Conejo de Douady
Se denomina conejo de Douady[1] a un tipo particular de fractales que son conjuntos de Julia llenos, asociados con un parámetro cercano a los valores del periodo central 3 de brotes de un conjunto de Mandelbrot generado por una función cuadrática compleja.
El conejo de Douady recibe su nombre del matemático francés Adrien Douady.
[2] El conejo gordo o conejo regordete tiene c en la raíz del 1/3-limbo del conjunto de Mandelbrot.
Posee un punto fijo parabólico con 3 pétalos.
[3] Hay dos formas comunes de la función cuadrática compleja
La primera, también llamada complejo logístico, se escribe como donde
La segunda forma común es Aquí
están relacionadas por la ecuación y los parámetros
están relacionados por las ecuaciones Debe tenerse en cuenta que
), se denomina "plano resultante", ya que
envía este plano sobre sí mismo.
), se denominará "plano de control".
El conjunto de Julia lleno consta de todos los puntos en el plano resultante cuyas imágenes permanecen delimitadas bajo aplicaciones de
La Figura 1 muestra el conjunto de Mandelbrot cuando
son afines entre sí (una transformación lineal más una traslación), los conjuntos de Julia llenos presentan formas muy parecidas en los planos
El conejo de Douady se describe más fácilmente en términos del conjunto de Mandelbrot como se muestra en la Figura 1 (arriba).
En esta figura, el conjunto de Mandelbrot, al menos cuando se ve desde la distancia, aparece como dos discos unidad con brotes y espalda con espalda.
tiene tres puntos fijos de atracción.
Por ejemplo, la Figura 3 muestra el conejo de Douady en el plano
(también llamados puntos fijos de período tres) tienen las ubicaciones Los puntos rojo, verde y amarillo se encuentran en las cuencas
Los puntos blancos se encuentran en la cuenca
sobre estos puntos fijos está dada por las relaciones Correspondiendo a estas relaciones están los resultados Nótese la maravillosa estructura fractal en los límites de la cuenca.
Como segundo ejemplo, la Figura 4 muestra un conejo de Douady cuando
, un punto en el brote de las once en el disco izquierdo (como se señaló anteriormente,
El conejo ahora se dispone más simétricamente en la página.
Los tres puntos fijos del período se encuentran en Los puntos fijos repelentes de
Los tres lóbulos principales de la izquierda, que contienen el período, tres puntos fijos
, y sus recíprocos de la derecha se encuentran en el punto
Se puede demostrar que el efecto de
en puntos cercanos al origen consiste en una rotación en sentido antihorario sobre el origen de
