuelto en una controversia mordaz sobre la prioridad, con su antiguo alumno Richard Delamain y las afirmaciones anteriores de Wingate. Las ideas de Oughtred sólo se hicieron públicas en las publicaciones de su alumno William Forster en 1632 y 1653.
En 1677, Henry Coggeshall creó una regla plegable de dos pies para medir la madera, llamada regla de cálculo de Coggeshall , ampliando el uso de la regla de cálculo más allá de la investigación matemática.
En 1722, Warner introdujo las escalas de dos y tres décadas, y en 1755 Everard incluyó una escala invertida; una regla de cálculo que contiene todas estas escalas suele conocerse como regla "polifásica".
En 1815, Peter Mark Roget inventó la regla de cálculo log log, que incluía una escala que mostraba el logaritmo del logaritmo. Esto permitió al usuario realizar directamente cálculos que involucran raíces y exponentes. Esto fue especialmente útil para potencias fraccionarias.
En 1821, Nathaniel Bowditch , describió en el American Practical Navigator una "regla deslizante" que contenía escalas de funciones trigonométricas en la parte fija y una línea de log-senos y log-tans en el control deslizante utilizada para resolver problemas de navegación.
En 1845, Paul Cameron de Glasgow introdujo una regla de cálculo náutica capaz de responder preguntas de navegación, incluidas la ascensión recta y la declinación del sol y las estrellas principales. [50]
Una forma más moderna de regla de cálculo fue creada en 1859 por el teniente de artillería francés Amédée Mannheim , "quien tuvo la suerte de que su regla fuera elaborada por una empresa de reputación nacional y de que la artillería francesa la adoptara". Fue por esta época cuando la ingeniería se convirtió en una profesión reconocida, lo que dio lugar a un uso generalizado de las reglas de cálculo en Europa, pero no en Estados Unidos. Allí, la regla cilíndrica de Edwin Thacher se afianzó después de 1881. La regla dúplex fue inventada por William Cox en 1891 y producida por Keuffel and Esser Co. de Nueva York. [51] [52]
EW Hobson, en un escrito de 1914 con motivo del 300 aniversario de las tablas de Napier, describió los logaritmos como "un gran instrumento que ahorra trabajo para uso de todos aquellos que tienen la oportunidad de realizar cálculos numéricos extensos" y los comparó en importancia con la "invención india". " de nuestro sistema numérico decimal. [1] : pág. 5 El método de cálculo mejorado de Napier pronto fue adoptado en Gran Bretaña y Europa. Kepler dedicó su Ephereris de 1620 a Napier, felicitándolo por su invento y sus beneficios para la astronomía. [1] : pág. 16 Edward Wright , una autoridad en navegación celeste, tradujo la Descriptio latina de Napier al inglés en 1615, poco después de su publicación. [2] Briggs amplió el concepto a la base 10, más conveniente, o logaritmo común . [1] : págs. 16-18
“Probablemente ninguna obra ha influido tan profundamente en la ciencia en su conjunto, y en las matemáticas en particular, como este modesto librito [la Descriptio]. Abrió el camino para la abolición, de una vez por todas, de los procesos infinitamente laboriosos, más aún, de pesadilla, de larga división y multiplicación, para encontrar el poder y la raíz de los números”. [53]
La función logarítmica sigue siendo un elemento básico del análisis matemático, pero las tablas impresas de logaritmos fueron perdiendo importancia gradualmente en el siglo XX a medida que las calculadoras mecánicas y, más tarde, las calculadoras electrónicas de bolsillo y las computadoras se hicieron cargo de los cálculos que requerían alta precisión. [54] La introducción de calculadoras científicas portátiles en la década de 1970 puso fin a la era de las reglas de cálculo. [55] Los gráficos de escala logarítmica se utilizan ampliamente para mostrar datos con un amplio rango. También se utiliza mucho el decibelio , una unidad logarítmica. La edición actual, de 2002, de The American Practical Navigator (Bowditch) todavía contiene tablas de logaritmos y logaritmos de funciones trigonométricas. [56] : p.565 y siguientes
En la época de G. Darwin, las tablas de logaritmos tenían diferentes tamaños.
![{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/259d10c33d35f3017b2e39b6ac29f444f38ae291)
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},\ \[6pt]\ln(x)&=\lim _{n\rightarrow \infty }n(x^{1/n}-1).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce99b5c7839127c5fa09b2bb7699e96df1bc71cf)
