Aleksándrov estudió en la Universidad Estatal de Moscú, donde tuvo como profesores a Dmitri Yegórov (o Egórov) y Nikolái Luzin.
Junto con Pável Urysón, visitó la Universidad de Göttingen en 1923 y 1924.
Tras obtener su doctorado en 1927, siguió trabajando en la Universidad Estatal de Moscú y también se involucró en el Instituto Matemático Steklov.
Aleksándrov tuvo numerosos estudiantes, entre los cuales se encuentran Aleksandr Kúrosh, Lev Pontryaguin y Andréi Tíjonov.
En 1929, conoció al también matemático Andréi Kolmogórov con el que mantuvo una estrecha amistad hasta su muerte.