Fractal

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o aparentemente irregular, se repite a diferentes escalas.A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:[2]​ Las copias son similares al todo: misma forma pero diferente tamaño.Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras[3]​ o los copos de nieve son fractales naturales.Posteriormente aparecieron ejemplos con propiedades similares pero una definición más geométrica.En 1915, Waclaw Sierpinski construyó su triángulo y, un año después, su alfombra.Pocos matemáticos vieron la necesidad de estudiar estos objetos en sí mismos.Al aplicar sucesivas veces una función polinómica es muy posible que el resultado tienda aque no escapan al infinito mediante esta operación se le denomina conjunto de Julia relleno, y a su frontera, simplemente conjunto de Julia.Suele usarse un color especial, a menudo el negro, para representar los puntos que no han escapado tras un número grande y prefijado de iteraciones.Este conjunto M representa un mapa en que cada pixel, correspondiente a un valor del parámetroIterando funciones de forma alternativa se generan los fractales oscilantes.Todos los puntos del plano complejo C=(Cx,iCy) son iterados por adición a la función correspondiente.La divergencia a infinito es coloreada mediante un patrón cromático desde el negro al azul.Todos los puntos del plano complejo Z=(x,iy) son iterados en la función correspondiente.A todas las iteraciones se le añade una constante arbitraria (Cx,iCy) de tal modo que la elección de la constante "semilla" determina de forma unívoca la forma y el color del fractal, una vez ha sido definido el patrón cromático.En los ejemplos mostrados a continuación se ha elegido una constante tal que solo produce divergencia, y se ha coloreado con el algoritmo de la velocidad de escape.Ejemplos de fractales del tipo Julia Z = Zm + CSegún B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.De modo general, podríamos preguntarnos cómo densamente un conjunto ocupa el espacio métrico que lo contiene.Intentos parciales de dar una definición fueron realizados por: Puede definirse en términos del mínimo númeroes la siguiente: Esto permite distinguir en algunos casos entre conjuntos con la misma dimensión fractal.Cuando no hay solapamiento entre las imágenes de cada función, se demuestra quey que ambas pueden calcularse como solución de la ecuación:Pero el enfoque anterior plantea problemas con muchas imágenes reales: no esperamos, por ejemplo, que la imagen de un gato presente pequeños gatitos distorsionados sobre sí mismo.Para solventarlo, en 1989 Arnaud Jacquin creó el esquema de sistemas de funciones iteradas particionadas: en él se subdivide la imagen mediante una partición y para cada región resultante se busca otra región similar a la primera bajo las transformaciones apropiadas.Lamentablemente aún se tarda mucho en encontrar las transformaciones que definen la imagen.Algunas obras clásicas de Beethoven, Bach y Mozart son ejemplos representativos según reveló un estudio.[cita requerida][25]​ El método que siguieron estos compositores, ya sea de manera intencionada o no, para integrar fractales y matemáticas era mediante una analogía entre una dimensión fractal y el número y la disposición de las diferentes notas de una obra o pieza.Por otra parte, las litografías del artista neerlandés Maurits Cornelis Escher (1898-1972) desarrollaron con frecuencia estructuras matemáticas complejas y avanzadas.Con programas informáticos como Apophysis, Sterling o Ultra Fractal se pueden generar imágenes con técnicas diversas; cambiando parámetros, geometría de triángulos o con transformaciones aleatorias.