Amalie Emmy Noether [a] ( Estados Unidos : / ˈnʌtər / , Reino Unido : / ˈnɜːtə / ; alemán: [ ˈnøːtɐ] ; 23 de marzo de 1882 - 14 de abril de 1935) fue una matemática alemana que hizo muchas contribuciones importantes al álgebra abstracta . Demostró el primer y segundo teorema de Noether , que son fundamentales en la física matemática . [4] Fue descrita por Pavel Alexandrov , Albert Einstein , Jean Dieudonné , Hermann Weyl y Norbert Wiener como la mujer más importante en la historia de las matemáticas . [5] [6] Como una de las matemáticas más importantes de su tiempo, desarrolló teorías de anillos , campos y álgebras . En física, el teorema de Noether explica la conexión entre la simetría y las leyes de conservación . [7]
Noether nació en una familia judía en la ciudad de Erlangen , en Franconia ; su padre era el matemático Max Noether . Originalmente planeó enseñar francés e inglés después de aprobar los exámenes requeridos, pero en su lugar estudió matemáticas en la Universidad de Erlangen , donde su padre daba clases. Después de completar su doctorado en 1907 [8] bajo la supervisión de Paul Gordan , trabajó en el Instituto de Matemáticas de Erlangen sin sueldo durante siete años. En ese momento, las mujeres estaban excluidas en gran medida de los puestos académicos. En 1915, David Hilbert y Felix Klein la invitaron a unirse al departamento de matemáticas de la Universidad de Gotinga , un centro de investigación matemática de renombre mundial. Sin embargo, la facultad de filosofía se opuso y pasó cuatro años dando clases bajo el nombre de Hilbert. Su habilitación fue aprobada en 1919, lo que le permitió obtener el rango de Privatdozent . [8]
Noether siguió siendo un miembro destacado del departamento de matemáticas de Göttingen hasta 1933; sus estudiantes eran a veces llamados los "Noether Boys". En 1924, el matemático holandés BL van der Waerden se unió a su círculo y pronto se convirtió en el principal expositor de las ideas de Noether; su trabajo fue la base para el segundo volumen de su influyente libro de texto de 1931, Moderne Algebra . Cuando pronunció su discurso plenario en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1932 en Zúrich , su perspicacia algebraica era reconocida en todo el mundo. Al año siguiente, el gobierno nazi de Alemania expulsó a los judíos de los puestos universitarios y Noether se mudó a los Estados Unidos para ocupar un puesto en el Bryn Mawr College en Pensilvania . Allí, enseñó a mujeres de posgrado y posdoctorado, entre ellas Marie Johanna Weiss , Ruth Stauffer, Grace Shover Quinn y Olga Taussky-Todd . Al mismo tiempo, impartió conferencias y realizó investigaciones en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Nueva Jersey . [8] Noether murió el 14 de abril de 1935 a la edad de 53 años.
El trabajo matemático de Noether se ha dividido en tres " épocas ". [9] En la primera (1908-1919), realizó contribuciones a las teorías de invariantes algebraicos y cuerpos numéricos . Su trabajo sobre invariantes diferenciales en el cálculo de variaciones , el teorema de Noether , ha sido llamado "uno de los teoremas matemáticos más importantes jamás demostrados para guiar el desarrollo de la física moderna". [10] En la segunda época (1920-1926), comenzó un trabajo que "cambió la cara del álgebra [abstracta]". [11] En su artículo clásico de 1921 Idealtheorie in Ringbereichen ( Teoría de ideales en dominios de anillos ), Noether desarrolló la teoría de ideales en anillos conmutativos en una herramienta con aplicaciones de amplio alcance. Hizo un uso elegante de la condición de cadena ascendente , y los objetos que la satisfacen se denominan noetherianos en su honor. En la tercera época (1927-1935), publicó trabajos sobre álgebras no conmutativas y números hipercomplejos y unió la teoría de representación de grupos con la teoría de módulos e ideales. Además de sus propias publicaciones, Noether fue generosa con sus ideas y se le atribuyen varias líneas de investigación publicadas por otros matemáticos, incluso en campos muy alejados de su obra principal, como la topología algebraica .
Emmy Noether nació el 23 de marzo de 1882. Fue la primera de los cuatro hijos del matemático Max Noether y de Ida Amalia Kaufmann, ambos de familias de comerciantes judíos. [12] Su primer nombre era "Amalie", pero comenzó a usar su segundo nombre a una edad temprana y siempre usó el nombre "Emmy Noether" en su vida adulta y en sus publicaciones. [a]
En su juventud, Noether no destacó académicamente, aunque era conocida por ser inteligente y amigable. Era miope y hablaba con un leve ceceo durante su infancia. Un amigo de la familia contó una historia años después sobre la joven Noether resolviendo rápidamente un acertijo en una fiesta infantil, mostrando una perspicacia lógica a una edad temprana. [13] Le enseñaron a cocinar y limpiar, como a la mayoría de las niñas de la época, y tomó lecciones de piano. No se dedicó a ninguna de estas actividades con pasión, aunque le encantaba bailar. [14]
Tenía tres hermanos menores. El mayor, Alfred Noether, nació en 1883 y obtuvo un doctorado en química en Erlangen en 1909, pero murió nueve años después. [15] Fritz Noether nació en 1884, estudió en Múnich e hizo contribuciones a las matemáticas aplicadas . Fue ejecutado en la Unión Soviética en 1941. [16] El más joven, Gustav Robert Noether, nació en 1889. Se sabe muy poco sobre su vida; sufrió una enfermedad crónica y murió en 1928. [17] [18]
Noether demostró tempranamente su dominio del francés y del inglés. En la primavera de 1900, se presentó al examen para ser profesora de estas lenguas y obtuvo una puntuación global de sehr gut (muy buena). Su rendimiento la cualificó para enseñar idiomas en escuelas reservadas para niñas, pero decidió continuar sus estudios en la Universidad de Erlangen [19] , en la que su padre era profesor. [20]
Se trataba de una decisión poco convencional; dos años antes, el Senado Académico de la universidad había declarado que permitir la educación mixta "derrocaría todo el orden académico". [21] A Noether, una de las dos únicas mujeres en una universidad de 986 estudiantes, sólo se le permitía asistir como oyente a las clases en lugar de participar plenamente, y necesitaba el permiso de los profesores individuales a cuyas clases deseaba asistir. A pesar de estos obstáculos, el 14 de julio de 1903, aprobó el examen de graduación en un Realgymnasium en Núremberg . [19] [22] [23]
Durante el semestre de invierno de 1903-1904, estudió en la Universidad de Gotinga , asistiendo a conferencias impartidas por el astrónomo Karl Schwarzschild y los matemáticos Hermann Minkowski , Otto Blumenthal , Felix Klein y David Hilbert . [24]
En 1903, se levantaron las restricciones a la inscripción plena de mujeres en las universidades bávaras. [25] Noether regresó a Erlangen y reingresó oficialmente a la universidad en octubre de 1904, declarando su intención de centrarse únicamente en las matemáticas. Fue una de las seis mujeres de su año (dos oyentes) y la única mujer en la escuela que eligió. [26] Bajo la supervisión de Paul Gordan , escribió su disertación, Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form ( Sobre sistemas completos de invariantes para formas ternarias bicuadráticas ), [27] en 1907, graduándose summa cum laude ese mismo año. [28] Gordan era miembro de la escuela "computacional" de investigadores de invariantes, y la tesis de Noether terminó con una lista de más de 300 invariantes explícitamente resueltos. Este enfoque de los invariantes fue posteriormente reemplazado por el enfoque más abstracto y general iniciado por Hilbert. [29] [30] Aunque había sido bien recibido, Noether más tarde describió su tesis y algunos artículos similares posteriores que produjo como "basura". [30] [31] [b]
De 1908 a 1915, Noether enseñó en el Instituto de Matemáticas de Erlangen sin remuneración, sustituyendo ocasionalmente a su padre, Max Noether , cuando estaba demasiado enfermo para dar clases. [32] En 1910 y 1911 publicó una ampliación de su trabajo de tesis de tres variables a n variables. [33]
Gordan se retiró en 1910, [34] y Noether enseñó bajo sus sucesores, Erhard Schmidt y Ernst Fischer , quien tomó el relevo del primero en 1911. [35] Según su colega Hermann Weyl y su biógrafo Auguste Dick , Fischer fue una influencia importante en Noether, en particular al introducirla en el trabajo de David Hilbert . [36] [37] Noether y Fischer compartían un vivo disfrute de las matemáticas y a menudo discutían las conferencias mucho después de que terminaban; se sabe que Noether le envió postales a Fischer continuando su línea de pensamientos matemáticos. [38] [39]
Entre 1913 y 1916, Noether publicó varios artículos que extendían y aplicaban los métodos de Hilbert a objetos matemáticos como los campos de funciones racionales y los invariantes de grupos finitos . [40] Esta fase marcó la primera exposición de Noether al álgebra abstracta , el campo al que haría contribuciones innovadoras. [41]
En Erlangen, Noether dirigió a dos estudiantes de doctorado: [42] Hans Falckenberg y Fritz Seidelmann, quienes defendieron sus tesis en 1911 y 1916. [43] [44] A pesar del importante papel de Noether, ambos estaban oficialmente bajo la supervisión de su padre. Después de completar su doctorado, Falckenberg pasó un tiempo en Braunschweig y Königsberg antes de convertirse en profesor en la Universidad de Giessen [45] mientras que Seidelmann se convirtió en profesor en Múnich . [42]
En la primavera de 1915, David Hilbert y Felix Klein invitaron a Noether a regresar a la Universidad de Göttingen . Su esfuerzo por reclutarla fue inicialmente bloqueado por los filólogos e historiadores de la facultad de filosofía, quienes insistieron en que las mujeres no debían convertirse en privatdozenten . En una reunión conjunta del departamento sobre el asunto, un miembro de la facultad protestó: "¿Qué pensarán nuestros soldados cuando regresen a la universidad y descubran que se les exige que aprendan a los pies de una mujer?" [46] [47] Hilbert, que creía que las calificaciones de Noether eran la única cuestión importante y que el sexo del candidato era irrelevante, se opuso con indignación y reprendió a quienes protestaban por su habilitación. Aunque no se han conservado sus palabras exactas, se dice a menudo que su objeción incluía la observación de que la universidad "no era una casa de baños". [46] [36] [48] [49] Según el recuerdo de Pavel Alexandrov , la oposición de los miembros de la facultad a Noether se basaba no sólo en el sexismo, sino también en sus objeciones a sus creencias políticas socialdemócratas y su ascendencia judía. [49]
Noether se fue a Gotinga a finales de abril; dos semanas después, su madre murió repentinamente en Erlangen. Había recibido atención médica previamente por una afección ocular, pero se desconoce la naturaleza y el impacto de la misma en su muerte. Casi al mismo tiempo, el padre de Noether se jubiló y su hermano se unió al ejército alemán para servir en la Primera Guerra Mundial . Regresó a Erlangen durante varias semanas, principalmente para cuidar de su anciano padre. [50]
Durante sus primeros años de docencia en Göttingen no tenía un puesto oficial y no recibía remuneración. Sus clases se anunciaban a menudo bajo el nombre de Hilbert y Noether le proporcionaba "ayuda". [51]
Poco después de llegar a Gotinga, demostró sus capacidades al demostrar el teorema ahora conocido como teorema de Noether , que muestra que una ley de conservación está asociada con cualquier simetría diferenciable de un sistema físico . [47] [52] El artículo, Invariante Variationsprobleme , fue presentado por un colega, Felix Klein , el 26 de julio de 1918 en una reunión de la Royal Society of Sciences en Gotinga. [53] [54] Noether presumiblemente no lo presentó ella misma porque no era miembro de la sociedad. [55] Los físicos estadounidenses Leon M. Lederman y Christopher T. Hill argumentan en su libro Symmetry and the Beautiful Universe que el teorema de Noether es "sin duda uno de los teoremas matemáticos más importantes jamás demostrados para guiar el desarrollo de la física moderna , posiblemente a la par con el teorema de Pitágoras ". [10]
Cuando terminó la Primera Guerra Mundial, la Revolución alemana de 1918-1919 trajo consigo un cambio significativo en las actitudes sociales, incluidos más derechos para las mujeres. En 1919, la Universidad de Göttingen permitió a Noether continuar con su habilitación (elegibilidad para la titularidad). Su examen oral se llevó a cabo a fines de mayo y pronunció con éxito su conferencia de habilitación en junio de 1919. [56] Noether se convirtió en privatdozent [57] y pronunció ese semestre de otoño las primeras conferencias que figuraban bajo su propio nombre. [58] Todavía no le pagaban por su trabajo. [51]
Tres años después, recibió una carta de Otto Boelitz , el Ministro de Ciencia, Arte y Educación Pública de Prusia , en la que le confería el título de nicht beamteter ausserordentlicher Professor (una profesora no titular con derechos y funciones administrativas internas limitadas). [59] Se trataba de una cátedra "extraordinaria" no remunerada , no de la cátedra "ordinaria" superior, que era un puesto de servicio civil. Aunque reconocía la importancia de su trabajo, el puesto seguía sin proporcionarle salario. Noether no recibió pago por sus conferencias hasta que fue designada para el puesto especial de Lehrbeauftragte für Algebra un año después. [60] [61]
Aunque el teorema de Noether tuvo un efecto significativo en la mecánica clásica y cuántica, entre los matemáticos se la recuerda más por sus contribuciones al álgebra abstracta . En su introducción a los Documentos completos de Noether , Nathan Jacobson escribió que
El desarrollo del álgebra abstracta, que es una de las innovaciones más distintivas de las matemáticas del siglo XX, se debe en gran medida a ella, en artículos publicados, en conferencias y en su influencia personal sobre sus contemporáneos. [1]
El trabajo de Noether en álgebra comenzó en 1920 cuando, en colaboración con su protegido Werner Schmeidler, publicó un artículo sobre la teoría de ideales en el que definieron los ideales izquierdo y derecho en un anillo . [41]
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Al año siguiente publicó el artículo Idealtheorie in Ringbereichen , [62] en el que analizaba las condiciones de cadena ascendente en relación con los ideales (matemáticos) , en el que demostraba el teorema de Lasker-Noether en toda su generalidad. El conocido algebrista Irving Kaplansky calificó este trabajo de "revolucionario". [63] La publicación dio lugar al término noetheriano para los objetos que satisfacen la condición de cadena ascendente. [63] [64]
En 1924, un joven matemático holandés, Bartel Leendert van der Waerden , llegó a la Universidad de Gotinga. Inmediatamente comenzó a trabajar con Noether, quien le proporcionó métodos invaluables de conceptualización abstracta. Van der Waerden dijo más tarde que su originalidad era "absolutamente incomparable". [65] Después de regresar a Ámsterdam, escribió Moderne Algebra , un texto central de dos volúmenes en el campo; su segundo volumen, publicado en 1931, tomó prestado en gran medida del trabajo de Noether. [66] Aunque Noether no buscó reconocimiento, incluyó como nota en la séptima edición "basada en parte en conferencias de E. Artin y E. Noether". [67] [ 68] [69] A partir de 1927, Noether trabajó en estrecha colaboración con Emil Artin , Richard Brauer y Helmut Hasse en álgebras no conmutativas . [36] [66]
La visita de Van der Waerden fue parte de una convergencia de matemáticos de todo el mundo en Gotinga, que se había convertido en un importante centro de investigación matemática y física. Los matemáticos rusos Pavel Alexandrov y Pavel Urysohn fueron los primeros de varios en 1923. [70] Entre 1926 y 1930, Alexandrov dio conferencias regularmente en la universidad, y él y Noether se hicieron buenos amigos. [71] Él comenzó a referirse a ella como der Noether , usando el artículo alemán masculino como un término cariñoso para mostrar su respeto. Ella trató de arreglar que él obtuviera un puesto en Gotinga como profesor regular, pero solo pudo ayudarlo a obtener una beca para la Universidad de Princeton para el año académico 1927-1928 de la Fundación Rockefeller . [71] [72]
En Gotinga, Noether supervisó a más de una docena de estudiantes de doctorado, [42] aunque la mayoría estaban junto con Edmund Landau y otros, ya que no se le permitía supervisar disertaciones por su cuenta. [73] [74] Su primera fue Grete Hermann , quien defendió su disertación en febrero de 1925. [75] Aunque mejor recordada por su trabajo sobre los fundamentos de la mecánica cuántica , su disertación fue considerada una importante contribución a la teoría ideal . [76] [77] Hermann más tarde habló con reverencia de su "madre de disertación". [75]
Casi al mismo tiempo, Heinrich Grell y Rudolf Hölzer escribieron sus disertaciones bajo la dirección de Noether, aunque este último murió de tuberculosis poco antes de su defensa. [75] [78] [79] Grell defendió su tesis en 1926 y pasó a trabajar en la Universidad de Jena y la Universidad de Halle , antes de perder su licencia de profesor en 1935 debido a acusaciones de actos homosexuales. [42] Más tarde fue reinstalado y se convirtió en profesor en la Universidad Humboldt en 1948. [42] [75]
Noether luego supervisó a Werner Weber [80] y Jakob Levitzki , [81] quienes defendieron sus tesis en 1929. [82] [83] Weber, quien era considerado solo un matemático modesto, [73] más tarde participaría en la expulsión de los matemáticos judíos de Gotinga. [84] Levitzki trabajó primero en la Universidad de Yale y luego en la Universidad Hebrea de Jerusalén en Palestina, haciendo contribuciones significativas (en particular el teorema de Levitzky y el teorema de Hopkins-Levitzki ) a la teoría de anillos . [83]
Otros de los Noether Boys fueron Max Deuring , Hans Fitting , Ernst Witt , Chiungtze C. Tsen y Otto Schilling . Deuring, que había sido considerado el más prometedor de los estudiantes de Noether, recibió su doctorado en 1930. [85] [86] Trabajó en Hamburgo, Marden y Göttingen [c] y es conocido por sus contribuciones a la geometría aritmética . [88] Fitting se graduó en 1931 con una tesis sobre grupos abelianos [89] y es recordado por su trabajo en teoría de grupos , particularmente el teorema de Fitting y el lema de Fitting . [90] Murió a la edad de 31 años por una enfermedad ósea. [91]
Witt fue inicialmente supervisado por Noether, pero su puesto fue revocado en abril de 1933 y fue asignado a Gustav Herglotz en su lugar. [91] Recibió su doctorado en julio de 1933 con una tesis sobre el teorema de Riemann-Roch y las funciones zeta , [92] y continuó haciendo varias contribuciones que ahora llevan su nombre . [90] Tsen, mejor recordado por demostrar el teorema de Tsen , recibió su doctorado en diciembre del mismo año. [93] Regresó a China en 1935 y comenzó a enseñar en la Universidad Nacional Chekiang , [90] pero murió solo cinco años después. [d] Schilling también comenzó a estudiar con Noether, pero se vio obligado a buscar un nuevo asesor debido a la emigración de Noether. Con Helmut Hasse , completó su doctorado en 1934 en la Universidad de Marburgo . [90] [95] Posteriormente trabajó como posdoctorado en el Trinity College de Cambridge antes de mudarse a los Estados Unidos. [42]
Otros estudiantes de Noether fueron Wilhelm Dörnte, quien se doctoró en 1927 con una tesis sobre grupos, [96] Werner Vorbeck, quien lo hizo en 1935 con una tesis sobre campos de desdoblamiento , [42] y Wolfgang Wichmann, quien lo hizo en 1936 con una tesis sobre teoría p-ádica . [97] No hay información sobre los dos primeros, pero se sabe que Wichmann apoyó una iniciativa estudiantil que intentó sin éxito revocar el despido de Noether [98] y murió como soldado en el Frente Oriental durante la Segunda Guerra Mundial . [42]
Noether desarrolló un círculo cercano de matemáticos más allá de sus estudiantes de doctorado que compartían el enfoque de Noether para el álgebra abstracta y contribuyeron al desarrollo del campo, [99] un grupo a menudo conocido como la escuela de Noether . [100] [101] Un ejemplo de esto es su trabajo cercano con Wolfgang Krull , quien avanzó enormemente en el álgebra conmutativa con su Hauptidealsatz y su teoría de la dimensión para anillos conmutativos. [102] Otro es Gottfried Köthe , quien contribuyó al desarrollo de la teoría de cantidades hipercomplejas utilizando los métodos de Noether y Krull. [102]
Además de su perspicacia matemática, Noether era respetada por su consideración hacia los demás. Aunque a veces actuaba con rudeza hacia quienes no estaban de acuerdo con ella, se ganó una reputación de constante ayuda y paciente guía a los nuevos estudiantes. Su lealtad a la precisión matemática hizo que un colega la calificara de "crítica severa", pero ella combinaba esta exigencia de precisión con una actitud protectora. [103] En el obituario de Noether, Van der Waerden la describió como
Totalmente desinteresada y libre de vanidad, nunca reivindicó nada para sí misma, sino que promovió por encima de todo las obras de sus estudiantes. [65]
Noether mostró una devoción por su materia y sus estudiantes que se extendía más allá de la jornada académica. Una vez, cuando el edificio estaba cerrado por un feriado estatal, reunió a la clase en las escaleras de afuera, los guió a través del bosque y dio una conferencia en una cafetería local. [104] Más tarde, después de que la Alemania nazi la expulsara de la docencia, invitó a los estudiantes a su casa para discutir sus planes para el futuro y conceptos matemáticos. [105]
Al principio, el estilo de vida frugal de Noether se debió a que no le pagaban por su trabajo. Sin embargo, incluso después de que la universidad comenzara a pagarle un pequeño salario en 1923, continuó viviendo una vida sencilla y modesta. Más adelante en su vida, recibió un salario más generoso, pero ahorró la mitad de su salario para legarle a su sobrino, Gottfried E. Noether . [106]
Los biógrafos sugieren que no se preocupaba por su apariencia ni por sus modales, y que se concentraba en sus estudios. Olga Taussky-Todd , una distinguida algebrista a la que Noether enseñó, describió un almuerzo durante el cual Noether, completamente absorta en una discusión de matemáticas, "gesticulaba salvajemente" mientras comía y "derramaba su comida constantemente y la limpiaba de su vestido, completamente imperturbable". [107] Los estudiantes preocupados por su apariencia se encogieron cuando ella recuperó el pañuelo de su blusa e ignoraron el creciente desorden de su cabello durante una conferencia. Dos estudiantes mujeres se acercaron una vez a ella durante un descanso en una clase de dos horas para expresarle su preocupación, pero no pudieron abrirse paso a través de la enérgica discusión matemática que estaba teniendo con otros estudiantes. [108]
Noether no seguía un plan de lecciones para sus conferencias. [65] Hablaba rápidamente y sus conferencias eran consideradas difíciles de seguir por muchos, incluidos Carl Ludwig Siegel y Paul Dubreil . [109] [110] Los estudiantes a quienes no les gustaba su estilo a menudo se sentían alienados. [111] Los "forasteros" que ocasionalmente visitaban las conferencias de Noether generalmente pasaban solo media hora en la sala antes de irse frustrados o confundidos. Un estudiante regular dijo de uno de esos casos: "El enemigo ha sido derrotado; se ha ido". [112]
Sus clases las utilizaba como un espacio de debate espontáneo con sus alumnos para reflexionar y aclarar problemas importantes de matemáticas. Algunos de sus resultados más importantes se desarrollaron en estas clases, y las notas de clase de sus alumnos formaron la base de varios libros de texto importantes, como los de van der Waerden y Deuring. [65] Noether transmitía un entusiasmo matemático contagioso a sus alumnos más dedicados, que disfrutaban de sus animadas conversaciones con ella. [113] [114]
Varios de sus colegas asistieron a sus conferencias y a veces permitió que otros (incluidos sus estudiantes) recibieran crédito por sus ideas, lo que resultó en que gran parte de su trabajo apareciera en artículos que no estaban bajo su nombre. [66] [67] Se registró que Noether dio al menos cinco cursos semestrales en Göttingen: [115]
Estos cursos a menudo precedían a publicaciones importantes sobre los mismos temas.
En el invierno de 1928-1929, Noether aceptó una invitación a la Universidad Estatal de Moscú , donde continuó trabajando con P. S. Alexandrov . Además de continuar con su investigación, impartió clases de álgebra abstracta y geometría algebraica . Trabajó con los topólogos Lev Pontryagin y Nikolai Chebotaryov , quienes más tarde elogiaron sus contribuciones al desarrollo de la teoría de Galois . [116] [117] [118]
Aunque la política no era un tema central en su vida, Noether se interesó mucho por los asuntos políticos y, según Alexandrov, mostró un apoyo considerable a la Revolución rusa . Estaba especialmente feliz de ver los avances soviéticos en los campos de la ciencia y las matemáticas, que consideraba indicativos de nuevas oportunidades posibilitadas por el proyecto bolchevique . Esta actitud le causó problemas en Alemania, que culminaron con su desalojo de un edificio de alojamiento de pensiones , después de que los líderes estudiantiles se quejaran de vivir con "una judía de tendencia marxista". [119] Hermann Weyl recordó que "Durante los tiempos salvajes posteriores a la Revolución de 1918 ", Noether "se puso más o menos del lado de los socialdemócratas ". [36] Fue miembro de los Socialdemócratas Independientes desde 1919 hasta 1922 , un partido escindido de corta duración. En palabras del lógico e historiador Colin McLarty , "no era bolchevique, pero no tenía miedo de que la llamaran así". [120]
Noether planeaba regresar a Moscú, esfuerzo para el cual recibió el apoyo de Alexandrov. Después de que ella dejara Alemania en 1933, él intentó ayudarla a obtener una cátedra en la Universidad Estatal de Moscú a través del Ministerio de Educación Soviético . Aunque este esfuerzo resultó infructuoso, mantuvieron correspondencia frecuente durante la década de 1930, y en 1935 ella hizo planes para regresar a la Unión Soviética. [119]
En 1932, Emmy Noether y Emil Artin recibieron el premio Ackermann-Teubner Memorial por sus contribuciones a las matemáticas. [66] El premio incluía una recompensa monetaria de 500 ℛ︁ℳ︁ y fue visto como un reconocimiento oficial largamente esperado de su considerable trabajo en el campo. Sin embargo, sus colegas expresaron su frustración por el hecho de que no fue elegida para la Göttingen Gesellschaft der Wissenschaften (academia de ciencias) y nunca fue promovida al puesto de Ordentlicher Professor [121] [122] (profesora titular). [59]
Los colegas de Noether celebraron su quincuagésimo cumpleaños, en 1932, al estilo típico de los matemáticos. Helmut Hasse le dedicó un artículo en los Mathematische Annalen , en el que confirmó su sospecha de que algunos aspectos del álgebra no conmutativa son más simples que los del álgebra conmutativa , al demostrar una ley de reciprocidad no conmutativa . [123] Esto la agradó enormemente. También le envió un acertijo matemático, al que llamó el "acertijo de sílabas m μν ". Ella lo resolvió de inmediato, pero el acertijo se ha perdido. [121] [122]
En septiembre de ese mismo año, Noether pronunció un discurso plenario ( großer Vortrag ) sobre «Sistemas hipercomplejos en sus relaciones con el álgebra conmutativa y la teoría de números» en el Congreso Internacional de Matemáticos de Zúrich . Asistieron al congreso 800 personas, incluidos los colegas de Noether Hermann Weyl , Edmund Landau y Wolfgang Krull . Hubo 420 participantes oficiales y se presentaron veintiún discursos plenarios. Aparentemente, la posición prominente de Noether como oradora fue un reconocimiento de la importancia de sus contribuciones a las matemáticas. El congreso de 1932 a veces se describe como el punto culminante de su carrera. [122] [124]
Cuando Adolf Hitler se convirtió en canciller del Reich en enero de 1933, la actividad nazi en todo el país aumentó drásticamente. En la Universidad de Göttingen, la Asociación de Estudiantes Alemanes encabezó el ataque contra el "espíritu antialemán" atribuido a los judíos y contó con la ayuda del privatdozent y antiguo alumno de Noether, Werner Weber . Las actitudes antisemitas crearon un clima hostil hacia los profesores judíos. Según se informa, un joven manifestante exigió: "Los estudiantes arios quieren matemáticas arias y no matemáticas judías". [84]
Una de las primeras medidas de la administración de Hitler fue la Ley para la Restauración del Servicio Civil Profesional , que expulsaba de sus puestos a los judíos y a los empleados gubernamentales políticamente sospechosos (incluidos los profesores universitarios) a menos que hubieran "demostrado su lealtad a Alemania" sirviendo en la Primera Guerra Mundial . En abril de 1933, Noether recibió una notificación del Ministerio de Ciencias, Arte y Educación Pública de Prusia que decía: "Sobre la base del párrafo 3 del Código del Servicio Civil del 7 de abril de 1933, por la presente le retiro el derecho a enseñar en la Universidad de Göttingen". [125] [126] A varios de los colegas de Noether, incluidos Max Born y Richard Courant , también se les revocaron sus puestos. [125] [126]
Noether aceptó la decisión con calma y brindó apoyo a los demás durante ese momento difícil. Hermann Weyl escribió más tarde que "Emmy Noether, su coraje, su franqueza, su despreocupación por su propio destino, su espíritu conciliador, era un consuelo moral en medio de todo el odio y la mezquindad, la desesperación y el dolor que nos rodeaban". [84] Por lo general, Noether se centró en las matemáticas y reunió a los estudiantes en su apartamento para discutir la teoría de campos de clase . Cuando una de sus estudiantes apareció con el uniforme de la organización paramilitar nazi Sturmabteilung (SA), no mostró ningún signo de agitación y, según se dice, incluso se rió de ello más tarde. [125] [126]
Mientras decenas de profesores recién desempleados comenzaban a buscar puestos fuera de Alemania, sus colegas en los Estados Unidos buscaron brindarles asistencia y oportunidades laborales. Albert Einstein y Hermann Weyl fueron designados por el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton , mientras que otros trabajaron para encontrar un patrocinador requerido para la inmigración legal . Noether fue contactada por representantes de dos instituciones educativas: Bryn Mawr College , en los Estados Unidos, y Somerville College en la Universidad de Oxford , en Inglaterra. Después de una serie de negociaciones con la Fundación Rockefeller , se aprobó una subvención a Bryn Mawr para Noether y ella tomó un puesto allí, comenzando a fines de 1933. [127] [128]
En Bryn Mawr, Noether conoció y entabló amistad con Anna Wheeler , que había estudiado en Göttingen justo antes de que Noether llegara allí. Otra fuente de apoyo en la universidad fue la presidenta de Bryn Mawr, Marion Edwards Park , quien invitó con entusiasmo a los matemáticos de la zona a "ver al Dr. Noether en acción". [129] [130]
Durante su estancia en Bryn Mawr, Noether formó un grupo, a veces llamado las chicas Noether, [131] de cuatro estudiantes de posdoctorado (Grace Shover Quinn, Marie Johanna Weiss , Olga Taussky-Todd , quienes luego tuvieron carreras exitosas en matemáticas) y de doctorado (Ruth Stauffer). [132] Trabajaron con entusiasmo en Moderne Algebra I de van der Waerden y partes de Theorie der algebraischen Zahlen ( Teoría de los números algebraicos ) de Erich Hecke . [133] Stauffer fue la única estudiante de doctorado de Noether en los Estados Unidos, pero Noether murió poco antes de graduarse. [134] Hizo su examen con Richard Brauer y recibió su título en junio de 1935, [135] con una tesis sobre extensiones normales separables . [136] Después de su doctorado, Stauffer trabajó como profesora durante un breve período y como estadística durante más de 30 años. [42] [135]
En 1934, Noether comenzó a dar conferencias en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton por invitación de Abraham Flexner y Oswald Veblen . [137] También trabajó con Abraham Albert y Harry Vandiver . [138] Sin embargo, comentó sobre la Universidad de Princeton que no era bienvenida en "la universidad de hombres, donde no se admite a ninguna mujer". [139]
Su tiempo en los Estados Unidos fue agradable, ya que estaba rodeada de colegas que la apoyaban y absorta en sus materias favoritas. [140] En el verano de 1934, regresó brevemente a Alemania para ver a Emil Artin y a su hermano Fritz . [141] Este último, después de haber sido obligado a dejar su trabajo en la Technische Hochschule Breslau , había aceptado un puesto en el Instituto de Investigación de Matemáticas y Mecánica en Tomsk , en el Distrito Federal Siberiano de Rusia. [141] Posteriormente fue ejecutado durante la masacre del bosque de Medvedev . [142]
Aunque muchos de sus antiguos compañeros se habían visto obligados a abandonar las universidades, ella pudo utilizar la biblioteca de Gotinga como "académica extranjera". Sin incidentes, Noether regresó a los Estados Unidos y a sus estudios en Bryn Mawr. [143] [144]
En abril de 1935, los médicos descubrieron un tumor en la pelvis de Noether . Preocupados por las complicaciones de la cirugía, primero ordenaron dos días de reposo en cama. Durante la operación descubrieron un quiste ovárico "del tamaño de un melón grande ". [145] Dos tumores más pequeños en su útero parecían ser benignos y no fueron extirpados para evitar prolongar la cirugía. Durante tres días pareció convalecer normalmente y se recuperó rápidamente de un colapso circulatorio en el cuarto. El 14 de abril, Noether cayó inconsciente, su temperatura se disparó a 109 °F (42,8 °C) y murió. "No es fácil decir qué le había ocurrido a la Dra. Noether", escribió uno de los médicos. "Es posible que hubiera algún tipo de infección inusual y virulenta, que afectó la base del cerebro donde se supone que se encuentran los centros de calor". [145] Tenía 53 años. [8]
Unos días después de la muerte de Noether, sus amigos y asociados en Bryn Mawr celebraron un pequeño servicio conmemorativo en la casa del presidente de la universidad, Park. [146] Hermann Weyl y Richard Brauer viajaron desde Princeton y pronunciaron panegíricos. [147] En los meses siguientes, comenzaron a aparecer homenajes escritos en todo el mundo: Albert Einstein se unió a van der Waerden, Weyl y Pavel Alexandrov para presentar sus respetos. [5] Su cuerpo fue incinerado y las cenizas enterradas bajo la pasarela alrededor de los claustros de la Biblioteca M. Carey Thomas en Bryn Mawr. [148] [149]
El trabajo de Noether en álgebra abstracta y topología fue influyente en las matemáticas, mientras que el teorema de Noether tiene consecuencias generalizadas para la física teórica y los sistemas dinámicos . Noether mostró una aguda propensión al pensamiento abstracto, lo que le permitió abordar los problemas de las matemáticas de formas nuevas y originales. [38] Su amigo y colega Hermann Weyl describió su producción académica en tres épocas:
(1) El período de dependencia relativa, 1907-1919
(2) las investigaciones agrupadas en torno a la teoría general de los ideales 1920-1926
(3) el estudio de las álgebras no conmutativas, sus representaciones mediante transformaciones lineales y su aplicación al estudio de los cuerpos numéricos conmutativos y sus aritméticas.
—Weyl 1935
En la primera época (1907-1919), Noether se ocupó principalmente de invariantes diferenciales y algebraicas , comenzando con su tesis bajo la dirección de Paul Gordan . Sus horizontes matemáticos se ampliaron y su trabajo se volvió más general y abstracto, a medida que se familiarizaba con el trabajo de David Hilbert , a través de interacciones cercanas con un sucesor de Gordan, Ernst Sigismund Fischer . Poco después de mudarse a Gotinga en 1915, demostró los dos teoremas de Noether , "uno de los teoremas matemáticos más importantes jamás demostrados para guiar el desarrollo de la física moderna". [10]
En la segunda época (1920-1926), Noether se dedicó a desarrollar la teoría de anillos matemáticos . [150] En la tercera época (1927-1935), Noether se centró en el álgebra no conmutativa , las transformaciones lineales y los cuerpos numéricos conmutativos. [151] Aunque los resultados de la primera época de Noether fueron impresionantes y útiles, su fama entre los matemáticos se basa más en el trabajo innovador que realizó en su segunda y tercera épocas, como lo señalaron Hermann Weyl y BL van der Waerden en sus obituarios sobre ella. [36] [65]
En estas épocas, no se limitaba a aplicar ideas y métodos de los matemáticos anteriores, sino que elaboraba nuevos sistemas de definiciones matemáticas que utilizarían los matemáticos del futuro. En particular, desarrolló una teoría completamente nueva de ideales en anillos , generalizando el trabajo anterior de Richard Dedekind . También es famosa por desarrollar condiciones de cadena ascendente, una condición de finitud simple que produjo resultados poderosos en sus manos. [152] Estas condiciones y la teoría de ideales permitieron a Noether generalizar muchos resultados más antiguos y tratar viejos problemas desde una nueva perspectiva, como la teoría de la eliminación y las variedades algebraicas que había estudiado su padre.
En el siglo que va desde 1832 hasta la muerte de Noether en 1935, el campo de las matemáticas –en concreto el álgebra– atravesó una profunda revolución cuyas repercusiones todavía se sienten. Los matemáticos de siglos anteriores habían trabajado en métodos prácticos para resolver tipos específicos de ecuaciones, por ejemplo, ecuaciones cúbicas , cuárticas y quínticas , así como en el problema relacionado de construir polígonos regulares utilizando compás y regla . A partir de la prueba de Carl Friedrich Gauss de 1832 de que los números primos como el cinco pueden factorizarse en números enteros gaussianos , [153] la introducción de los grupos de permutación por Évariste Galois en 1832 (aunque, debido a su muerte, sus artículos fueron publicados recién en 1846, por Liouville), la descripción de los cuaterniones por William Rowan Hamilton en 1843 y la definición más moderna de los grupos por Arthur Cayley en 1854, la investigación se dirigió a determinar las propiedades de sistemas cada vez más abstractos definidos por reglas cada vez más universales. Las contribuciones más importantes de Noether a las matemáticas fueron el desarrollo de este nuevo campo, el álgebra abstracta . [154]
Dos de los objetos más básicos del álgebra abstracta son los grupos y los anillos .
Un grupo consiste en un conjunto de elementos y una única operación que combina un primer y un segundo elemento y devuelve un tercero. La operación debe satisfacer ciertas restricciones para que determine un grupo: debe ser cerrada (cuando se aplica a cualquier par de elementos del conjunto asociado, el elemento generado también debe ser miembro de ese conjunto), debe ser asociativa , debe haber un elemento identidad (un elemento que, cuando se combina con otro elemento mediante la operación, da como resultado el elemento original, como al multiplicar un número por uno), y para cada elemento debe haber un elemento inverso . [155] [156]
Un anillo , asimismo, tiene un conjunto de elementos, pero ahora tiene dos operaciones. La primera operación debe hacer que el conjunto sea un grupo conmutativo , y la segunda operación es asociativa y distributiva con respecto a la primera operación. Puede ser conmutativa o no ; esto significa que el resultado de aplicar la operación a un primer y un segundo elemento es el mismo que al segundo y al primero – el orden de los elementos no importa. [157] Si cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo (un elemento x tal que ax = xa = 1 ), el anillo se llama anillo de división . Un cuerpo se define como un anillo de división conmutativo. Por ejemplo, los números enteros forman un anillo conmutativo cuyos elementos son los números enteros, y las operaciones de combinación son la suma y la multiplicación. Cualquier par de números enteros se puede sumar o multiplicar , dando siempre como resultado otro número entero, y la primera operación, la suma, es conmutativa , es decir, para cualesquiera elementos a y b en el anillo, a + b = b + a . La segunda operación, la multiplicación, también es conmutativa, pero no necesariamente es así para otros anillos, lo que significa que a combinado con b puede ser diferente de b combinado con a . Ejemplos de anillos no conmutativos incluyen matrices y cuaterniones . Los números enteros no forman un anillo de división, porque la segunda operación no siempre se puede invertir; por ejemplo, no existe ningún número entero a tal que 3 a = 1 . [158] [159]
Los números enteros tienen propiedades adicionales que no se pueden generalizar a todos los anillos conmutativos. Un ejemplo importante es el teorema fundamental de la aritmética , que dice que cada número entero positivo puede factorizarse de forma única en números primos . [160] Las factorizaciones únicas no siempre existen en otros anillos, pero Noether encontró un teorema de factorización única, ahora llamado teorema de Lasker-Noether , para los ideales de muchos anillos. Gran parte del trabajo de Noether consistió en determinar qué propiedades se cumplen para todos los anillos, en idear nuevos análogos de los antiguos teoremas de números enteros y en determinar el conjunto mínimo de suposiciones necesarias para obtener ciertas propiedades de los anillos.
Los grupos se estudian frecuentemente a través de representaciones de grupo . [161] En su forma más general, estas consisten en una elección de grupo, un conjunto y una acción del grupo sobre el conjunto, es decir, una operación que toma un elemento del grupo y un elemento del conjunto y devuelve un elemento del conjunto. La mayoría de las veces, el conjunto es un espacio vectorial y el grupo describe las simetrías del espacio vectorial. Por ejemplo, hay un grupo que representa las rotaciones rígidas del espacio. Las rotaciones son un tipo de simetría del espacio, porque las leyes de la física en sí mismas no eligen una dirección preferida. [162] Noether utilizó este tipo de simetrías en su trabajo sobre invariantes en física. [163]
Una forma eficaz de estudiar los anillos es a través de sus módulos . Un módulo consiste en una elección de anillo, otro conjunto, normalmente distinto del conjunto subyacente del anillo y llamado conjunto subyacente del módulo, una operación sobre pares de elementos del conjunto subyacente del módulo y una operación que toma un elemento del anillo y un elemento del módulo y devuelve un elemento del módulo. [164]
El conjunto subyacente del módulo y su operación deben formar un grupo. Un módulo es una versión de la teoría de anillos de una representación de grupo: ignorar la segunda operación de anillo y la operación sobre pares de elementos de módulo determina una representación de grupo. La utilidad real de los módulos es que los tipos de módulos que existen y sus interacciones revelan la estructura del anillo de maneras que no son evidentes desde el anillo mismo. Un caso especial importante de esto es un álgebra . [e] Un álgebra consiste en una elección de dos anillos y una operación que toma un elemento de cada anillo y devuelve un elemento del segundo anillo. Esta operación convierte el segundo anillo en un módulo sobre el primero. A menudo, el primer anillo es un cuerpo.
Palabras como "elemento" y "operación de combinación" son muy generales y pueden aplicarse a muchas situaciones abstractas y del mundo real. Cualquier conjunto de cosas que obedece todas las reglas para una (o dos) operación(es) es, por definición, un grupo (o anillo), y obedece todos los teoremas sobre grupos (o anillos). Los números enteros y las operaciones de adición y multiplicación son sólo un ejemplo. Por ejemplo, los elementos podrían ser proposiciones lógicas, donde la primera operación de combinación es exclusiva o y la segunda es la conjunción lógica . [165] Los teoremas del álgebra abstracta son poderosos porque son generales; gobiernan muchos sistemas. Podría imaginarse que poco podría concluirse acerca de objetos definidos con tan pocas propiedades, pero precisamente en eso radica el don de Noether para descubrir el máximo que podría concluirse a partir de un conjunto dado de propiedades, o por el contrario, para identificar el conjunto mínimo, las propiedades esenciales responsables de una observación particular. A diferencia de la mayoría de los matemáticos, ella no hizo abstracciones generalizando a partir de ejemplos conocidos; más bien, trabajó directamente con las abstracciones. En su obituario de Noether, van der Waerden recordó que
La máxima que guió a Emmy Noether a lo largo de su obra podría formularse de la siguiente manera: "Cualquier relación entre números, funciones y operaciones se vuelve transparente, generalmente aplicable y completamente productiva solo después de que han sido aisladas de sus objetos particulares y han sido formuladas como conceptos universalmente válidos". [166]
Esta es la matemática puramente conceptual que era característica de Noether. Este estilo de matemáticas fue adoptado por otros matemáticos, especialmente en el (entonces nuevo) campo del álgebra abstracta. [167]
Gran parte del trabajo de Noether en la primera época de su carrera estuvo asociado con la teoría de invariantes , principalmente la teoría de invariantes algebraicos . La teoría de invariantes se ocupa de expresiones que permanecen constantes (invariantes) bajo un grupo de transformaciones. Como ejemplo cotidiano, si se gira una vara de medir rígida, las coordenadas ( x 1 , y 1 , z 1 ) y ( x 2 , y 2 , z 2 ) de sus puntos finales cambian, pero su longitud L dada por la fórmula L 2 = Δ x 2 + Δ y 2 + Δ z 2 permanece igual. La teoría de invariantes fue un área activa de investigación a finales del siglo XIX, impulsada en parte por el programa de Erlangen de Felix Klein , según el cual los diferentes tipos de geometría deberían caracterizarse por sus invariantes bajo transformaciones, por ejemplo, la razón cruzada de la geometría proyectiva .
Un ejemplo de invariante es el discriminante B 2 − 4 AC de una forma cuadrática binaria x· A x + y· B x + y· C y , donde x e y son vectores y " · " es el producto escalar o " producto interno " de los vectores. A , B y C son operadores lineales sobre los vectores, típicamente matrices .
El discriminante se llama "invariante" porque no cambia con las sustituciones lineales x → a x + b y e y → c x + d y con determinante ad − bc = 1. Estas sustituciones forman el grupo lineal especial SL 2 . [f]
Se pueden preguntar todos los polinomios en A , B y C que no cambian por la acción de SL 2 ; estos se llaman invariantes de las formas cuadráticas binarias y resultan ser los polinomios en el discriminante.
De manera más general, se puede preguntar por los invariantes de polinomios homogéneos A 0 x r y 0 + ... + A r x 0 y r de grado superior, que serán ciertos polinomios en los coeficientes A 0 , ..., A r , y más generalmente aún, se puede plantear la pregunta similar para polinomios homogéneos en más de dos variables.
Uno de los principales objetivos de la teoría de invariantes era resolver el " problema de la base finita ". La suma o el producto de dos invariantes cualesquiera es invariante, y el problema de la base finita planteaba la pregunta de si era posible obtener todos los invariantes comenzando con una lista finita de invariantes, denominada generadores , y luego, sumando o multiplicando los generadores entre sí. Por ejemplo, el discriminante proporciona una base finita (con un elemento) para los invariantes de las formas cuadráticas binarias.
El asesor de Noether, Paul Gordan, era conocido como el "rey de la teoría de invariantes", y su principal contribución a las matemáticas fue su solución de 1870 del problema de la base finita para invariantes de polinomios homogéneos en dos variables. [168] [169] Lo demostró dando un método constructivo para encontrar todos los invariantes y sus generadores, pero no fue capaz de llevar a cabo este enfoque constructivo para invariantes en tres o más variables. En 1890, David Hilbert demostró una afirmación similar para los invariantes de polinomios homogéneos en cualquier número de variables. [170] [171] Además, su método funcionó, no solo para el grupo lineal especial, sino también para algunos de sus subgrupos, como el grupo ortogonal especial . [172]
La teoría de Galois se ocupa de las transformaciones de cuerpos numéricos que permutan las raíces de una ecuación. [173] Considérese una ecuación polinómica de una variable x de grado n , en la que los coeficientes se extraen de algún cuerpo fundamental , que podría ser, por ejemplo, el cuerpo de los números reales , los números racionales o los enteros módulo 7. Puede haber o no elecciones de x , que hagan que este polinomio evalúe a cero. Tales elecciones, si existen, se denominan raíces . Por ejemplo, si el polinomio es x 2 + 1 y el cuerpo son los números reales, entonces el polinomio no tiene raíces, porque cualquier elección de x hace que el polinomio sea mayor o igual a uno. Sin embargo, si el cuerpo se extiende , entonces el polinomio puede ganar raíces, y si se extiende lo suficiente, entonces siempre tiene un número de raíces igual a su grado.
Continuando con el ejemplo anterior, si el campo se amplía a los números complejos, entonces el polinomio obtiene dos raíces, + i y − i , donde i es la unidad imaginaria , es decir, i 2 = −1. De manera más general, el campo de extensión en el que un polinomio puede factorizarse en sus raíces se conoce como el campo de división del polinomio. [174]
El grupo de Galois de un polinomio es el conjunto de todas las transformaciones del cuerpo de descomposición que preservan el cuerpo fundamental y las raíces del polinomio. [175] (Estas transformaciones se denominan automorfismos ). El grupo de Galois de x 2 + 1 consta de dos elementos: la transformación identidad, que envía cada número complejo a sí mismo, y la conjugación compleja , que envía + i a − i . Dado que el grupo de Galois no cambia el cuerpo fundamental, deja los coeficientes del polinomio sin cambios, por lo que debe dejar el conjunto de todas las raíces sin cambios. Sin embargo, cada raíz puede moverse a otra raíz, por lo que la transformación determina una permutación de las n raíces entre sí. La importancia del grupo de Galois se deriva del teorema fundamental de la teoría de Galois , que demuestra que los cuerpos que se encuentran entre el cuerpo fundamental y el cuerpo de descomposición están en correspondencia biunívoca con los subgrupos del grupo de Galois. [176]
En 1918, Noether publicó un artículo sobre el problema inverso de Galois . [177] En lugar de determinar el grupo de Galois de transformaciones de un campo dado y su extensión, Noether preguntó si, dado un campo y un grupo, siempre es posible encontrar una extensión del campo que tenga al grupo dado como su grupo de Galois. Ella redujo esto al " problema de Noether ", que pregunta si el campo fijo de un subgrupo G del grupo de permutación S n que actúa sobre el campo k ( x 1 , ..., x n ) siempre es una extensión trascendental pura del campo k . (Ella mencionó por primera vez este problema en un artículo de 1913, [178] donde atribuyó el problema a su colega Fischer .) Ella demostró que esto era cierto para n = 2, 3 o 4. En 1969, Richard Swan encontró un contraejemplo al problema de Noether, con n = 47 y G un grupo cíclico de orden 47 [179] (aunque este grupo puede realizarse como un grupo de Galois sobre los racionales de otras maneras). El problema de Galois inverso sigue sin resolverse. [180]
Noether fue llevada a Gotinga en 1915 por David Hilbert y Felix Klein, quienes querían que su experiencia en teoría de invariantes los ayudara a comprender la relatividad general , [181] una teoría geométrica de la gravitación desarrollada principalmente por Albert Einstein . Hilbert había observado que la conservación de la energía parecía violarse en la relatividad general, porque la energía gravitatoria podía gravitar por sí misma. Noether proporcionó la resolución de esta paradoja, y una herramienta fundamental de la física teórica moderna , con el primer teorema de Noether , que demostró en 1915, pero no publicó hasta 1918. [182] No solo resolvió el problema de la relatividad general, sino que también determinó las cantidades conservadas para cada sistema de leyes físicas que posee alguna simetría continua. [183] Al recibir su trabajo, Einstein le escribió a Hilbert:
Ayer recibí de la señorita Noether un artículo muy interesante sobre invariantes. Me impresiona que estas cosas puedan entenderse de una manera tan general. ¡La vieja guardia de Göttingen debería recibir algunas lecciones de la señorita Noether! Parece que sabe de lo que habla. [184]
A modo de ejemplo, si un sistema físico se comporta de la misma manera, independientemente de cómo esté orientado en el espacio, las leyes físicas que lo gobiernan son rotacionalmente simétricas; a partir de esta simetría, el teorema de Noether muestra que el momento angular del sistema debe conservarse. [163] [185] El sistema físico en sí no necesita ser simétrico; un asteroide irregular que da vueltas en el espacio conserva el momento angular a pesar de su asimetría. Más bien, la simetría de las leyes físicas que gobiernan el sistema es responsable de la ley de conservación. Como otro ejemplo, si un experimento físico tiene el mismo resultado en cualquier lugar y en cualquier momento, entonces sus leyes son simétricas bajo traslaciones continuas en el espacio y el tiempo; por el teorema de Noether, estas simetrías explican las leyes de conservación del momento lineal y la energía dentro de este sistema, respectivamente. [186]
El teorema de Noether se ha convertido en una herramienta fundamental de la física teórica moderna , tanto por la visión que proporciona de las leyes de conservación como por su función práctica de cálculo. [7] Su teorema permite a los investigadores determinar las cantidades conservadas a partir de las simetrías observadas de un sistema físico. A la inversa, facilita la descripción de un sistema físico basándose en clases de leyes físicas hipotéticas. A modo de ilustración, supongamos que se descubre un nuevo fenómeno físico. El teorema de Noether proporciona una prueba para los modelos teóricos del fenómeno:
Si la teoría tiene una simetría continua, entonces el teorema de Noether garantiza que la teoría tiene una cantidad conservada, y para que la teoría sea correcta, esta conservación debe ser observable en experimentos.
En esta época, Noether se hizo famosa por su hábil uso de condiciones de cadena ascendentes ( Teilerkettensatz ) o descendentes ( Vielfachenkettensatz ). [152] Una secuencia de subconjuntos no vacíos A 1 , A 2 , A 3 , etc. de un conjunto S se suele decir que es ascendente , si cada uno es un subconjunto del siguiente.
Por el contrario, una secuencia de subconjuntos de S se denomina descendente si cada uno contiene el siguiente subconjunto:
Una cadena se vuelve constante después de un número finito de pasos si existe un n tal que para todo m ≥ n . Una colección de subconjuntos de un conjunto dado satisface la condición de cadena ascendente si cualquier secuencia ascendente se vuelve constante después de un número finito de pasos. Satisface la condición de cadena descendente si cualquier secuencia descendente se vuelve constante después de un número finito de pasos.
Las condiciones de cadena ascendente y descendente son generales, lo que significa que se pueden aplicar a muchos tipos de objetos matemáticos y, a primera vista, pueden no parecer muy eficaces. Sin embargo, Noether demostró cómo aprovechar al máximo estas condiciones. Por ejemplo, las condiciones de cadena se pueden utilizar para demostrar que cada conjunto de subobjetos tiene un elemento máximo/mínimo o que un objeto complejo se puede generar con un número menor de elementos. Estas conclusiones suelen ser pasos cruciales en una demostración.
Muchos tipos de objetos en álgebra abstracta pueden satisfacer condiciones de cadena, y usualmente si satisfacen una condición de cadena ascendente, son llamados noetherianos en su honor. [187] Por definición, un anillo noetheriano satisface una condición de cadena ascendente en sus ideales izquierdo y derecho, mientras que un grupo noetheriano se define como un grupo en el que cada cadena estrictamente ascendente de subgrupos es finita. Un módulo noetheriano es un módulo en el que cada cadena estrictamente ascendente de submódulos se vuelve constante después de un número finito de pasos. Un espacio noetheriano es un espacio topológico en el que cada cadena estrictamente ascendente de subespacios abiertos se vuelve constante después de un número finito de pasos; esta definición hace que el espectro de un anillo noetheriano sea un espacio topológico noetheriano.
La condición de cadena a menudo es "heredada" por subobjetos. Por ejemplo, todos los subespacios de un espacio noetheriano son noetherianos en sí mismos; todos los subgrupos y grupos cocientes de un grupo noetheriano son, asimismo, noetherianos; y, mutatis mutandis , lo mismo se aplica a los submódulos y módulos cocientes de un módulo noetheriano. Todos los anillos cocientes de un anillo noetheriano son noetherianos, pero eso no se aplica necesariamente a sus subanillos. La condición de cadena también puede ser heredada por combinaciones o extensiones de un objeto noetheriano. Por ejemplo, las sumas directas finitas de anillos noetherianos son noetherianas, como lo es el anillo de series de potencias formales sobre un anillo noetheriano.
Otra aplicación de tales condiciones de cadena es la inducción noetheriana , también conocida como inducción bien fundada , que es una generalización de la inducción matemática . Con frecuencia se utiliza para reducir enunciados generales sobre conjuntos de objetos a enunciados sobre objetos específicos de ese conjunto. Supongamos que S es un conjunto parcialmente ordenado . Una forma de demostrar un enunciado sobre los objetos de S es suponer la existencia de un contraejemplo y deducir una contradicción, demostrando así el contrapositivo del enunciado original. La premisa básica de la inducción noetheriana es que todo subconjunto no vacío de S contiene un elemento mínimo. En particular, el conjunto de todos los contraejemplos contiene un elemento mínimo, el contraejemplo mínimo . Por tanto, para demostrar el enunciado original basta con demostrar algo aparentemente mucho más débil: para cualquier contraejemplo, hay un contraejemplo más pequeño.
El artículo de Noether, Idealtheorie in Ringbereichen ( Teoría de ideales en dominios de anillos , 1921), [62] es la base de la teoría general de anillos conmutativos y da una de las primeras definiciones generales de un anillo conmutativo . [188] Antes de su artículo, la mayoría de los resultados en álgebra conmutativa se limitaban a ejemplos especiales de anillos conmutativos, como anillos polinómicos sobre cuerpos o anillos de números enteros algebraicos. Noether demostró que en un anillo que satisface la condición de cadena ascendente sobre ideales , cada ideal se genera finitamente. En 1943, el matemático francés Claude Chevalley acuñó el término anillo noetheriano para describir esta propiedad. [188] Un resultado importante del artículo de Noether de 1921 es el teorema de Lasker-Noether , que extiende el teorema de Lasker sobre la descomposición primaria de ideales de anillos polinómicos a todos los anillos noetherianos. El teorema de Lasker-Noether puede verse como una generalización del teorema fundamental de la aritmética que establece que cualquier número entero positivo puede expresarse como un producto de números primos y que esta descomposición es única.
El trabajo de Noether Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern ( Estructura abstracta de la teoría de ideales en campos de números y funciones algebraicos , 1927) [189] caracterizó los anillos en los que los ideales tienen factorización única en ideales primos como los dominios de Dedekind : dominios integrales que son noetherianos, 0 o 1- dimensionales e integralmente cerrados en sus campos cocientes. Este artículo también contiene lo que ahora se denominan teoremas de isomorfismo , que describen algunos isomorfismos naturales fundamentales y algunos otros resultados básicos sobre módulos noetherianos y artinianos .
En 1923-1924, Noether aplicó su teoría ideal a la teoría de eliminación en una formulación que atribuyó a su alumno, Kurt Hentzelt. Demostró que los teoremas fundamentales sobre la factorización de polinomios podían transferirse directamente. [190] [191] [192] Tradicionalmente, la teoría de eliminación se ocupa de eliminar una o más variables de un sistema de ecuaciones polinómicas, generalmente mediante el método de las resultantes .
A modo de ilustración, un sistema de ecuaciones a menudo se puede escribir en la forma
donde una matriz (o transformada lineal ) M (sin la variable x ) multiplicada por un vector v (que solo tiene potencias de x distintas de cero ) es igual al vector cero, 0. Por lo tanto, el determinante de la matriz M debe ser cero, lo que da como resultado una nueva ecuación en la que se ha eliminado la variable x .
Técnicas como la solución no constructiva original de Hilbert al problema de la base finita no podían usarse para obtener información cuantitativa sobre los invariantes de una acción de grupo y, además, no se aplicaban a todas las acciones de grupo. En su artículo de 1915, [193] Noether encontró una solución al problema de la base finita para un grupo finito de transformaciones G que actúan sobre un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo de característica cero. Su solución muestra que el anillo de invariantes es generado por invariantes homogéneos cuyo grado es menor o igual que el orden del grupo finito; esto se llama límite de Noether . Su artículo proporcionó dos pruebas del límite de Noether, las cuales también funcionan cuando la característica del campo es coprima a (el factorial del orden del grupo G ). Los grados de los generadores no necesitan satisfacer el límite de Noether cuando la característica del campo divide el número , [194] pero Noether no pudo determinar si este límite era correcto cuando la característica del campo divide pero no . Durante muchos años, determinar la verdad o falsedad de este límite para este caso particular fue un problema abierto, llamado "brecha de Noether". Finalmente, Fleischmann lo resolvió de manera independiente en 2000 y Fogarty en 2001, quienes demostraron que el límite sigue siendo válido. [195] [196]
En su artículo de 1926, [197] Noether extendió el teorema de Hilbert a representaciones de un grupo finito sobre cualquier cuerpo; el nuevo caso que no se desprendía del trabajo de Hilbert es cuando la característica del campo divide el orden del grupo. El resultado de Noether fue extendido posteriormente por William Haboush a todos los grupos reductivos mediante su prueba de la conjetura de Mumford . [198] En este artículo, Noether también introdujo el lema de normalización de Noether , mostrando que un dominio finitamente generado A sobre un cuerpo k tiene un conjunto { x 1 , ..., x n } de elementos algebraicamente independientes tales que A es integral sobre k [ x 1 , ..., x n ] .
Como señaló Hermann Weyl en su obituario, las contribuciones de Noether a la topología ilustran su generosidad con las ideas y cómo sus percepciones podrían transformar campos enteros de las matemáticas. [36] En topología, los matemáticos estudian las propiedades de los objetos que permanecen invariables incluso bajo deformación, propiedades como su conectividad . Un viejo chiste es que " un topólogo no puede distinguir una dona de una taza de café ", ya que pueden deformarse continuamente entre sí. [199]
A Noether se le atribuyen ideas fundamentales que llevaron al desarrollo de la topología algebraica a partir de la topología combinatoria anterior , específicamente, la idea de los grupos de homología . [200] Según Alexandrov, Noether asistió a conferencias dictadas por él y Heinz Hopf en los veranos de 1926 y 1927, donde "continuamente hizo observaciones que a menudo eran profundas y sutiles" [201] y continúa diciendo que,
Cuando ... se familiarizó por primera vez con una construcción sistemática de la topología combinatoria, observó inmediatamente que valdría la pena estudiar directamente los grupos de complejos algebraicos y ciclos de un poliedro dado y el subgrupo del grupo de ciclos que consiste en ciclos homólogos a cero; en lugar de la definición habitual de números de Betti , sugirió definir inmediatamente el grupo de Betti como el grupo complementario (cociente) del grupo de todos los ciclos por el subgrupo de ciclos homólogos a cero. Esta observación ahora parece evidente. Pero en aquellos años (1925-1928) este era un punto de vista completamente nuevo. [202]
La sugerencia de Noether de que la topología se estudiara algebraicamente fue adoptada inmediatamente por Hopf, Alexandrov y otros, [202] y se convirtió en un tema frecuente de discusión entre los matemáticos de Göttingen. [203] Noether observó que su idea de un grupo de Betti hace que la fórmula de Euler-Poincaré sea más sencilla de entender, y el propio trabajo de Hopf sobre este tema [204] "lleva la impronta de estas observaciones de Emmy Noether". [205] Noether menciona sus propias ideas de topología solo como un aparte en una publicación de 1926, [206] donde las cita como una aplicación de la teoría de grupos . [207]
Este enfoque algebraico de la topología también se desarrolló de forma independiente en Austria . En un curso impartido en Viena entre 1926 y 1927 , Leopold Vietoris definió un grupo de homología , que fue desarrollado por Walther Mayer en una definición axiomática en 1928. [208]
Durante el siglo XIX y principios del XX se realizaron muchos trabajos sobre números hipercomplejos y representaciones de grupos , pero estos trabajos fueron dispares. Noether unió estos resultados anteriores y presentó la primera teoría de representación general de grupos y álgebras. [209] [210] Se dice que este trabajo único de Noether marcó el comienzo de un nuevo período en el álgebra moderna y fue de importancia fundamental para su desarrollo. [211]
En pocas palabras, Noether subsumió la teoría estructural de las álgebras asociativas y la teoría de la representación de grupos en una única teoría aritmética de módulos e ideales en anillos que satisfacen condiciones de cadena ascendente . [210]
Noether también fue responsable de una serie de otros avances en el campo del álgebra. Junto con Emil Artin , Richard Brauer y Helmut Hasse , fundó la teoría de las álgebras centrales simples . [212]
Un artículo de Noether, Helmut Hasse y Richard Brauer se refiere a las álgebras de división [213] , que son sistemas algebraicos en los que es posible la división. Demostraron dos teoremas importantes: un teorema local-global que establece que si un álgebra de división central de dimensión finita sobre un cuerpo numérico se divide localmente en todas partes, entonces se divide globalmente (por lo que es trivial), y a partir de esto, dedujeron su Hauptsatz ("teorema principal"):
Toda álgebra de división central de dimensión finita sobre un cuerpo de números algebraicos F se divide sobre una extensión ciclotómica cíclica .
Estos teoremas permiten clasificar todas las álgebras de división central de dimensión finita sobre un cuerpo numérico dado. Un artículo posterior de Noether mostró, como un caso especial de un teorema más general, que todos los subcuerpos maximales de un álgebra de división D son cuerpos de desdoblamiento . [214] Este artículo también contiene el teorema de Skolem-Noether , que establece que dos incrustaciones cualesquiera de una extensión de un cuerpo k en un álgebra simple central de dimensión finita sobre k son conjugadas. El teorema de Brauer-Noether [215] proporciona una caracterización de los cuerpos de desdoblamiento de un álgebra de división central sobre un cuerpo.
El trabajo de Noether sigue siendo relevante para el desarrollo de la física teórica y las matemáticas, y se la clasifica constantemente como una de las matemáticas más grandes del siglo XX. En su obituario, su colega algebrista BL van der Waerden dice que su originalidad matemática era "absolutamente incomparable", [216] y Hermann Weyl dijo que Noether "cambió la cara del álgebra [abstracta] con su trabajo". [11] El matemático e historiador Jeremy Gray escribió que cualquier libro de texto sobre álgebra abstracta lleva la evidencia de las contribuciones de Noether: "Los matemáticos simplemente hacen la teoría de anillos a su manera". [187] Durante su vida e incluso hasta hoy, Noether ha sido caracterizada como la matemática más grande en la historia registrada por matemáticos [6] [217] como Pavel Alexandrov , [218] Hermann Weyl , [219] y Jean Dieudonné . [220]
En una carta al New York Times , Albert Einstein escribió: [5]
Según los matemáticos vivos más competentes, Fräulein Noether fue la genio matemática creativa más importante que se haya producido desde que se inició la educación superior femenina. En el campo del álgebra, en el que se han dedicado los matemáticos más dotados durante siglos, descubrió métodos que han demostrado ser de enorme importancia para el desarrollo de la actual generación de matemáticos más jóvenes.
Pero creo que muy pocos no expertos habrán oído hablar de él o de su creadora, Emily Noether, una gran matemática alemana. ... Esto también requiere la intuición de Emily Noether, de que las cantidades conservadas tienen que ver con las simetrías de la ley natural.
一日 國立西康技藝專科學校教授曾烱之博士在西康衞生院病逝。 [1º: Dr. Chiungtze Tsen, profesor del Instituto Nacional de Tecnología de Xikang, murió a causa de una enfermedad en el Centro de Salud de Xikang.]
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