Teoría de la percolación
¿Podrá el líquido pasar de un agujero a otro y llegar al fondo?
Esta pregunta física es modelada matemáticamente como una red tridimensional de n × n × n vértices, generalmente llamados "sitios", en los que los lados o "enlaces" entre cada dos elementos vecinos pueden estar abiertos (permitiendo el paso del líquido) con probabilidad p, o cerrados con probabilidad 1 – p, y se supone que son independientes.
En un modelo matemático ligeramente diferente para obtener un gráfico aleatorio, un sitio está "ocupado" con probabilidad p o "vacío" (en cuyo caso se eliminan sus bordes) con probabilidad 1 – p; el problema correspondiente se llama filtración del sitio.
La pregunta es la misma: para una p dada, ¿cuál es la probabilidad de que exista un camino entre la parte superior y la inferior?
Como es bastante típico, en realidad es más fácil examinar redes infinitas que solo las grandes.
Por ejemplo: El principio de universalidad establece que el valor numérico de pc está determinado por la estructura local del gráfico, mientras que el comportamiento cerca del umbral crítico, pc, se caracteriza por un exponente crítico universal.
Sin embargo, recientemente se ha realizado la percolación en un retículo estocástico plano ponderado y se encontró que aunque su dimensión coincide con la dimensión del espacio donde está incrustado, su clase de universalidad es diferente a la de todos los retículos planos conocidos.
Por tanto, la fase subcrítica puede describirse como islas abiertas finitas en un océano cerrado infinito.
Cuando p > 1/2 ocurre todo lo contrario, con islas cerradas finitas en un océano abierto infinito.
[14] La percolación tiene una singularidad en el punto crítico p = pc y muchas propiedades se comportan como una ley de potencia con
[15] En 11 o más dimensiones, estos hechos se prueban en gran medida utilizando una técnica conocida como expansión de encaje.
[16] En dos dimensiones, el primer hecho ("sin percolación en la fase crítica") se prueba para muchas retículas, utilizando la dualidad.
Esta conjetura fue probada por Smirnov (2001)[17] en el caso especial de percolación del sitio en una red triangular.
[36] Buldyrev y sus colaboradores[37] desarrollaron un marco para estudiar la percolación en redes multicapa con dependencia de enlaces entre las capas.
Se han encontrado nuevos fenómenos físicos, incluidas transiciones abruptas y fallos en cascada.
[42][43] En artículos recientes, la teoría de la percolación se ha aplicado para estudiar el tráfico en una ciudad.
