En matemáticas , la teoría de campos de clases ( CFT ) es la rama fundamental de la teoría algebraica de números cuyo objetivo es describir todas las extensiones abelianas de Galois de campos locales y globales utilizando objetos asociados al campo base. [1]
A Hilbert se le atribuye el mérito de ser uno de los pioneros de la noción de un cuerpo de clases. Sin embargo, esta noción ya era familiar para Kronecker y fue en realidad Weber quien acuñó el término antes de que salieran a la luz los artículos fundamentales de Hilbert. [2] Las ideas relevantes se desarrollaron en el período de varias décadas, dando lugar a un conjunto de conjeturas de Hilbert que posteriormente fueron demostradas por Takagi y Artin (con la ayuda del teorema de Chebotarev ).
Uno de los resultados principales es: dado un cuerpo de números F , y escribiendo K para la extensión abeliana no ramificada máxima de F , el grupo de Galois de K sobre F es canónicamente isomorfo al grupo de clases ideal de F . Esta afirmación se generalizó a la llamada ley de reciprocidad de Artin ; en el lenguaje idélico, escribiendo C F para el grupo de clases ideal de F , y tomando L como cualquier extensión abeliana finita de F , esta ley da un isomorfismo canónico
donde denota el mapa de normas idélicas de L a F. Este isomorfismo se denomina mapa de reciprocidad .
El teorema de existencia establece que el mapa de reciprocidad se puede utilizar para dar una biyección entre el conjunto de extensiones abelianas de F y el conjunto de subgrupos cerrados de índice finito de
Un método estándar para desarrollar la teoría de campos de clases globales desde la década de 1930 fue construir la teoría de campos de clases locales , que describe extensiones abelianas de campos locales, y luego usarla para construir la teoría de campos de clases globales. Esto fue realizado por primera vez por Emil Artin y Tate utilizando la teoría de cohomología de grupos , y en particular desarrollando la noción de formaciones de clases. Más tarde, Neukirch encontró una prueba de los principales enunciados de la teoría de campos de clases globales sin utilizar ideas cohomológicas. Su método era explícito y algorítmico.
Dentro de la teoría de campos de clases se puede distinguir [3] la teoría de campos de clases especiales y la teoría de campos de clases generales.
La teoría explícita de campos de clases proporciona una construcción explícita de extensiones abelianas máximas de un campo de números en diversas situaciones. Esta parte de la teoría consta del teorema de Kronecker-Weber , que se puede utilizar para construir las extensiones abelianas de , y la teoría de la multiplicación compleja para construir extensiones abelianas de campos CM .
Hay tres generalizaciones principales de la teoría de campos de clases: la teoría de campos de clases superiores, el programa Langlands (o "correspondencias de Langlands") y la geometría anabeliana .
En el lenguaje matemático moderno, la teoría de campos de clases (CFT) se puede formular de la siguiente manera. Considérese la extensión abeliana máxima A de un cuerpo local o global K . Es de grado infinito sobre K ; el grupo de Galois G de A sobre K es un grupo profinito infinito , por lo que es un grupo topológico compacto , y es abeliano. Los objetivos centrales de la teoría de campos de clases son: describir G en términos de ciertos objetos topológicos apropiados asociados a K , describir extensiones abelianas finitas de K en términos de subgrupos abiertos de índice finito en el objeto topológico asociado a K . En particular, se desea establecer una correspondencia biunívoca entre extensiones abelianas finitas de K y sus grupos normativos en este objeto topológico para K . Este objeto topológico es el grupo multiplicativo en el caso de cuerpos locales con cuerpo de residuos finitos y el grupo de clases ideal en el caso de cuerpos globales. La extensión abeliana finita correspondiente a un subgrupo abierto de índice finito se denomina cuerpo de clases para ese subgrupo, lo que dio el nombre a la teoría.
El resultado fundamental de la teoría general de campos de clases establece que el grupo G es naturalmente isomorfo a la completitud profinita de C K , el grupo multiplicativo de un campo local o el grupo de clases ideal del campo global, con respecto a la topología natural en C K relacionada con la estructura específica del campo K . De manera equivalente, para cualquier extensión finita de Galois L de K , existe un isomorfismo (la función de reciprocidad de Artin )
de la abelianización del grupo de Galois de la extensión con el cociente del grupo de clases ideal de K por la imagen de la norma del grupo de clases ideal de L.
Para algunos cuerpos pequeños, como el cuerpo de los números racionales o sus extensiones imaginarias cuadráticas, existe una teoría más detallada , muy explícita pero demasiado específica, que proporciona más información. Por ejemplo, el grupo de Galois absoluto abelianizado G de es (naturalmente isomorfo a) un producto infinito del grupo de unidades de los enteros p-ádicos tomados sobre todos los números primos p , y la extensión abeliana máxima correspondiente de los racionales es el cuerpo generado por todas las raíces de la unidad. Esto se conoce como el teorema de Kronecker-Weber , originalmente conjeturado por Leopold Kronecker . En este caso, el isomorfismo de reciprocidad de la teoría de cuerpos de clases (o mapa de reciprocidad de Artin) también admite una descripción explícita debido al teorema de Kronecker-Weber. Sin embargo, las construcciones principales de tales teorías más detalladas para cuerpos de números algebraicos pequeños no son extensibles al caso general de cuerpos de números algebraicos, y se utilizan principios conceptuales diferentes en la teoría general de cuerpos de clases.
El método estándar para construir el homomorfismo de reciprocidad es construir primero el isomorfismo de reciprocidad local desde el grupo multiplicativo de la completitud de un cuerpo global hasta el grupo de Galois de su extensión abeliana máxima (esto se hace dentro de la teoría de cuerpos de clases locales) y luego demostrar que el producto de todos esos mapas de reciprocidad local cuando se define en el grupo ideal del cuerpo global es trivial en la imagen del grupo multiplicativo del cuerpo global. La última propiedad se llama ley de reciprocidad global y es una generalización de largo alcance de la ley de reciprocidad cuadrática de Gauss .
Uno de los métodos para construir el homomorfismo de reciprocidad utiliza la formación de clases , que deriva la teoría de cuerpos de clases a partir de los axiomas de la teoría de cuerpos de clases. Esta derivación es puramente teórica de grupos topológicos, mientras que para establecer los axiomas hay que utilizar la estructura de anillo del cuerpo fundamental. [4]
Hay métodos que utilizan grupos de cohomología, en particular el grupo de Brauer, y hay métodos que no utilizan grupos de cohomología y son muy explícitos y fructíferos para las aplicaciones.
Los orígenes de la teoría de los cuerpos de clases se encuentran en la ley de reciprocidad cuadrática demostrada por Gauss. La generalización se llevó a cabo como un proyecto histórico a largo plazo, que involucraba formas cuadráticas y su " teoría de género ", el trabajo de Ernst Kummer y Leopold Kronecker/ Kurt Hensel sobre ideales y completitud, la teoría de extensiones ciclotómicas y de Kummer .
Las dos primeras teorías de campos de clases fueron teorías de campos de clases ciclotómicas y de multiplicación compleja muy explícitas. Usaron estructuras adicionales: en el caso del campo de números racionales usaron raíces de la unidad, en el caso de extensiones cuadráticas imaginarias del campo de números racionales usaron curvas elípticas con multiplicación compleja y sus puntos de orden finito. Mucho más tarde, la teoría de Shimura proporcionó otra teoría de campos de clases muy explícita para una clase de campos de números algebraicos. En la característica positiva , Kawada y Satake usaron la dualidad de Witt para obtener una descripción muy fácil de la parte - del homomorfismo de reciprocidad.
Sin embargo, estas teorías tan explícitas no se podían extender a cuerpos numéricos más generales. La teoría general de cuerpos de clases utilizaba conceptos y construcciones diferentes que funcionaban en todos los cuerpos globales.
Los famosos problemas de David Hilbert estimularon un mayor desarrollo, que condujo a las leyes de reciprocidad y las demostraciones de Teiji Takagi , Philipp Furtwängler , Emil Artin , Helmut Hasse y muchos otros. El crucial teorema de existencia de Takagi se conocía en 1920 y todos los resultados principales alrededor de 1930. Una de las últimas conjeturas clásicas en demostrarse fue la propiedad de principalización . Las primeras demostraciones de la teoría de campos de clases utilizaron métodos analíticos sustanciales. En la década de 1930 y posteriormente se vio el uso creciente de extensiones infinitas y la teoría de Wolfgang Krull de sus grupos de Galois. Esto se combinó con la dualidad de Pontryagin para dar una formulación más clara, aunque más abstracta, del resultado central, la ley de reciprocidad de Artin . Un paso importante fue la introducción de los idealistas por Claude Chevalley en la década de 1930 para reemplazar las clases ideales, esencialmente aclarando y simplificando la descripción de las extensiones abelianas de los campos globales. La mayoría de los resultados centrales fueron confirmados en 1940.
Más tarde, los resultados se reformularon en términos de cohomología de grupos , que se convirtió en una forma estándar de aprender la teoría de campos de clases para varias generaciones de teóricos de números. Un inconveniente del método cohomológico es su relativa falta de explicitud. Como resultado de las contribuciones locales de Bernard Dwork , John Tate , Michiel Hazewinkel y una reinterpretación local y global de Jürgen Neukirch y también en relación con el trabajo sobre fórmulas de reciprocidad explícitas de muchos matemáticos, en la década de 1990 se estableció una presentación muy explícita y libre de cohomología de la teoría de campos de clases. (Véase, por ejemplo, Class Field Theory de Neukirch).
La teoría de campos de clases se utiliza para demostrar la dualidad Artin-Verdier . [5] La teoría de campos de clases muy explícita se utiliza en muchas subáreas de la teoría de números algebraicos, como la teoría de Iwasawa y la teoría de módulos de Galois.
La mayoría de los principales avances en la correspondencia de Langlands para cuerpos numéricos, la conjetura BSD para cuerpos numéricos y la teoría de Iwasawa para cuerpos numéricos utilizan métodos de teoría de cuerpos de clases muy explícitos pero estrechos o sus generalizaciones. Por lo tanto, la cuestión abierta es utilizar generalizaciones de la teoría de cuerpos de clases general en estas tres direcciones.
Hay tres generalizaciones principales, cada una de ellas de gran interés: el programa Langlands , la geometría anabeliana y la teoría de campos de clase superior.
A menudo, la correspondencia de Langlands se considera una teoría de cuerpos de clases no abeliana. Si se establece plenamente, contendrá una cierta teoría de extensiones de Galois no abelianas de cuerpos globales. Sin embargo, la correspondencia de Langlands no incluye tanta información aritmética sobre extensiones de Galois finitas como la teoría de cuerpos de clases en el caso abeliano. Tampoco incluye un análogo del teorema de existencia en la teoría de cuerpos de clases: el concepto de cuerpos de clases está ausente en la correspondencia de Langlands. Hay varias otras teorías no abelianas, locales y globales, que ofrecen alternativas al punto de vista de la correspondencia de Langlands.
Otra generalización de la teoría de campos de clases es la geometría anabeliana , que estudia algoritmos para restaurar el objeto original (por ejemplo, un cuerpo numérico o una curva hiperbólica sobre él) a partir del conocimiento de su grupo de Galois absoluto completo o grupo fundamental algebraico . [6] [7]
Otra generalización natural es la teoría de campos de clase superior, dividida en teoría de campos de clase local superior y teoría de campos de clase global superior . Describe extensiones abelianas de campos locales superiores y campos globales superiores. Estos últimos vienen como campos de funciones de esquemas de tipo finito sobre números enteros y sus localizaciones y compleciones apropiadas. Utiliza la K-teoría algebraica y los K-grupos de Milnor apropiados generalizan lo utilizado en la teoría de campos de clase unidimensional.
