División de campo

Campo generado por todos los campos de ruptura de un polinomio sobre un campo

En álgebra abstracta , un campo de descomposición de un polinomio con coeficientes en un campo es la extensión de campo más pequeña de ese campo sobre el cual el polinomio se divide , es decir, se descompone en factores lineales .

Definición

Un campo de división de un polinomio p ( X ) sobre un campo K es una extensión de campo L de K sobre la cual p se factoriza en factores lineales

${\displaystyle p(X)=c\prod _{i=1}^{\deg p}(X-a_{i})}$

donde y para cada uno tenemos con a _i no necesariamente distinto y tal que las raíces a _i generan L sobre K . La extensión L es entonces una extensión de grado mínimo sobre K en la que p se desdobla. Se puede demostrar que tales cuerpos de desdoblamiento existen y son únicos hasta el isomorfismo . La cantidad de libertad en ese isomorfismo se conoce como el grupo de Galois de p (si asumimos que es separable ). ${\displaystyle c\in K}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X-a_{i}\in L[X]}$

Un campo de división de un conjunto de P polinomios es el campo más pequeño en el que se divide cada uno de los polinomios en P.

Propiedades

Una extensión L que es un campo de división para un conjunto de polinomios p ( X ) sobre K se llama extensión normal de K .

Dado un cuerpo algebraicamente cerrado A que contiene K , existe un único cuerpo de desdoblamiento L de p entre K y A , generado por las raíces de p . Si K es un subcuerpo de los números complejos , la existencia es inmediata. Por otra parte, la existencia de clausuras algebraicas en general se demuestra a menudo "pasando al límite" a partir del resultado del cuerpo de desdoblamiento, lo que requiere, por tanto, una prueba independiente para evitar el razonamiento circular .

Dada una extensión separable K ′ de K , una clausura de Galois L de K ′ es un tipo de cuerpo de desdoblamiento, y también una extensión de Galois de K que contiene a K ′ que es mínima, en un sentido obvio. Tal clausura de Galois debería contener un cuerpo de desdoblamiento para todos los polinomios p sobre K que sean polinomios mínimos sobre K de elementos de K ′.

Construcción de campos de división

Motivación

Encontrar raíces de polinomios ha sido un problema importante desde la época de los antiguos griegos. Sin embargo, algunos polinomios, como x ² + 1 sobre R , los números reales , no tienen raíces. Al construir el cuerpo de descomposición para un polinomio de este tipo, se pueden encontrar las raíces del polinomio en el nuevo cuerpo.

La construcción

Sea F un cuerpo y p ( X ) un polinomio en el anillo de polinomios F [ X ] de grado n . El proceso general para construir K , el cuerpo de desdoblamiento de p ( X ) sobre F , es construir una cadena de cuerpos tales que K _i sea una extensión de K _{i  −1} que contenga una nueva raíz de p ( X ). Como p ( X ) tiene como máximo n raíces, la construcción requerirá como máximo n extensiones. Los pasos para construir K _i se dan a continuación: ${\displaystyle F=K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{r-1}\subseteq K_{r}=K}$

• Factorizar p ( X ) sobre K _i en factores irreducibles . ${\displaystyle f_{1}(X)f_{2}(X)\cdots f_{k}(X)}$
• Elija cualquier factor irreducible no lineal f ( X ).
• Construya la extensión de campo K _{i  +1} de K _i como el anillo cociente K _{i  +1} = K _i [ X ] / ( f ( X )) donde ( f ( X )) denota el ideal en K _i [ X ] generado por f ( X ).
• Repita el proceso para K _{i  +1} hasta que p ( X ) se factorice completamente.

El factor irreducible f ( X ) utilizado en la construcción del cociente puede elegirse arbitrariamente. Aunque diferentes elecciones de factores pueden dar lugar a diferentes secuencias de subcampos, los campos de división resultantes serán isomorfos.

Puesto que f ( X ) es irreducible, ( f ( X )) es un ideal maximal de K _i [ X ] y K _i [ X ] / ( f ( X )) es, de hecho, un cuerpo, el cuerpo de residuos para ese ideal maximal. Además, si dejamos que sea la proyección natural del anillo sobre su cociente entonces ${\displaystyle \pi :K_{i}[X]\to K_{i}[X]/(f(X))}$

${\displaystyle f(\pi (X))=\pi (f(X))=f(X)\ {\bmod {\ }}f(X)=0}$

Entonces π ( X ) es una raíz de f ( X ) y de p ( X ).

El grado de una extensión simple es igual al grado del factor irreducible f ( X ). El grado de la extensión [ K  : F ] está dado por y es como máximo n !. ${\displaystyle [K_{i+1}:K_{i}]}$ ${\displaystyle [K_{r}:K_{r-1}]\cdots [K_{2}:K_{1}][K_{1}:F]}$

El campoKi [incógnita]/(F(incógnita))

Como se mencionó anteriormente, el anillo cociente K _{i  +1} = K _i [ X ]/( f ( X )) es un cuerpo cuando f ( X ) es irreducible. Sus elementos son de la forma

${\displaystyle c_{n-1}\alpha ^{n-1}+c_{n-2}\alpha ^{n-2}+\cdots +c_{1}\alpha +c_{0}}$

donde los c _j están en K _i y α = π ( X ). (Si se considera a K _{i  +1} como un espacio vectorial sobre K _i entonces las potencias α ^j para 0 ≤ j ≤ n −1 forman una base .)

Los elementos de K _{i  +1} pueden considerarse como polinomios en α de grado menor que n . La adición en K _{i  +1} se da por las reglas para la adición de polinomios, y la multiplicación se da por la multiplicación de polinomios módulo f ( X ). Es decir, para g ( α ) y h ( α ) en K _{i  +1} su producto es g ( α ) h ( α ) = r ( α ) donde r ( X ) es el resto de g ( X ) h ( X ) cuando se divide por f ( X ) en K _i [ X ].

El resto r ( X ) se puede calcular mediante división larga de polinomios ; sin embargo, también hay una regla de reducción sencilla que se puede utilizar para calcular r ( α ) = g ( α ) h ( α ) directamente. Primero, sea

${\displaystyle f(X)=X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{1}X+b_{0}.}$

El polinomio está sobre un cuerpo, por lo que se puede tomar f ( X ) como mónico sin pérdida de generalidad . Ahora α es una raíz de f ( X ), por lo que

${\displaystyle \alpha ^{n}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0}).}$

Si el producto g ( α ) h ( α ) tiene un término α ^m con m ≥ n se puede reducir de la siguiente manera:

${\displaystyle \alpha ^{n}\alpha ^{m-n}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0})\alpha ^{m-n}=-(b_{n-1}\alpha ^{m-1}+\cdots +b_{1}\alpha ^{m-n+1}+b_{0}\alpha ^{m-n})}$.

Como ejemplo de la regla de reducción, tomemos K _i = Q [ X ], el anillo de polinomios con coeficientes racionales , y tomemos f ( X ) = X ⁷ − 2. Sean y h ( α ) = α ³ +1 dos elementos de Q [ X ]/( X ⁷ − 2). La regla de reducción dada por f ( X ) es α ⁷ = 2, por lo que ${\displaystyle g(\alpha )=\alpha ^{5}+\alpha ^{2}}$

${\displaystyle g(\alpha )h(\alpha )=(\alpha ^{5}+\alpha ^{2})(\alpha ^{3}+1)=\alpha ^{8}+2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=(\alpha ^{7})\alpha +2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}+2\alpha .}$

Ejemplos

Los números complejos

Considérese el anillo polinomial R [ x ], y el polinomio irreducible x ² + 1. El anillo cociente R [ x ] / ( x ² + 1) está dado por la congruencia x ² ≡ −1. Como resultado, los elementos (o clases de equivalencia ) de R [ x ] / ( x ² + 1) son de la forma a + bx donde a y b pertenecen a R . Para ver esto, note que como x ² ≡ −1 se sigue que x ³ ≡ − x , x ⁴ ≡ 1 , x ⁵ ≡ x , etc.; y así, por ejemplo p + qx + rx ² + sx ³ ≡ p + qx + r (−1) + s (− x ) = ( p − r ) + ( q − s ) x .

Las operaciones de suma y multiplicación se dan utilizando en primer lugar la suma y multiplicación de polinomios ordinarios, pero luego reduciendo módulo x ² + 1 , es decir, utilizando el hecho de que x ² ≡ −1 , x ³ ≡ − x , x ⁴ ≡ 1 , x ⁵ ≡ x , etc. Así:

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}x)+(a_{2}+b_{2}x)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})x,}$

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}x)(a_{2}+b_{2}x)=a_{1}a_{2}+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x+(b_{1}b_{2})x^{2}\equiv (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x\,.}$

Si identificamos a + bx con ( a , b ) entonces vemos que la suma y la multiplicación están dadas por

${\displaystyle (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).}$

Afirmamos que, como cuerpo, el anillo cociente R [ x ] / ( x ² + 1) es isomorfo a los números complejos , C . Un número complejo general tiene la forma a + bi , donde a y b son números reales e i ² = −1. La suma y la multiplicación se dan por

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}i)+(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}i)\cdot (a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).}$

Si identificamos a + bi con ( a , b ) entonces vemos que la suma y la multiplicación están dadas por

${\displaystyle (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).}$

Los cálculos anteriores muestran que la adición y la multiplicación se comportan de la misma manera en R [ x ] / ( x ² + 1) y C . De hecho, vemos que la función entre R [ x ] / ( x ² + 1) y C dada por a + bx → a + bi es un homomorfismo con respecto a la adición y la multiplicación. También es obvio que la función a + bx → a + bi es tanto inyectiva como sobreyectiva ; lo que significa que a + bx → a + bi es un homomorfismo biyectivo , es decir, un isomorfismo . De ello se deduce que, como se afirma: R [ x ] / ( x ² + 1) ≅ C .

En 1847, Cauchy utilizó este enfoque para definir los números complejos. ^[1]

Ejemplo cúbico

Sea K el cuerpo de números racionales Q y p ( x ) = x ³ − 2 . Cada raíz de p es igual a ³ √ 2 por una raíz cúbica de la unidad . Por lo tanto, si denotamos las raíces cúbicas de la unidad por

${\displaystyle \omega _{1}=1,\,}$

${\displaystyle \omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,}$

${\displaystyle \omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.}$

cualquier campo que contenga dos raíces distintas de p contendrá el cociente entre dos raíces cúbicas distintas de la unidad. Tal cociente es una raíz cúbica primitiva de la unidad, o bien . De ello se deduce que un campo de descomposición L de p contendrá ω ₂ , así como la raíz cúbica real de 2; a la inversa , cualquier extensión de Q que contenga estos elementos contiene todas las raíces de p . Por lo tanto ${\displaystyle \omega _{2}}$ ${\displaystyle \omega _{3}=1/\omega _{2}}$

${\displaystyle L=\mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega _{2})=\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{2}}^{2}+d\omega _{2}+e{\sqrt[{3}]{2}}\omega _{2}+f{\sqrt[{3}]{2}}^{2}\omega _{2}\mid a,b,c,d,e,f\in \mathbf {Q} \}}$

Tenga en cuenta que al aplicar el proceso de construcción descrito en la sección anterior a este ejemplo, se comienza con y se construye el campo . Este campo no es el campo de división, sino que contiene una raíz (cualquiera). Sin embargo, el polinomio no es irreducible sobre y de hecho: ${\displaystyle K_{0}=\mathbf {Q} }$ ${\displaystyle K_{1}=\mathbf {Q} [X]/(X^{3}-2)}$ ${\displaystyle Y^{3}-2}$ ${\displaystyle K_{1}}$

${\displaystyle Y^{3}-2=(Y-X)(Y^{2}+XY+X^{2}).}$

Nótese que no es un indeterminado y, de hecho, es un elemento de . Ahora, continuando el proceso, obtenemos , que es, de hecho, el cuerpo de división y está abarcado por la base . Nótese que si comparamos esto con lo anterior, podemos identificar y . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{2}=K_{1}[Y]/(Y^{2}+XY+X^{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \{1,X,X^{2},Y,XY,X^{2}Y\}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X={\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle Y=\omega _{2}}$

Otros ejemplos

• El campo de división de x ^q − x sobre F _p es el único campo finito F _q para q = p ⁿ . ^[2] A veces este campo se denota por GF( q ).

• El campo de descomposición de x ² + 1 sobre F ₇ es F ₄₉ ; el polinomio no tiene raíces en F ₇ , es decir, −1 no es un cuadrado allí, porque 7 no es congruente con 1 módulo 4. ^[3]

• El campo de división de x ² − 1 sobre F ₇ es F ₇ ya que x ² − 1 = ( x + 1)( x − 1) ya se divide en factores lineales.

• Calculamos el campo de desdoblamiento de f ( x ) = x ³ + x + 1 sobre F ₂ . Es fácil verificar que f ( x ) no tiene raíces en F ₂ ; por lo tanto, f ( x ) es irreducible en F ₂ [ x ]. Pongamos r = x + ( f ( x )) en F ₂ [ x ]/( f ( x )) por lo que F ₂ ( r  ) es un campo y x ³ + x + 1 = ( x + r )( x ² + ax + b ) en F ₂ ( r  )[ x ]. Nótese que podemos escribir + por − ya que la característica es dos. Comparando coeficientes se muestra que a = r y b = 1 + r ² . Los elementos de F ₂ ( r  ) se pueden enumerar como c + dr + er ² , donde c , d , e están en F ₂ . Hay ocho elementos: 0, 1, r , 1 + r , r ² , 1 + r ² , r + r ² y 1 + r + r ² . Sustituyéndolos en x ² + rx + 1 + r ² llegamos a ( r ² ) ² + r ( r ² ) + 1 + r ² = r ⁴ + r ³ + 1 + r ² = 0, por lo tanto x ³ + x + 1 = ( x + r )( x + r ² )( x + ( r + r ²)) para r en F ₂ [ x ]/( f ( x )); E = F ₂ ( r  ) es un campo de división de x ³ + x + 1 sobre F ₂ .

Notas

1. Cauchy, Augustin-Louis (1847), "Mémoire sur la théorie des équivalences algébriques, substituée à la théorie des imaginaires", Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences (en francés), 24 : 1120-1130
2. Serre, Jean-Pierre . Un curso de aritmética .
3. En lugar de aplicar esta caracterización de los módulos primos impares para los cuales −1 es un cuadrado, uno podría simplemente verificar que el conjunto de cuadrados en F ₇ es el conjunto de clases de 0, 1, 4 y 2, que no incluye la clase de −1 ≡ 6.

Referencias

• Dummit, David S., y Foote, Richard M. (1999). Álgebra abstracta (2.ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1 . 
• "Campo de división de un polinomio", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "División de campo". MathWorld .