Teoría del caos
La teoría del caos es la rama de la matemática, la física y otras ciencias (biología, meteorología, entre ellas) que trata ciertos tipos de sistemas complejos y sistemas dinámicos no lineales muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales.
Pequeñas variaciones en dichas condiciones iniciales pueden implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro, imposibilitando la predicción a largo plazo.
La teoría del caos tiene aplicaciones en diversas disciplinas, incluyendo la meteorología, la antropología,[2] la sociología, la ciencia ambiental, la informática, la ingeniería, la economía, la ecología y la gestión de crisis pandémicas.
No hay una definición universal sobre el caos, pero hay tres ingredientes en los que todos los científicos están de acuerdo: Los sistemas caóticos típicamente se caracterizan por ser modelizables mediante un sistema dinámico que posee un atractor.
Para definir propiamente un atractor hay que recurrir a tecnicismos, y es difícil dar una idea intuitiva sin ellos.
Las ecuaciones diferenciales describen la evolución de un sistema a tiempo real y los mapas iterados evolucionan en problemas donde el tiempo es discreto.
Ambos son útiles para dar ejemplos del caos y también para analizar soluciones periódicas o caóticas de las ecuaciones diferenciales.
Haciendo estudios numéricos de los atractores extraños se puede encontrar la siguiente proporción:
como el valor máximo de la distancia aceptable entre dos trayectorias (la predicción será intolerable cuando
Un atractor periódico, por ejemplo, puede guiar el movimiento de un péndulo en oscilaciones periódicas; sin embargo, el péndulo seguirá trayectorias erráticas alrededor de estas oscilaciones debidas a otros factores menores no considerados.
Consiste en una varilla de acero con un extremo fijado a un soporte y el otro libre para oscilar entre dos imanes colocados simétricamente.
Si ahora se agrega una fuerza de rozamiento del aire proporcional a la velocidad (-
Las trayectorias de energía nula son órbitas homoclínicas que se hallan tanto en la variedad estable como en la inestable.
Las demás trayectorias corresponden a oscilaciones periódicas cuyas órbitas encierran un solo punto estable (
Además de la irregularidad del sistema, este exhibe una gran sensibilidad a las condiciones iniciales por lo que nos encontramos ante un atractor extraño (o caótico).
El teorema de Poincaré-Bendixson muestra que un atractor extraño solo puede presentarse como un sistema continuo dinámico si tiene tres o más dimensiones.
Sin embargo, tal restricción no se aplica a los sistemas discretos, los cuales pueden exhibir atractores extraños en dos o incluso una dimensión.
Para explicar estas propiedades se usará la transformación del panadero que consiste en un doble proceso de estirar y plegar.
en un coseno, una dimensión es cíclica, por lo que para visualizar el atractor se considera una sección estroboscópica para valores
Durante más de 100 años su afirmación pareció correcta y, por ello, se llegó a la conclusión de que el libre albedrío no tenía espacio en mecánica clásica, ya que todo estaba determinado por el estado del universo en un tiempo anterior.
A finales del siglo XIX Henri Poincaré (1854-1912), matemático francés, introdujo un nuevo punto de vista al preguntarse si el Sistema Solar sería estable para siempre.
Algunas propiedades identificadas por Poincaré y que hacían imposible la predicción a largo plazo se encontraron en la práctica en sistemas físicos tales como el clima, la sangre fluyendo a través del corazón, las turbulencias, las formaciones geológicas, los atascos de vehículos, las epidemias, la bolsa y la forma en que las flores florecen en un prado.
Esto es, cuando se vieron las primeras gráficas sobre el comportamiento de estos sistemas mediante métodos numéricos.
Después de estudiar detenidamente el problema y hacer pruebas con diferentes parámetros (tanto iniciales como las constantes del sistema), Lorenz llegó a la conclusión de que las simulaciones eran muy diferentes para condiciones iniciales muy próximas.
Al llegar a la misma, recordó que en el programa que él había creado para su sistema de meteorología con la computadora u ordenador Royal McBee, se podían introducir un máximo de 3 decimales para las condiciones iniciales, aunque el programa trabajaba con 6 decimales y los 3 últimos decimales que faltaban se introducían aleatoriamente.
En 1971 David Ruelle y Floris Takens propusieron una nueva teoría para la turbulencia de fluidos basada en un atractor extraño.
Las soluciones oscilaban irregularmente sin llegar a repetirse, aunque lo hacían en una región acotada del espacio de fases.
Durante las cuatro décadas que siguieron a los años 1960 aumentó mucho la literatura sobre los sistemas complejos y la teoría del caos, así como las temáticas y aplicaciones alumbradas a raíz de la investigación en dicho campo interdisciplinar.
Estos resultados sugieren una imposibilidad práctica de predecir el tiempo atmosférico a medio y largo plazo.
Es posible que los modelos económicos también puedan mejorarse mediante la aplicación de la teoría del caos, pero predecir el estado de un sistema económico y qué factores influyen más en él es una tarea extremadamente compleja.
