Un camino auto-evitado, o self-avoiding walk (SAW), es un camino que une dos puntos en un grafo plano con la condición de que no pasa por el mismo punto más de una vez.En particular, se pueden considerar caminos sobre la rejilla[1] cuadrada 2-dimensionalque recorre las aristas de la rejilla sin interceptarse consigo mismo.En el estudio de estos caminos surgen dos preguntas fundamentales: Seanque satisface las siguientes condiciones: En ésta definición la condición 2. establece que el camino transita solo por las aristas de la rejilla (pasos de longitud 1) y no permite pasos en dirección diagonal; y la condición 3. garantiza que en efecto el camino no pasa por un punto que ya había recorrido.Un modelo derivado de los caminos aleatorios simples es el de los caminos auto-evitados, que han sido estudiados durante casi medio siglo y fue desarrollado inicialmente en química física con la intención de analizar el comportamiento de cadenas de polímeros cuando se colocan en un buen disolvente (pues los polímeros tienen la característica de que ninguna cadena se puede cruzar en ningún punto).La respuesta al problema presentado por químicos y físicos fue tratar de encontrar un modelo simplificado que capturara la propiedad esencial de los polímeros, inicialmente el mejor de ellos se basó en los caminos aleatorios y fue propuesto hace 60 años por el químico alemán Kuhn.Una nueva respuesta fue descubierta por el nobel Paul Flory en términos de caminos aleatorios auto-evitados y desde entonces los físicos han tratado de verificar sus predicciones y los matemáticos de establecer su rigurosidad.Con la invención de los computadores, un nuevo progreso fue logrado mediante el modelado de caminos aleatorios auto-evitados en rejillas cuadradas y cúbicas.En 1982, el físico Nienhuis encontró una solución exacta para un modelo de dos dimensiones, entonces el resultado presentado por Flory era correcto, pero esta hipótesis nunca fue probada con la rigurosidad matemática necesaria.Finalmente, en la década de 1980, Hara, Slade, Lawler, Schramm, Werner y otros matemáticos en un intento por establecer resultados rigurosos lograron avances significativos.En general, se consideran caminos auto-evitados sobre la rejilla cuadrada pero también se pueden construir SAWs sobre diferentes tipos de rejillas regulares como se observa a continuación (ejemplos bidimensionales):, por ejemplo Sin embargo, debido al crecimiento acelerado se vuelve casi imposible determinar el valor deGracias a Jensen, Pönitz y Tittmann se conocen la cota inferior y superior decrece exponencialmente y su comportamiento está dado por:son constantes positivas que dependen de la dimensión.se conoce como la constante de conectividad yes finito y positivo pero no es conocido con exactitud en cualquier dimensión, pero no todas estas concatenaciones son SAW lo cual significa quey tomando logaritmo a ambos lados se obtiene queSe puede asumir que los caminos comienzan en el origen y se mueven a través de la red hasta completar, respectivamente, han sido enumerados por Madras y Slade.) se tiene lo siguiente: Los casos más importantes serán así, sin embargo existen aproximaciones como se muestra en el tabla 2.Un polígono auto-evitado, o self-avoiding polygon (SAP), sobre una rejilla regular es un SAW depasos cerrado, es decir, un SAP es un camino cerrado que no se interseca consigo mismo excepto en el caso para el cual el punto de partida es adyacente al punto de llegada.Se observa entonces que un SAP es un caso particular de un SAW.En mecánica estadística los SAPs sobre enrejados regulares se consideran problemas interesantes de combinatoria y resultan ser de gran utilidad para modelar diversos fenómenos biológicos.En la serie presentada en la tabla 3 se puede observar la manera en la que aumenta el número de SAPs con perímetro dado sobre la rejilla cuadrada (El perímetro es siempre par a menos que se considere otra rejilla regular como la triangular o la hexagonal).Adicional a esto existe otra constante de crecimiento para los SAPs relacionada con la función generadora de área
