La Teoría del Caos surgió cuando Edward Lorenz dio a conocer en 1963 un modelo climático que, por su comportamiento, atrajo la atención de muchos físicos, aunque se basaba en trabajos anteriores, como los de Julia, Poincaré o Lyapunov.

Junto a la mecánica cuántica y a la teoría de la relatividad, se considera la tercera gran teoría del siglo XX.

La Teoría del Caos ha tenido gran relevancia en muchos campos científicos actuales como la medicina, la biología, la ingeniería, la economía y otras.

Dentro de la Ingeniería la teoría del Caos se entiende como una herramienta de análisis, que ha permitido afrontar problemas que hasta hace poco era imposible abordar como, por ejemplo, responder a las siguientes cuestiones: En la Teoría del Caos un sistema dinámico puede referirse a la bolsa de valores para un economista o al corazón humano para un médico, y algunos científicos consideran la teoría fractal como una herramienta necesaria para estudiar sistemas dinámicos como los mencionados anteriormente u otros que suceden en la naturaleza.

El atractor es uno de los conceptos fundamentales del Caos, que se utiliza para representar la evolución en un sistema dinámico.

Este tipo de representación ya había sido usado por Henri Poincaré.

Hausdorff planteó la idea de que los objetos tuviesen más de dos dimensiones pero menos que tres, lo cual dio origen al término "dimensión fractal".

A partir de ese momento se intentó demostrar que dichos objetos puedan darse en la realidad.

Otra definición de fractal es la que da Benoît Mandelbrot, quien considera fractal a aquellos objetos con tamaño y orientación variables y que en cada instante tienen un aspecto similar al anterior.

La dimensión fractal se puede calcular de diferentes formas.

Estos objetos se pueden representar mediante gráficos, en los cuales es posible medir su dimensión fractal.

Un objeto fractal debería tener al menos una de las siguientes características: Los fractales son figuras geométricas que no se pueden definir a través de la geometría clásica.

Por tanto, se puede decir que los fractales son autorecurrentes.

Si se toma como ejemplo el copo de nieve de Koch, es posible afirmar que su dimensión no es exacta y que, por tanto, no se puede usar la geometría euclidiana para calcularla.

En la sección anterior, hemos concluido como que la dimensión fractal es la que no se puede calcular a partir de la geometría de Euclides.

A continuación se explicará cómo podemos cuantificar el espacio definido por un fractal, para demostrar así que no se trata únicamente de un modelo teórico.

Como A es un conjunto compacto, esta cubierta tiene una subcubierta finita M’, y cerrando las esferas obtendríamos una cubierta de esferas cerradas M’.

Estas reglas básicas son ir dividiendo la línea en tres partes iguales y una vez hecho esto se quita la parte central de la misma, Estas reglas se deberían aplicar en un número infinito de iteraciones.

A partir de la siguiente fórmula se deduce la dimensión para este fractal.

Para la mayoría de científicos actuales el fractal más conocido y más importante es este y para todos ellos se trata sin duda del objeto con mayor complejidad.

Resulta asombroso observar su complejidad infinita, que es en cierta forma indescriptible.

Los precedentes del conjunto de mandelbrot son las investigaciones realizadas durante la I Guerra Mundial por Pierre Fatou y Gaston Julia, como resultado de estas investigaciones se obtuvo el Conjunto de Julia.

Edward Lorenz por el año 1963 investigaba el hecho de que fuese imposible predecir los fenómenos meteorológicos a largo plazo.

Este modelo se basaba inicialmente en la convección de fluidos y la no linealidad.

Los puntos serían los conjuntos de condiciones iniciales, y las trayectorias la diferente evolución del sistema dependiendo del punto de partida.

Este efecto se suele explicitar con la siguiente frase: “Si hoy, una mariposa agita sus alas en Pekín, puede cambiar el tiempo de Nueva York el mes que viene”.

Los fractales se aplican actualmente por ejemplo como compresores de imágenes digitales.

También se utilizan en el cine para crear efectos especiales, ya que a partir de los fractales se pueden crear fácilmente fondos y paisajes de todo tipo.

Por ejemplo, utilizando un determinado programa informático se puede crear, partiendo de un esquema, un complejo árbol.

La biología se ha visto muy influenciada por la revolución de los fractales, ya que en el cuerpo humano se pueden encontrar muchos ejemplos de sistemas fractales, como la red vascular o la red neuronal.