Se relaciona con la autocorrelación de las series temporales, y la velocidad a la que estas disminuyen a medida que aumenta el desfase entre pares de valores.
El uso de la notación estándar H para el coeficiente también se refiere a su nombre.
En geometría fractal, el exponente de Hurst generalizado desginado también como H o Hq en honor a Harold Edwin Hurst y Ludwig Otto Hölder (1859–1937) por Benoît Mandelbrot (1924–2010).
[5] Un valor H en el rango 0.5–1 indica una serie temporal con autocorrelación positiva a largo plazo, lo que significa que un valor alto en la serie probablemente será seguido por otro valor alto y que los valores en el futuro también tenderán a ser altos.
Un valor en el rango 0 – 0.5 indica una serie temporal con conmutación a largo plazo entre valores altos y bajos en pares adyacentes, lo que significa que un solo valor alto probablemente será seguido por un valor bajo y que el valor después de eso tenderá a ser alto, con esta tendencia a cambiar entre valores altos y bajos que durarán mucho tiempo en el futuro.
Un valor de H=0.5 puede indicar una serie completamente no correlacionada, pero de hecho, es el valor aplicable a series para las que las autocorrelaciones en pequeños retrasos pueden ser positivas o negativas pero donde los valores absolutos de las autocorrelaciones decaen exponencialmente rápidamente a cero.
donde: Para series temporales autosimilares, H está directamente relacionado con dimensión fractal, D, donde 1 < D < 2, tal que D = 2 - H. Los valores del exponente de Hurst varían entre 0 y 1, con valores más altos que indican una tendencia más suave, menos volatilidad y menos rugosidad[8] Para series temporales más generales o procesos multidimensionales, el exponente de Hurst y la dimensión fractal se puede elegir de forma independiente, ya que el exponente de Hurst representa la estructura sobre períododos asintóticamente más largos, mientras que la dimensión fractal represent la estructura sobre periodos asintóticamente más cortos.
[9] En la literatura se han propuesto varios estimadores de la dependencia a largo plazo.
El rango promedio reescalado se calcula para cada valor de n. Para una serie temporal (parcial) de longitud
, el rango reescalado se calcula de la siguiente manera:[6][7] 1.
El exponente de Hurst se estima ajustando una ley potencial
Tal gráfico se llama diagrama de caja.
Anis y Lloyd[17] estimó que los valores teóricos (es decir, para el ruido blanco) de la estadística R/S eran: donde
Sin embargo, Weron[18] usó bootstrapping para obtener formas funcionales aproximadas para los intervalos de confianza de los dos métodos más usados, para el método de Anis-Lloyd[17] y el análisis R/S corregido: y para el análisis de fluctuaciones desestacionalizadas: Aquí
En ambos casos sólo se consideraron subseries de longitud
El exponente básico de Hurst puede relacionarse con el tamaño esperado de los cambios, en función del retraso entre observaciones, medido por E(| Xt+τ-Xt|2).
Para la forma generalizada del coeficiente, el exponente aquí se reemplaza por un término más general, denotado por q.
Existen una variedad de técnicas para estimar H, sin embargo, evaluar la precisión de la estimación puede ser un tema complicado.
Prácticamente, en la naturaleza, no hay límite de tiempo, y por lo tanto H no es determinista, ya que solo puede estimarse en función de los datos observados; por ejemplo, el movimiento diario al alza más dramático jamás visto en un índice bursátil siempre se puede superar durante algún día posterior.
[21] En la técnica de estimación matemática anterior, la función H(q) contiene información sobre volatilidades generalizadas promediadas a escala
(solo q = 1, 2 se usan para definir la volatilidad).
En particular, el exponente H1 indica comportamiento persistente (H1 > 1/2) o antipersistente (H1 < 1/2) de la tendencia.
Para el BRW (ruido marrón, 1/f²) se obtiene y para ruido rosa (1/f) El exponente de Hurst para ruido blanco es dependiente de la dimensión,[22] y para 1D y 2D es Para los populares proceso estable de Lévy es y proceso de Lévy truncado es con parámetro α se ha encontrado que El análisis multifractal de flucutaciones desestacionalizadas[23] es un método para estimar
a partir de series temporales no estacionarias.
es una función no lineal de q la serie temporal es un sistema multifractal.
En la definición anterior, dos requisitos separados se mezclan como si fueran uno.
Esta es la condición que produce autocorrelaciones de larga data.
(ii) Autosimilitud del proceso estocástico produce entonces escala de varianza, pero no es necesaria para la memoria a largo plazo.
[aclaración requerida] Un mercado eficiente requiere una condición martingale, y a menos que la varianza sea lineal en el tiempo esto produce incrementos no estacionarios, x(t+T)-x(t)≠x(T)-x(0).
Tal mercado estaría necesariamente lejos de ser "eficiente".