Teorema del ideal principal de Krull

Teorema en álgebra conmutativa

En álgebra conmutativa , el teorema del ideal principal de Krull , llamado así por Wolfgang Krull (1899-1971), proporciona un límite para la altura de un ideal principal en un anillo noetheriano conmutativo . El teorema a veces se conoce por su nombre en alemán, Krulls Hauptidealsatz (de Haupt- ("Principal") + ideal + Satz ("teorema")).

Precisamente, si R es un anillo noetheriano e I es un ideal principal propio de R , entonces cada ideal primo mínimo que contiene a I tiene altura como máximo uno.

Este teorema se puede generalizar a ideales que no son principales, y el resultado se suele llamar teorema de la altura de Krull . Este dice que si R es un anillo noetheriano e I es un ideal propio generado por n elementos de R , entonces cada primo minimal sobre I tiene una altura como máximo n . La inversa también es cierta: si un ideal primo tiene una altura n , entonces es un ideal primo minimal sobre un ideal generado por n elementos. ^[1]

El teorema del ideal principal y su generalización, el teorema de la altura, se derivan ambos del teorema fundamental de la teoría de la dimensión en el álgebra conmutativa (véase también más abajo las demostraciones directas). El Álgebra conmutativa de Bourbaki proporciona una demostración directa. Los Anillos conmutativos de Kaplansky incluyen una demostración debida a David Rees .

Pruebas

Demostración del teorema del ideal principal

Sea un anillo noetheriano, x un elemento del mismo y un primo minimal sobre x . Reemplazando A por la localización , podemos suponer que es local con el ideal maximal . Sea un ideal primo estrictamente menor y sea , que es un ideal primario llamado la n -ésima potencia simbólica de . Forma una cadena descendente de ideales . Por lo tanto, existe la cadena descendente de ideales en el anillo . Ahora, el radical es la intersección de todos los ideales primos minimales que contienen a ; está entre ellos. Pero es un ideal maximal único y por lo tanto . Dado que contiene alguna potencia de su radical, se deduce que es un anillo artiniano y por lo tanto la cadena se estabiliza y por lo tanto hay algún n tal que . Esto implica: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\subsetneq {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}={\mathfrak {q}}^{n}A_{\mathfrak {q}}\cap A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle A\supset {\mathfrak {q}}\supset {\mathfrak {q}}^{(2)}\supset {\mathfrak {q}}^{(3)}\supset \cdots }$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}+(x)/(x)}$ ${\displaystyle {\overline {A}}=A/(x)}$ ${\displaystyle {\sqrt {(x)}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {(x)}}={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle {\overline {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}+(x)/(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}+(x)={\mathfrak {q}}^{(n+1)}+(x)}$

${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}={\mathfrak {q}}^{(n+1)}+x\,{\mathfrak {q}}^{(n)}}$,

del hecho es -primario (si está en , entonces con y . Puesto que es mínimo sobre , y por lo tanto implica está en .) Ahora, cocienteando ambos lados por da . Entonces, por el lema de Nakayama (que dice que un módulo finitamente generado M es cero si para algún ideal I contenido en el radical), obtenemos ; es decir, y por lo tanto . Usando el lema de Nakayama nuevamente, y es un anillo artiniano; por lo tanto, la altura de es cero. ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}}$ ${\displaystyle y=z+ax}$ ${\displaystyle z\in {\mathfrak {q}}^{(n+1)}}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\not \in {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle ax\in {\mathfrak {q}}^{(n)}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n+1)}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}/{\mathfrak {q}}^{(n+1)}=(x){\mathfrak {q}}^{(n)}/{\mathfrak {q}}^{(n+1)}}$ ${\displaystyle M=IM}$ ${\displaystyle M={\mathfrak {q}}^{(n)}/{\mathfrak {q}}^{(n+1)}=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(n)}={\mathfrak {q}}^{(n+1)}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{n}A_{\mathfrak {q}}={\mathfrak {q}}^{n+1}A_{\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{n}A_{\mathfrak {q}}=0}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle \square }$

Prueba del teorema de la altura

El teorema de la altura de Krull se puede demostrar como una consecuencia del teorema del ideal principal por inducción sobre el número de elementos. Sean elementos en , un primo minimal sobre y un ideal primo tal que no hay ningún primo estrictamente entre ellos. Reemplazando por la localización podemos suponer que es un anillo local; observe que entonces tenemos . Por minimalidad de , se deduce que no puede contener todos los ; reetiquetando los subíndices, digamos, . Dado que todo ideal primo que contiene está entre y , y por lo tanto podemos escribir para cada , ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\subsetneq {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle (A,{\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\sqrt {(x_{1},\dots ,x_{n})}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{1}\not \in {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}+(x_{1})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {{\mathfrak {q}}+(x_{1})}}={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle i\geq 2}$

${\displaystyle x_{i}^{r_{i}}=y_{i}+a_{i}x_{1}}$

con y . Ahora consideremos el anillo y la cadena correspondiente en él. Si es un primo mínimo sobre , entonces contiene y por lo tanto ; es decir, es un primo mínimo sobre y por lo tanto, por el teorema del ideal principal de Krull, es un primo mínimo (sobre cero); es un primo mínimo sobre . Por hipótesis inductiva, y por lo tanto . ${\displaystyle y_{i}\in {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle a_{i}\in A}$ ${\displaystyle {\overline {A}}=A/(y_{2},\dots ,y_{n})}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {q}}}\subset {\overline {\mathfrak {p}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {r}}}}$ ${\displaystyle {\overline {x_{1}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}^{r_{2}},\dots ,x_{n}^{r_{n}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {r}}={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {p}}}}$ ${\displaystyle {\overline {x_{1}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {q}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle (y_{2},\dots ,y_{n})}$ ${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {q}})\leq n-1}$ ${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})\leq n}$ ${\displaystyle \square }$

Referencias

1. Eisenbud 1995, Corolario 10.5.

• Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 150. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN . 0-387-94268-8.
• Matsumura, Hideyuki (1970), Álgebra conmutativa , Nueva York: Benjamin, véase en particular el apartado (12.I), pág. 77
• http://www.math.lsa.umich.edu/~hochster/615W10/supDim.pdf