Segundo teorema de Noether

Teorema de física para simetrías de acción

En matemáticas y física teórica , el segundo teorema de Noether relaciona las simetrías de una función de acción con un sistema de ecuaciones diferenciales . ^[1] El teorema lleva el nombre de su descubridor, Emmy Noether .

La acción S de un sistema físico es una integral de una función llamada lagrangiana L , a partir de la cual se puede determinar el comportamiento del sistema mediante el principio de mínima acción . En concreto, el teorema dice que si la acción tiene un álgebra de Lie de dimensión infinita de simetrías infinitesimales parametrizadas linealmente por k funciones arbitrarias y sus derivadas hasta el orden m , entonces las derivadas funcionales de L satisfacen un sistema de k ecuaciones diferenciales.

El segundo teorema de Noether se utiliza a veces en la teoría de gauge . Las teorías de gauge son los elementos básicos de todas las teorías de campo modernas de la física, como el Modelo Estándar predominante .

Formulación matemática

Fórmula de primera variación

Supongamos que tenemos un sistema dinámico especificado en términos de variables independientes , variables dependientes y una función lagrangiana de algún orden finito . Aquí está la colección de todas las derivadas parciales de orden th de las variables dependientes. Como regla general, los índices latinos de la mitad del alfabeto toman los valores , los índices griegos toman los valores , y la convención de suma se aplica a ellos. La notación multiíndice para los índices latinos también se presenta de la siguiente manera. Un multiíndice de longitud es una lista ordenada de índices ordinarios. La longitud se denota como . La convención de suma no se aplica directamente a los multiíndices ya que la suma sobre longitudes debe mostrarse explícitamente, por ejemplo La variación del lagrangiano con respecto a una variación arbitraria de las variables dependientes es y aplicando la regla del producto inverso de la diferenciación obtenemos donde son las expresiones de Euler-Lagrange del lagrangiano, y los coeficientes (momentos lagrangianos) están dados por ${\textstyle m}$ ${\textstyle x=(x^{1},\dots ,x^{m})}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle u=(u^{1},\dots ,u^{n})}$ ${\textstyle L(x,u,u_{(1)}\dots ,u_{(r)})}$ ${\textstyle r}$ ${\textstyle u_{(k)}=(u_{i_{1}...i_{k}}^{\sigma })=(d_{i_{1}}\dots d_{i_{k}}u^{\sigma })}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle i,j,k,\dots }$ ${\textstyle 1,\dots ,m}$ ${\textstyle 1,\dots ,n}$ ${\textstyle I}$ ${\textstyle k}$ ${\displaystyle I=(i_{1},\dots ,i_{k})}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle \left|I\right|=k}$ $${\displaystyle \sum _{|I|=0}^{r}f_{I}g^{I}=fg+f_{i}g^{i}+f_{ij}g^{ij}+\dots +f_{i_{1}...i_{r}}g^{i_{1}...i_{r}}.}$$ ${\textstyle \delta u^{\sigma }}$ $${\displaystyle \delta L={\frac {\partial L}{\partial u^{\sigma }}}\delta u^{\sigma }+{\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\sigma }}}\delta u_{i}^{\sigma }+\dots +{\frac {\partial L}{\partial u_{i_{1}...i_{r}}^{\sigma }}}\delta u_{i_{1}...i_{r}}^{\sigma }=\sum _{|I|=0}^{r}{\frac {\partial L}{\partial u_{I}^{\sigma }}}\delta u_{I}^{\sigma },}$$ $${\displaystyle \delta L=E_{\sigma }\delta u^{\sigma }+d_{i}\left(\sum _{|I|=0}^{r-1}P_{\sigma }^{iI}\delta u_{I}^{\sigma }\right)}$$ $${\displaystyle E_{\sigma }={\frac {\partial L}{\partial u^{\sigma }}}-d_{i}{\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\sigma }}}+\dots +(-1)^{r}d_{i_{1}}\dots d_{i_{r}}{\frac {\partial L}{\partial u_{i_{1}...i_{r}}^{\sigma }}}=\sum _{|I|=0}^{r}(-1)^{|I|}d_{I}{\frac {\partial L}{\partial u_{I}^{\sigma }}}}$$ ${\textstyle P_{\sigma }^{I}}$ $${\displaystyle P_{\sigma }^{I}=\sum _{|J|=0}^{r-|I|}(-1)^{|J|}d_{J}{\frac {\partial L}{\partial u_{IJ}^{\sigma }}}}$$

Simetrías variacionales

Una variación es una simetría infinitesimal del lagrangiano si bajo esta variación. Es una cuasi-simetría infinitesimal si existe una corriente tal que . ${\textstyle \delta u^{\sigma }=X^{\sigma }(x,u,u_{(1)},\dots )}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle \delta L=0}$ ${\textstyle K^{i}=K^{i}(x,u,\dots )}$ ${\textstyle \delta L=d_{i}K^{i}}$

Cabe señalar que es posible extender las (cuasi)simetrías infinitesimales incluyendo variaciones con también, es decir, las variables independientes también varían. Sin embargo, dichas simetrías siempre se pueden reescribir de modo que actúen solo sobre las variables dependientes. Por lo tanto, en lo sucesivo nos limitamos a las denominadas variaciones verticales donde . ${\displaystyle \delta x^{i}\neq 0}$ ${\displaystyle \delta x^{i}=0}$

Para el segundo teorema de Noether, consideramos aquellas simetrías variacionales (llamadas simetrías de calibración ) que están parametrizadas linealmente por un conjunto de funciones arbitrarias y sus derivadas. Estas variaciones tienen la forma genérica donde los coeficientes pueden depender de las variables independientes y dependientes, así como de las derivadas de estas últimas hasta un cierto orden finito, son funciones arbitrariamente especificables de las variables independientes, y los índices latinos toman los valores , donde es un entero positivo. $${\displaystyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }=R_{a}^{\sigma }\lambda ^{a}+R_{a}^{\sigma ,i}\lambda _{i}^{a}+\dots +R_{a}^{\sigma ,i_{1}...i_{s}}\lambda _{i_{1}...i_{s}}^{a}=\sum _{|I|=0}^{s}R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a},}$$ ${\displaystyle R_{a}^{\sigma ,I}}$ ${\displaystyle \lambda ^{a}=\lambda ^{a}(x)}$ ${\displaystyle a,b,\dots }$ ${\displaystyle 1,\dots ,q}$ ${\displaystyle q}$

Para que estas variaciones sean simetrías de calibre (exactas, es decir, no cuasi) del lagrangiano, es necesario que para todas las posibles elecciones de las funciones . Si las variaciones son cuasi-simetrías, entonces es necesario que la corriente también dependa lineal y diferencialmente de las funciones arbitrarias, es decir, entonces , donde Para simplificar, supondremos que todas las simetrías de calibre son simetrías exactas, pero el caso general se maneja de manera similar. ${\displaystyle \delta _{\lambda }L=0}$ ${\displaystyle \lambda ^{a}(x)}$ ${\displaystyle \delta _{\lambda }L=d_{i}K_{\lambda }^{i}}$ $${\displaystyle K_{\lambda }^{i}=K_{a}^{i}\lambda ^{a}+K_{a}^{i,j}\lambda _{j}^{a}+K_{a}^{i,j_{1}j_{2}}\lambda _{j_{1}j_{2}}^{a}\dots }$$

Segundo teorema de Noether

El enunciado del segundo teorema de Noether es que siempre que se dé un lagrangiano como el anterior, que admite simetrías de calibre parametrizadas linealmente por funciones arbitrarias y sus derivadas, entonces existen relaciones diferenciales lineales entre las ecuaciones de Euler-Lagrange de . ${\textstyle L}$ ${\displaystyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\textstyle L}$

Combinando la primera fórmula de variación junto con el hecho de que las variaciones son simetrías, obtenemos donde en el primer término proporcional a las expresiones de Euler-Lagrange, se pueden realizar integraciones adicionales por partes como donde en particular para , Por lo tanto, tenemos una relación fuera de capa donde con . Esta relación es válida para cualquier elección de los parámetros de calibre . Eligiéndolos para que estén soportados de forma compacta e integrando la relación sobre la variedad de variables independientes, los términos de divergencia total integral se desvanecen debido al teorema de Stokes . Luego, del lema fundamental del cálculo de variaciones , obtenemos que de manera idéntica a las relaciones fuera de capa (de hecho, dado que son lineales en las expresiones de Euler-Lagrange, necesariamente se desvanecen en capa). Insertando esto de nuevo en la ecuación inicial, también obtenemos la ley de conservación fuera de capa . ${\textstyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }}$ $${\displaystyle 0=E_{\sigma }\delta _{\lambda }u^{\sigma }+d_{i}W_{\lambda }^{i},\quad W_{\lambda }^{i}=\sum _{|I|=0}^{r}P_{\sigma }^{iI}\delta _{\lambda }u^{\sigma },}$$ $${\displaystyle E_{\sigma }\delta _{\lambda }u^{\sigma }=\sum _{|I|=0}^{s}E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a}=Q_{a}\lambda ^{a}+d_{i}\left(\sum _{|I|=0}^{s-1}Q_{a}^{iI}\lambda _{I}^{a}\right),}$$ $${\displaystyle Q_{a}^{I}=\sum _{|J|=0}^{s-|I|}(-1)^{|J|}d_{J}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,IJ}\right),}$$ ${\textstyle |I|=0}$ $${\displaystyle Q_{a}=E_{\sigma }R_{a}^{\sigma }-d_{i}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,i}\right)+\dots +(-1)^{s}d_{i_{1}}\dots d_{i_{s}}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,i_{1}...i_{s}}\right)=\sum _{|I|=0}^{s}(-1)^{|I|}d_{I}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,I}\right).}$$ $${\displaystyle 0=Q_{a}\lambda ^{a}+d_{i}S_{\lambda }^{i},}$$ ${\textstyle S_{\lambda }^{i}=H_{\lambda }^{i}+W_{\lambda }^{i},}$ ${\textstyle H_{\lambda }^{i}=\sum _{|I|=0}^{s-1}Q_{a}^{iI}\lambda _{I}^{a}}$ ${\textstyle \lambda ^{a}(x)}$ ${\displaystyle Q_{a}\equiv 0}$ ${\displaystyle Q_{a}}$ ${\displaystyle d_{i}S_{\lambda }^{i}=0}$

Las expresiones son diferenciales en las expresiones de Euler-Lagrange, específicamente tenemos donde Por lo tanto, las ecuaciones son relaciones diferenciales a las que están sujetas las expresiones de Euler-Lagrange, y por lo tanto las ecuaciones de Euler-Lagrange del sistema no son independientes. ${\displaystyle Q_{a}}$ $${\displaystyle Q_{a}={\mathcal {D}}_{a}[E]=\sum _{|I|=0}^{s}(-1)^{|I|}d_{I}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,I}\right)=\sum _{|I|=0}^{s}F_{a}^{\sigma ,I}d_{I}E_{\sigma },}$$ $${\displaystyle F_{a}^{\sigma ,I}=\sum _{|J|=0}^{s-|I|}{\binom {|I|+|J|}{|I|}}(-1)^{|I|+|J|}d_{J}R_{a}^{\sigma ,IJ}.}$$ $${\displaystyle 0={\mathcal {D}}_{a}[E]}$$ ${\textstyle q}$

Resultado inverso

También se puede establecer una inversa del segundo Noether. Específicamente, supongamos que las expresiones de Euler-Lagrange del sistema están sujetas a relaciones diferenciales Dejando que sea una -tupla arbitraria de funciones, el adjunto formal del operador actúa sobre estas funciones a través de la fórmula que define al operador adjunto de manera única. Los coeficientes del operador adjunto se obtienen a través de la integración por partes como antes, específicamente donde Entonces la definición del operador adjunto junto con las relaciones establecen que para cada -tupla de funciones , el valor del adjunto en las funciones cuando se contrae con las expresiones de Euler-Lagrange es una divergencia total, es decir, por lo tanto, si definimos las variaciones, la variación del lagrangiano es una divergencia total, por lo tanto, las variaciones son cuasi-simetrías para cada valor de las funciones . ${\displaystyle E_{\sigma }}$ ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle 0={\mathcal {D}}_{a}[E]=\sum _{|I|=0}^{s}F_{a}^{\sigma ,I}d_{I}E_{\sigma }.}$$ ${\textstyle \lambda =(\lambda ^{1},\dots ,\lambda ^{q})}$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle {\mathcal {D}}_{a}}$ $${\displaystyle E_{\sigma }({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]-\lambda ^{a}{\mathcal {D}}_{a}[E]=d_{i}B_{\lambda }^{i},}$$ ${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }}$ $${\displaystyle ({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]=\sum _{|I|=0}^{s}R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a},}$$ $${\displaystyle R_{a}^{\sigma ,I}=\sum _{|J|=0}^{s-|I|}(-1)^{|I|+|J|}{\binom {|I|+|J|}{|I|}}d_{J}F_{a}^{\sigma ,IJ}.}$$ ${\displaystyle 0={\mathcal {D}}_{a}[E]}$ ${\textstyle q}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle E_{\sigma }({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]=d_{i}B_{\lambda }^{i},}$ $${\displaystyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }:=({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]=\sum _{|I|=0}^{s}R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a},}$$ $${\displaystyle \delta _{\lambda }L=E_{\sigma }\delta _{\lambda }u^{\sigma }+d_{i}W_{\lambda }^{i}=d_{i}\left(B_{\lambda }^{i}+W_{\lambda }^{i}\right)}$$ ${\textstyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }}$ ${\displaystyle \lambda ^{a}}$

Véase también

• Primer teorema de Noether
• Identidades de Noether
• Simetría de calibre (matemáticas)

Notas

1. Noether, Emmy (1918), "Problema de variaciones invariantes", Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Clase , 1918 : 235–257

   Traducido en Noether, Emmy (1971). "Problemas de variación invariante". Teoría del transporte y física estadística . 1 (3): 186–207. arXiv : physics/0503066 . Código Bibliográfico :1971TTSP....1..186N. doi :10.1080/00411457108231446. S2CID  119019843.

Referencias

• Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2010). Los teoremas de Noether: leyes de invariancia y conservación en el siglo XX . Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-87867-6.
• Olver, Peter (1993). Aplicaciones de los grupos de Lie a ecuaciones diferenciales . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 107 (2.ª ed.). Springer-Verlag . ISBN. 0-387-95000-1.
• Sardanashvily, G. (2016). Teoremas de Noether. Aplicaciones en mecánica y teoría de campos . Springer-Verlag . ISBN 978-94-6239-171-0.

Lectura adicional

• Noether, Emmy (1971). "Problemas de variación invariante". Teoría del transporte y física estadística . 1 (3): 186–207. arXiv : physics/0503066 . Código Bibliográfico :1971TTSP....1..186N. doi :10.1080/00411457108231446. S2CID  119019843.
• Fulp, Ron; Lada, Tom; Stasheff, Jim (2002). "Teorema variacional de Noether II y el formalismo BV". arXiv : math/0204079 .
• Bashkirov, D.; Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G (2008). "El complejo KT-BRST de un sistema lagrangiano degenerado". Cartas en física matemática . 83 (3): 237–252. arXiv : math-ph/0702097 . Código Bibliográfico :2008LMaPh..83..237B. doi :10.1007/s11005-008-0226-y. S2CID  119716996.
• Montesinos, Merced; Gonzalez, Diego; Celada, Mariano; Diaz, Bogar (2017). "Reformulación de las simetrías de la relatividad general de primer orden". Gravedad clásica y cuántica . 34 (20): 205002. arXiv : 1704.04248 . Bibcode :2017CQGra..34t5002M. doi :10.1088/1361-6382/aa89f3. S2CID  119268222.
• Montesinos, Merced; Gonzalez, Diego; Celada, Mariano (2018). "Las simetrías de calibración de la relatividad general de primer orden con campos de materia". Gravedad clásica y cuántica . 35 (20): 205005. arXiv : 1809.10729 . Bibcode :2018CQGra..35t5005M. doi :10.1088/1361-6382/aae10d. S2CID  53531742.