La filosofía de las matemáticas es la rama de la filosofía que se ocupa de la naturaleza de las matemáticas y su relación con otras actividades humanas.
Los principales temas que se tratan en filosofía de las matemáticas incluyen:
La conexión entre las matemáticas y la realidad material ha dado lugar a debates filosóficos desde al menos la época de Pitágoras . El antiguo filósofo Platón argumentó que las abstracciones que reflejan la realidad material tienen en sí mismas una realidad que existe fuera del espacio y el tiempo. Como resultado, la visión filosófica de que los objetos matemáticos de alguna manera existen por sí solos en abstracción a menudo se denominaPlatonismo . Independientemente de sus posibles opiniones filosóficas, los matemáticos modernos pueden ser considerados generalmente como platónicos, ya que piensan y hablan de sus objetos de estudio como objetos reales (ver Objeto matemático ). [1]
Armand Borel resumió esta visión de la realidad matemática de la siguiente manera y proporcionó citas de GH Hardy , Charles Hermite , Henri Poincaré y Albert Einstein que respaldan sus puntos de vista. [2]
Algo se vuelve objetivo (en lugar de "subjetivo") tan pronto como estamos convencidos de que existe en la mente de los demás de la misma forma que en la nuestra y que podemos pensar en ello y discutirlo juntos. [3] Debido a que el lenguaje de las matemáticas es tan preciso, es ideal para definir conceptos para los cuales existe tal consenso. En mi opinión, esto es suficiente para darnos la sensación de una existencia objetiva, de una realidad de las matemáticas...
El razonamiento matemático requiere rigor . Esto significa que las definiciones deben ser absolutamente inequívocas y las pruebas deben ser reducibles a una sucesión de aplicaciones de silogismos o reglas de inferencia , [a] sin ningún uso de evidencia empírica ni de intuición . [b] [4]
Las reglas del razonamiento riguroso han sido establecidas por los antiguos filósofos griegos bajo el nombre de lógica . La lógica no es específica de las matemáticas, pero en ellas el estándar de rigor es mucho más alto que en otros lugares.
Durante muchos siglos, la lógica, aunque utilizada para demostraciones matemáticas, perteneció a la filosofía y no fue estudiada específicamente por los matemáticos. [5] Hacia finales del siglo XIX, varias paradojas hicieron cuestionable el fundamento lógico de las matemáticas y, en consecuencia, la validez de todas las matemáticas. A esto se le ha llamado la crisis fundacional de las matemáticas . Algunas de estas paradojas consisten en resultados que parecen contradecir la intuición común, como la posibilidad de construir geometrías no euclidianas válidas en las que el postulado de las paralelas es erróneo, la función de Weierstrass que es continua pero en ninguna parte diferenciable , y el estudio de Georg Cantor de conjuntos infinitos , lo que llevó a considerar varios tamaños de infinito (infinitos cardinales ). Aún más sorprendente es que la paradoja de Russell muestra que la frase "el conjunto de todos los conjuntos" es autocontradictoria.
Se han propuesto varios métodos para resolver el problema cambiando el marco lógico, como las matemáticas constructivas y la lógica intuicionista . Grosso modo, la primera consiste en exigir que todo teorema de existencia proporcione un ejemplo explícito, y la segunda excluye del razonamiento matemático la ley del tercero excluido y la eliminación de la doble negación .
Los problemas de fundamento de las matemáticas finalmente se resolvieron con el surgimiento de la lógica matemática como una nueva área de las matemáticas. En este marco, una teoría matemática o lógica consta de un lenguaje formal que define las aserciones bien formadas , un conjunto de aserciones básicas llamadas axiomas y un conjunto de reglas de inferencia que permiten producir nuevas aserciones a partir de una o varias aserciones conocidas. Un teorema de tal teoría es un axioma o una afirmación que puede obtenerse a partir de teoremas previamente conocidos mediante la aplicación de una regla de inferencia. La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección , generalmente llamada ZFC , es una teoría en la que se han reformulado todas las matemáticas; se utiliza implícitamente en todos los textos de matemáticas que no especifican explícitamente en qué fundamentos se basan. Además, las otras cimentaciones propuestas se pueden modelar y estudiar dentro de ZFC.
Resulta que el "rigor" ya no es un concepto relevante en matemáticas, ya que una demostración es correcta o errónea, y una "demostración rigurosa" es simplemente un pleonasmo . Donde entra en juego un concepto especial de rigor es en los aspectos socializados de una prueba. En particular, las pruebas rara vez se escriben con todos los detalles y algunos pasos de una prueba generalmente se consideran triviales , fáciles o directos y, por lo tanto, se dejan al lector. Como la mayoría de los errores de prueba ocurren en estos pasos omitidos, una nueva prueba requiere ser verificada por otros especialistas en el tema, y puede considerarse confiable solo después de haber sido aceptada por la comunidad de especialistas, lo que puede tardar varios años. [6]
Además, el concepto de "rigor" puede seguir siendo útil para enseñar a los principiantes qué es una demostración matemática. [7]
Antes del siglo XIX, los conceptos matemáticos básicos, como puntos , rectas , números naturales , números reales (utilizados para mediciones), etc., eran abstracciones del mundo físico, y comúnmente se consideraba que era suficiente para definirlos. [C]
Como consecuencia de esta cercanía a la realidad física, los matemáticos eran muy cautelosos cuando los problemas que querían resolver les llevaban a introducir nuevos conceptos que no estaban directamente relacionados con el mundo real. Estas precauciones todavía se reflejan en la terminología moderna, donde los números que no son cocientes de números naturales se llaman números irracionales , queriendo decir originalmente que la razón no puede concebirlos. De manera similar, los números reales son los números que se pueden usar para medir, mientras que los números imaginarios no.
Durante el siglo XIX hubo una activa investigación para dar definiciones más precisas a los conceptos básicos resultantes de la abstracción del mundo real; por ejemplo, la aritmética de Peano para números naturales, las definiciones formales de límite , serie (sumas infinitas que pueden tener sumas finitas) y continuidad de Cauchy y Weierstrass , la definición de números reales de Cauchy y Dedekind . Estas definiciones formales permitieron probar resultados contraintuitivos, que son parte del origen de la crisis fundacional de las matemáticas . Por ejemplo, la función de Weierstrass es una función que es continua en todas partes y diferenciable en ninguna parte . Dado que la existencia de tal monstruo parecía imposible, la gente tenía dos opciones: o aceptar hechos tan poco realistas, lo que implica que las matemáticas no necesitan reflejar la realidad física; o cambian las reglas lógicas para excluir tales monstruos. La primera elección condujo a la escuela filosófica del formalismo ; en su forma fuerte, esta escuela puede entenderse como el hecho de que los matemáticos no deben preocuparse por la realidad física. La segunda opción condujo al intuicionismo y al constructivismo .
Después de fuertes debates, el enfoque axiomático finalmente se convirtió en una norma de facto en matemáticas. Esto significa que las teorías matemáticas deben basarse en axiomas (supuestos básicos que se consideran verdaderos) y un conjunto fijo de reglas de inferencia ; la teoría consta de los resultados ( teoremas ) que se pueden deducir (probar) del axioma utilizando reglas de inferencia y reglas de inferencia únicamente. Las entidades ( objetos matemáticos ) involucradas en los axiomas se consideran definidas por los axiomas, y no se supone nada más sobre su naturaleza. Por ejemplo, la geometría plana se puede axiomatizar con dos tipos de objetos, los puntos y las líneas, y una relación de "pertenencia a" o "que pasa por" que relaciona puntos y líneas. Uno de los axiomas es "hay exactamente una recta que pasa por dos puntos". La interpretación de puntos y líneas (de la teoría) como puntos y líneas habituales no importa en absoluto para la validez de la teoría. Esto significa que se puede verificar la exactitud de una prueba sin hacer referencia a ninguna figura, y que un teorema demostrado sigue siendo verdadero independientemente de cualquier interpretación de las entidades involucradas en los axiomas. Por ejemplo, en geometría proyectiva plana , se pueden interpretar puntos como líneas y viceversa. Esto implica que por cada teorema que relaciona puntos y rectas, se obtiene inmediatamente un nuevo teorema al intercambiar el papel de los puntos y las rectas (ver dualidad ). Sin embargo, la interpretación de los objetos de una teoría en términos de la realidad física (cuando sea posible) o de abstracciones previamente estudiadas sigue siendo fundamental para guiar la elección de los axiomas, comprender el tema de la teoría y seguir los pasos de una larga demostración.
Este enfoque axiomático se ha aplicado a todas las matemáticas, a través de ZFC , la teoría de conjuntos de Zermelo - Fraenkel con el axioma de elección . Toda la matemática ha sido reconstruida dentro de esta teoría. Salvo que se indique explícitamente lo contrario, todos los textos matemáticos modernos lo utilizan como fundamento de las matemáticas.
Como consecuencia, la relación entre las matemáticas y la realidad física ya no es una cuestión matemática, pero la naturaleza de esta relación sigue siendo una cuestión filosófica que no tiene ninguna respuesta indiscutible.
Las matemáticas se utilizan en la mayoría de las ciencias para modelar fenómenos, lo que luego permite hacer predicciones a partir de leyes experimentales. [8] La independencia de la verdad matemática de cualquier experimentación implica que la precisión de tales predicciones depende sólo de la adecuación del modelo. [9] Las predicciones inexactas, más que ser causadas por conceptos matemáticos no válidos, implican la necesidad de cambiar el modelo matemático utilizado. [10] Por ejemplo, la precesión del perihelio de Mercurio sólo pudo explicarse después del surgimiento de la relatividad general de Einstein , que reemplazó a la ley de gravitación de Newton como un mejor modelo matemático. [11]
Todavía existe un debate filosófico sobre si las matemáticas son una ciencia. Sin embargo, en la práctica, los matemáticos suelen agruparse con los científicos, y las matemáticas tienen mucho en común con las ciencias físicas. Como ellos, es falsable , lo que significa en matemáticas que, si un resultado o una teoría es incorrecto, esto se puede demostrar proporcionando un contraejemplo . Al igual que en la ciencia, las teorías y los resultados (teoremas) a menudo se obtienen a partir de la experimentación . [12] En matemáticas, la experimentación puede consistir en el cálculo de ejemplos seleccionados o en el estudio de figuras u otras representaciones de objetos matemáticos (a menudo representaciones mentales sin soporte físico). Por ejemplo, cuando se le preguntó cómo surgió sus teoremas, Gauss respondió una vez "durch planmässiges Tattonieren" (mediante experimentación sistemática). [13] Sin embargo, algunos autores enfatizan que las matemáticas difieren de la noción moderna de ciencia al no depender de evidencia empírica. [14] [15] [16] [17]
La eficacia irrazonable de las matemáticas es un fenómeno que fue nombrado y explicitado por primera vez por el físico Eugene Wigner . [18] Es el hecho de que muchas teorías matemáticas (incluso las "más puras") tienen aplicaciones fuera de su objeto inicial. Estas aplicaciones pueden estar completamente fuera de su área inicial de las matemáticas y pueden referirse a fenómenos físicos que eran completamente desconocidos cuando se introdujo la teoría matemática. [19] Se pueden encontrar ejemplos de aplicaciones inesperadas de las teorías matemáticas en muchas áreas de las matemáticas.
Un ejemplo notable es la factorización prima de números naturales que se descubrió más de 2.000 años antes de su uso común para comunicaciones seguras por Internet a través del criptosistema RSA . [20] Un segundo ejemplo histórico es la teoría de las elipses . Fueron estudiados por los antiguos matemáticos griegos como secciones cónicas (es decir, intersecciones de conos con planos). Casi 2.000 años después, Johannes Kepler descubrió que las trayectorias de los planetas son elipses. [21]
En el siglo XIX, el desarrollo interno de la geometría (matemática pura) condujo a la definición y estudio de geometrías no euclidianas, espacios de dimensión superior a tres y variedades . En esta época, estos conceptos parecían totalmente desconectados de la realidad física, pero a principios del siglo XX, Albert Einstein desarrolló la teoría de la relatividad que utiliza fundamentalmente estos conceptos. En particular, el espaciotiempo de la relatividad especial es un espacio no euclidiano de dimensión cuatro, y el espaciotiempo de la relatividad general es una variedad (curva) de dimensión cuatro. [22] [23]
Un aspecto sorprendente de la interacción entre matemáticas y física es cuando las matemáticas impulsan la investigación en física. Esto lo ilustran los descubrimientos del positrón y del barión. En ambos casos, las ecuaciones de las teorías tenían soluciones inexplicables, lo que llevó a conjeturar sobre la existencia de una partícula desconocida y a buscar estas partículas. En ambos casos, estas partículas fueron descubiertas unos años más tarde mediante experimentos específicos. [2] [24] [25]
El origen de las matemáticas es de discusiones y desacuerdos. Sigue siendo un área de controversia si el nacimiento de las matemáticas fue casual o inducido por la necesidad durante el desarrollo de materias similares, como la física. [26] [27]
Muchos pensadores han aportado sus ideas sobre la naturaleza de las matemáticas. Hoy, algunos [ ¿quién? ] Los filósofos de las matemáticas pretenden dar cuenta de esta forma de investigación y sus productos tal como están, mientras que otros enfatizan un papel para ellos mismos que va más allá de la simple interpretación al análisis crítico. Existen tradiciones de filosofía matemática tanto en la filosofía occidental como en la filosofía oriental . Las filosofías occidentales de las matemáticas se remontan a Pitágoras , que describió la teoría "todo es matemática" ( matematicismo ), Platón , que parafraseó a Pitágoras y estudió el estatus ontológico de los objetos matemáticos, y Aristóteles , que estudió la lógica y cuestiones relacionadas con el infinito. (real versus potencial).
La filosofía griega sobre las matemáticas estuvo fuertemente influenciada por su estudio de la geometría . Por ejemplo, hubo un tiempo en que los griegos sostenían la opinión de que 1 (uno) no era un número , sino una unidad de longitud arbitraria. Un número se definió como una multitud. Por tanto, el 3, por ejemplo, representaba una determinada multitud de unidades y, por tanto, era "verdaderamente" un número. En otro momento, se planteó un argumento similar de que 2 no era un número sino una noción fundamental de par. Estos puntos de vista provienen del punto de vista fuertemente geométrico de los griegos: regla y compás: así como las líneas dibujadas en un problema geométrico se miden en proporción a la primera línea dibujada arbitrariamente, también los números en una recta numérica se miden en proporción. al primer "número" o "uno" arbitrario. [ cita necesaria ]
Estas ideas griegas anteriores sobre los números fueron trastocadas más tarde por el descubrimiento de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos. Hipaso , un discípulo de Pitágoras , demostró que la diagonal de un cuadrado unitario era inconmensurable con su arista (de longitud unitaria): en otras palabras, demostró que no existía ningún número (racional) que representara con precisión la proporción de la diagonal de la unidad. cuadrado hasta su borde. Esto provocó una importante reevaluación de la filosofía griega de las matemáticas. Según la leyenda, los compañeros pitagóricos quedaron tan traumatizados por este descubrimiento que asesinaron a Hipaso para impedir que difundiera su idea herética. [28] Simon Stevin fue uno de los primeros en Europa en desafiar las ideas griegas en el siglo XVI. A partir de Leibniz , la atención se centró fuertemente en la relación entre matemáticas y lógica. Esta perspectiva dominó la filosofía de las matemáticas durante la época de Frege y Russell , pero fue cuestionada por los acontecimientos de finales del siglo XIX y principios del XX.
Una cuestión constante en la filosofía de las matemáticas se refiere a la relación entre la lógica y las matemáticas en sus fundamentos conjuntos. Si bien los filósofos del siglo XX continuaron planteando las preguntas mencionadas al principio de este artículo, la filosofía de las matemáticas en el siglo XX se caracterizó por un interés predominante en la lógica formal , la teoría de conjuntos (tanto la teoría de conjuntos ingenua como la teoría de conjuntos axiomática ) y cuestiones fundacionales.
Es un profundo enigma que, por un lado, las verdades matemáticas parezcan tener una inevitabilidad convincente, pero, por otro, la fuente de su "veracidad" siga siendo esquiva. Las investigaciones sobre este tema se conocen como el programa de fundamentos de las matemáticas .
A principios del siglo XX, los filósofos de las matemáticas ya comenzaban a dividirse en varias escuelas de pensamiento sobre todas estas cuestiones, que se distinguían en términos generales por sus imágenes de epistemología y ontología matemáticas . En esta época surgieron tres escuelas: el formalismo , el intuicionismo y el logicismo , en parte como respuesta a la preocupación cada vez más generalizada de que las matemáticas tal como estaban, y el análisis en particular, no estaban a la altura de los estándares de certeza y rigor que se habían dado por sentados. otorgada. Cada escuela abordó los problemas que surgieron en ese momento, ya sea intentando resolverlos o afirmando que las matemáticas no merecen su estatus como nuestro conocimiento más confiable.
Los desarrollos sorprendentes y contraintuitivos en la lógica formal y la teoría de conjuntos a principios del siglo XX llevaron a nuevas preguntas sobre lo que tradicionalmente se llamó los fundamentos de las matemáticas . A medida que avanzaba el siglo, el foco inicial de preocupación se amplió a una exploración abierta de los axiomas fundamentales de las matemáticas, habiéndose dado por sentado el enfoque axiomático desde la época de Euclides, alrededor del año 300 a. C., como la base natural de las matemáticas. Se formalizaron las nociones de axioma , proposición y prueba , así como la noción de que una proposición es verdadera de un objeto matemático (ver Tarea ), lo que permitió tratarlas matemáticamente. Se formularon los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos, que proporcionaron un marco conceptual en el que se interpretaría gran parte del discurso matemático. En matemáticas, como en física, habían surgido ideas nuevas e inesperadas y se avecinaban cambios significativos. Con la numeración de Gödel , se podía interpretar que las proposiciones se referían a sí mismas o a otras proposiciones, lo que permitía investigar la coherencia de las teorías matemáticas. Esta crítica reflexiva en la que la teoría bajo revisión "se convierte en objeto de un estudio matemático" llevó a Hilbert a llamar a dicho estudio metamatemática o teoría de la prueba . [29]
A mediados de siglo, Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane crearon una nueva teoría matemática , conocida como teoría de categorías , y se convirtió en un nuevo contendiente para el lenguaje natural del pensamiento matemático. [30] Sin embargo, a medida que avanzaba el siglo XX, las opiniones filosóficas divergieron en cuanto a cuán bien fundadas estaban las preguntas sobre los fundamentos que se plantearon a principios de siglo. Hilary Putnam resumió una visión común de la situación en el último tercio del siglo diciendo:
Cuando la filosofía descubre algo malo en la ciencia, a veces hay que cambiar la ciencia ( me viene a la mente la paradoja de Russell , al igual que el ataque de Berkeley a lo infinitesimal real ), pero más a menudo es la filosofía la que hay que cambiar. No creo que las dificultades que la filosofía encuentra hoy con las matemáticas clásicas sean dificultades genuinas; y creo que las interpretaciones filosóficas de las matemáticas que se nos ofrecen por todas partes son erróneas, y que la "interpretación filosófica" es precisamente lo que las matemáticas no necesitan. [31] : 169-170
Hoy en día, la filosofía de las matemáticas avanza a lo largo de varias líneas de investigación diferentes, realizadas por filósofos de las matemáticas, lógicos y matemáticos, y existen muchas escuelas de pensamiento sobre el tema. Las escuelas se abordan por separado en la siguiente sección y se explican sus supuestos.
La visión que afirma que las matemáticas son la combinación estética de supuestos, y luego también afirma que las matemáticas son un arte . Un famoso matemático que afirma eso es el británico GH Hardy . [32] Para Hardy, en su libro A Mathematician's Apology , la definición de matemáticas se parecía más a la combinación estética de conceptos. [33]
El platonismo matemático es la forma de realismo que sugiere que las entidades matemáticas son abstractas, no tienen propiedades espaciotemporales o causales y son eternas e inmutables. A menudo se afirma que ésta es la visión que la mayoría de la gente tiene de los números. El término platonismo se utiliza porque se considera que tal visión es paralela a la Teoría de las formas y un "mundo de ideas" de Platón (griego: eidos (εἶδος)) descrita en la alegoría de la caverna de Platón : el mundo cotidiano sólo puede aproximarse imperfectamente a una realidad última e inmutable. Tanto la caverna de Platón como el platonismo tienen conexiones significativas, no sólo superficiales, porque las ideas de Platón fueron precedidas y probablemente influenciadas por los enormemente populares pitagóricos de la antigua Grecia, quienes creían que el mundo era, literalmente, generado por números .
Una cuestión importante considerada en el platonismo matemático es: ¿precisamente dónde y cómo existen las entidades matemáticas, y cómo sabemos acerca de ellas? ¿Existe un mundo, completamente separado del nuestro físico, que esté ocupado por entidades matemáticas? ¿Cómo podemos acceder a este mundo separado y descubrir verdades sobre las entidades? Una respuesta propuesta es el Conjunto Definitivo , una teoría que postula que todas las estructuras que existen matemáticamente también existen físicamente en su propio universo.
El platonismo de Kurt Gödel [34] postula un tipo especial de intuición matemática que nos permite percibir objetos matemáticos directamente. (Esta visión guarda semejanzas con muchas cosas que Husserl dijo sobre las matemáticas y apoya la idea de Kant de que las matemáticas son sintéticas a priori ). Davis y Hersh han sugerido en su libro de 1999 The Mathematical Experience que la mayoría de los matemáticos actúan como si fueran platónicos, incluso sin embargo, si se les presiona para que defiendan cuidadosamente su posición, pueden caer en el formalismo.
El platonismo puro es una variación moderna del platonismo, que es una reacción al hecho de que se puede demostrar que existen diferentes conjuntos de entidades matemáticas dependiendo de los axiomas y reglas de inferencia empleadas (por ejemplo, la ley del tercero excluido y la ley del tercero excluido). axioma de elección ). Sostiene que todas las entidades matemáticas existen. Pueden ser demostrables, incluso si no todos pueden derivarse de un único conjunto consistente de axiomas. [35]
El realismo de la teoría de conjuntos (también platonismo de la teoría de conjuntos ) [36] , una posición defendida por Penélope Maddy , es la visión de que la teoría de conjuntos trata sobre un único universo de conjuntos. [37] Esta posición (que también se conoce como platonismo naturalizado porque es una versión naturalizada del platonismo matemático) ha sido criticada por Mark Balaguer sobre la base del problema epistemológico de Paul Benacerraf . [38] Una visión similar, denominada naturalismo platonizado , fue defendida más tarde por la Escuela Stanford-Edmonton : según esta visión, un tipo más tradicional de platonismo es consistente con el naturalismo ; el tipo más tradicional de platonismo que defienden se distingue por principios generales que afirman la existencia de objetos abstractos . [39]
La hipótesis del universo matemático (o matematicismo ) de Max Tegmark va más allá que el platonismo al afirmar que no sólo existen todos los objetos matemáticos, sino que nada más existe. El único postulado de Tegmark es: todas las estructuras que existen matemáticamente también existen físicamente . Es decir, en el sentido de que "en aquellos [mundos] lo suficientemente complejos como para contener subestructuras autoconscientes [ellos] se percibirán subjetivamente como si existieran en un mundo físicamente 'real'". [40] [41]
El logicismo es la tesis de que las matemáticas son reducibles a la lógica y, por tanto, nada más que una parte de la lógica. [42] : 41 Los logicistas sostienen que las matemáticas pueden conocerse a priori , pero sugieren que nuestro conocimiento de las matemáticas es sólo parte de nuestro conocimiento de la lógica en general y, por lo tanto, es analítico y no requiere ninguna facultad especial de intuición matemática. Desde este punto de vista, la lógica es el fundamento adecuado de las matemáticas, y todos los enunciados matemáticos son verdades lógicas necesarias .
Rudolf Carnap (1931) presenta la tesis logicista en dos partes: [42]
Gottlob Frege fue el fundador del logicismo. En su seminal Die Grundgesetze der Arithmetik ( Leyes básicas de la aritmética ), construyó la aritmética a partir de un sistema de lógica con un principio general de comprensión, al que llamó "Ley básica V" (para los conceptos F y G , la extensión de F es igual a la extensión de G si y sólo si para todos los objetos a , Fa es igual a Ga ), un principio que consideró aceptable como parte de la lógica.
La construcción de Frege fue defectuosa. Bertrand Russell descubrió que la Ley Básica V es inconsistente (esta es la paradoja de Russell ). Frege abandonó su programa logicista poco después de esto, pero Russell y Whitehead lo continuaron . Atribuyeron la paradoja a una "circularidad viciosa" y desarrollaron lo que llamaron teoría de tipos ramificados para abordarla. En este sistema, finalmente pudieron desarrollar gran parte de las matemáticas modernas, pero en una forma alterada y excesivamente compleja (por ejemplo, había diferentes números naturales en cada tipo y había infinitos tipos). También tuvieron que hacer varios compromisos para desarrollar gran parte de las matemáticas, como el " axioma de reducibilidad ". Incluso Russell dijo que este axioma en realidad no pertenecía a la lógica.
Los logicistas modernos (como Bob Hale , Crispin Wright y quizás otros) han vuelto a un programa más cercano al de Frege. Han abandonado la Ley Básica V en favor de principios de abstracción como el principio de Hume (el número de objetos incluidos en el concepto F es igual al número de objetos incluidos en el concepto G si y sólo si la extensión de F y la extensión de G pueden ser poner en correspondencia uno a uno ). Frege requirió la Ley Básica V para poder dar una definición explícita de los números, pero todas las propiedades de los números pueden derivarse del principio de Hume. Esto no habría sido suficiente para Frege porque (parafraseándolo) no excluye la posibilidad de que el número 3 sea en realidad Julio César. Además, muchos de los principios debilitados que han tenido que adoptar para reemplazar la Ley Fundamental V ya no parecen tan obviamente analíticos y, por tanto, puramente lógicos.
El formalismo sostiene que los enunciados matemáticos pueden considerarse como enunciados sobre las consecuencias de ciertas reglas de manipulación de cuerdas. Por ejemplo, en el "juego" de la geometría euclidiana (que se considera que consiste en algunas cadenas llamadas "axiomas" y algunas "reglas de inferencia" para generar nuevas cadenas a partir de unas dadas), se puede demostrar que el teorema de Pitágoras se cumple ( es decir, se puede generar la cadena correspondiente al teorema de Pitágoras). Según el formalismo, las verdades matemáticas no tratan de números, conjuntos, triángulos y cosas por el estilo; de hecho, no "tratan" de nada en absoluto.
Otra versión del formalismo se conoce como deductivismo . [43] En el deductivismo, el teorema de Pitágoras no es una verdad absoluta, sino relativa, si se sigue deductivamente de los axiomas apropiados. Lo mismo se aplica a todos los demás enunciados matemáticos.
El formalismo no tiene por qué significar que las matemáticas no sean más que un juego simbólico sin sentido. Generalmente se espera que exista alguna interpretación según la cual se cumplan las reglas del juego. (Compárese esta posición con el estructuralismo .) Pero sí permite que el matemático en activo continúe con su trabajo y deje esos problemas al filósofo o al científico. Muchos formalistas dirían que, en la práctica, los sistemas de axiomas a estudiar serán sugeridos por las exigencias de la ciencia u otras áreas de las matemáticas.
Uno de los primeros defensores importantes del formalismo fue David Hilbert , cuyo programa pretendía ser una axiomatización completa y consistente de todas las matemáticas. [44] Hilbert pretendía mostrar la consistencia de los sistemas matemáticos a partir del supuesto de que la "aritmética finita" (un subsistema de la aritmética habitual de los números enteros positivos , elegido por ser filosóficamente indiscutible) era consistente. Los objetivos de Hilbert de crear un sistema matemático que sea a la vez completo y consistente se vieron seriamente socavados por el segundo de los teoremas de incompletitud de Gödel , que establece que los sistemas de axiomas consistentes suficientemente expresivos nunca pueden probar su propia consistencia. Dado que cualquier sistema de axiomas de este tipo contendría la aritmética finita como un subsistema, el teorema de Gödel implicaba que sería imposible probar la consistencia del sistema en relación con eso (ya que entonces probaría su propia consistencia, lo que Gödel había demostrado que era imposible). Por lo tanto, para demostrar que cualquier sistema axiomático de matemáticas es de hecho consistente, primero es necesario asumir la consistencia de un sistema de matemáticas que es en cierto sentido más fuerte que el sistema que se ha de demostrar consistente.
Hilbert fue inicialmente un deductivista, pero, como puede quedar claro de lo anterior, consideraba que ciertos métodos metamatemáticos producían resultados intrínsecamente significativos y era realista con respecto a la aritmética finita. Más tarde sostuvo la opinión de que no había ninguna otra matemática significativa, independientemente de la interpretación.
Otros formalistas, como Rudolf Carnap , Alfred Tarski y Haskell Curry , consideraban las matemáticas como la investigación de sistemas de axiomas formales . Los lógicos matemáticos estudian sistemas formales, pero a menudo son tan realistas como formalistas.
Los formalistas son relativamente tolerantes e invitan a nuevos enfoques de la lógica, sistemas numéricos no estándar, nuevas teorías de conjuntos, etc. Cuantos más juegos estudiemos, mejor. Sin embargo, en estos tres ejemplos, la motivación proviene de preocupaciones matemáticas o filosóficas existentes. Los "juegos" no suelen ser arbitrarios.
La principal crítica al formalismo es que las ideas matemáticas reales que ocupan a los matemáticos están muy alejadas de los juegos de manipulación de cuerdas mencionados anteriormente. Por tanto, el formalismo guarda silencio sobre la cuestión de qué sistemas de axiomas deberían estudiarse, ya que ninguno es más significativo que otro desde un punto de vista formalista.
Recientemente, algunos [ ¿quién? ] Los matemáticos formalistas han propuesto que todo nuestro conocimiento matemático formal debería codificarse sistemáticamente en formatos legibles por computadora , para facilitar la verificación automatizada de pruebas matemáticas y el uso de la demostración interactiva de teoremas en el desarrollo de teorías matemáticas y software de computadora. Debido a su estrecha conexión con la informática , esta idea también es defendida por intuicionistas y constructivistas matemáticos en la tradición de la "computabilidad"; consulte el proyecto QED para obtener una descripción general.
El matemático francés Henri Poincaré fue uno de los primeros en articular una visión convencionalista . El uso que hizo Poincaré de geometrías no euclidianas en su trabajo sobre ecuaciones diferenciales lo convenció de que la geometría euclidiana no debía considerarse una verdad a priori . Sostuvo que los axiomas en geometría deberían elegirse por los resultados que producen, no por su aparente coherencia con las intuiciones humanas sobre el mundo físico.
En matemáticas, el intuicionismo es un programa de reforma metodológica cuyo lema es que "no existen verdades matemáticas no experimentadas" ( LEJ Brouwer ). A partir de este trampolín, los intuicionistas buscan reconstruir lo que consideran la parte corregible de las matemáticas de acuerdo con los conceptos kantianos de ser, devenir, intuición y conocimiento. Brouwer, el fundador del movimiento, sostuvo que los objetos matemáticos surgen de las formas a priori de las voliciones que informan la percepción de los objetos empíricos. [45]
Una fuerza importante detrás del intuicionismo fue LEJ Brouwer , quien rechazó la utilidad de cualquier tipo de lógica formalizada para las matemáticas. Su alumno Arend Heyting postuló una lógica intuicionista , diferente de la lógica aristotélica clásica ; esta lógica no contiene la ley del tercero excluido y por lo tanto desaprueba las pruebas por contradicción . El axioma de elección también se rechaza en la mayoría de las teorías de conjuntos intuicionistas, aunque en algunas versiones se acepta.
En el intuicionismo, el término "construcción explícita" no está claramente definido, y eso ha dado lugar a críticas. Se han hecho intentos de utilizar los conceptos de máquina de Turing o función computable para llenar este vacío, lo que lleva a la afirmación de que sólo las cuestiones relacionadas con el comportamiento de algoritmos finitos son significativas y deben investigarse en matemáticas. Esto ha llevado al estudio de los números computables , introducido por primera vez por Alan Turing . No sorprende, entonces, que este enfoque de las matemáticas se asocie a veces con la informática teórica .
Al igual que el intuicionismo, el constructivismo implica el principio regulativo de que sólo las entidades matemáticas que pueden construirse explícitamente en cierto sentido deben admitirse en el discurso matemático. Desde este punto de vista, las matemáticas son un ejercicio de la intuición humana, no un juego con símbolos sin significado. Más bien, se trata de entidades que podemos crear directamente a través de la actividad mental. Además, algunos seguidores de estas escuelas rechazan las pruebas no constructivas, como el uso de la prueba por contradicción cuando se muestra la existencia de un objeto o cuando se intenta establecer la verdad de alguna proposición. Errett Bishop realizó un trabajo importante , quien logró probar versiones de los teoremas más importantes en análisis real como análisis constructivo en sus Fundamentos del análisis constructivo de 1967. [46]
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El finitismo es una forma extrema de constructivismo , según la cual un objeto matemático no existe a menos que pueda construirse a partir de números naturales en un número finito de pasos. En su libro Filosofía de la teoría de conjuntos , Mary Tiles caracterizó a aquellos que permiten objetos contablemente infinitos como finitistas clásicos, y a aquellos que niegan incluso objetos contablemente infinitos como finitistas estrictos.
El defensor más famoso del finitismo fue Leopold Kronecker , [47] quien dijo:
Dios creó los números naturales, todo lo demás es obra del hombre.
El ultrafinitismo es una versión aún más extrema del finitismo, que rechaza no sólo los infinitos sino también las cantidades finitas que no pueden construirse con los recursos disponibles. Otra variante del finitismo es la aritmética euclidiana, un sistema desarrollado por John Penn Mayberry en su libro Los fundamentos de las matemáticas en la teoría de conjuntos . [48] El sistema de Mayberry es de inspiración aristotélica en general y, a pesar de su fuerte rechazo a cualquier papel del operacionalismo o la viabilidad en los fundamentos de las matemáticas, llega a conclusiones algo similares, como, por ejemplo, que la superexponenciación no es una solución finita legítima. función.
El estructuralismo es una posición que sostiene que las teorías matemáticas describen estructuras y que los objetos matemáticos se definen exhaustivamente por su lugar en dichas estructuras, por lo que no tienen propiedades intrínsecas . Por ejemplo, mantendría que todo lo que hay que saber sobre el número 1 es que es el primer número entero después del 0. De la misma manera, todos los demás números enteros se definen por sus lugares en una estructura, la recta numérica . Otros ejemplos de objetos matemáticos podrían incluir líneas y planos en geometría, o elementos y operaciones en álgebra abstracta .
El estructuralismo es una visión epistemológicamente realista en el sentido de que sostiene que los enunciados matemáticos tienen un valor de verdad objetivo. Sin embargo, su afirmación central sólo se relaciona con qué tipo de entidad es un objeto matemático, no con qué tipo de existencia tienen los objetos o estructuras matemáticos (no, en otras palabras, con su ontología ). El tipo de existencia que tienen los objetos matemáticos dependería claramente de la de las estructuras en las que están incrustados; diferentes subvariedades de estructuralismo hacen diferentes afirmaciones ontológicas a este respecto. [49]
El estructuralismo ante rem ("antes de la cosa") tiene una ontología similar al platonismo . Se considera que las estructuras tienen una existencia real pero abstracta e inmaterial. Como tal, enfrenta el problema epistemológico estándar de explicar la interacción entre tales estructuras abstractas y matemáticos de carne y hueso (ver el problema de identificación de Benacerraf ).
El in re estructuralismo ("en la cosa") es el equivalente del realismo aristotélico. Se considera que las estructuras existen en la medida en que algún sistema concreto las ejemplifique. Esto incurre en los problemas habituales de que algunas estructuras perfectamente legítimas podrían accidentalmente no existir, y que un mundo físico finito podría no ser lo suficientemente "grande" para acomodar algunas estructuras que de otro modo serían legítimas.
El estructuralismo post rem ("después de la cosa") es antirrealista en cuanto a las estructuras en un sentido paralelo al nominalismo . Al igual que el nominalismo, el enfoque post rem niega la existencia de objetos matemáticos abstractos con propiedades distintas a su lugar en una estructura relacional. Según esta visión , los sistemas matemáticos existen y tienen características estructurales en común. Si algo es cierto para una estructura, también lo será para todos los sistemas que ejemplifican esa estructura. Sin embargo, es meramente instrumental hablar de estructuras "comunes" entre sistemas: de hecho, no tienen existencia independiente.
Las teorías de la mente encarnada sostienen que el pensamiento matemático es una consecuencia natural del aparato cognitivo humano que se encuentra en nuestro universo físico. Por ejemplo, el concepto abstracto de número surge de la experiencia de contar objetos discretos (lo que requiere los sentidos humanos, como la vista, para detectar los objetos, el tacto y las señales del cerebro). Se sostiene que las matemáticas no son universales y no existen en ningún sentido real, salvo en el cerebro humano. Los humanos construyen, pero no descubren, las matemáticas.
Los procesos cognitivos de búsqueda de patrones y distinción de objetos también están sujetos a la neurociencia ; si las matemáticas se consideran relevantes para un mundo natural (como por ejemplo desde el realismo o un grado del mismo, en contraposición al solipsismo puro ).
Su relevancia real para la realidad, si bien se acepta como una aproximación confiable (también se sugiere que la evolución de las percepciones, el cuerpo y los sentidos pueden haber sido necesarias para la supervivencia) no es necesariamente precisa para un realismo total (y todavía está sujeta a defectos como ilusión , suposiciones (en consecuencia, los fundamentos y axiomas en los que los humanos han formado las matemáticas), generalizaciones, engaños y alucinaciones ). Como tal, esto también puede plantear dudas sobre la compatibilidad del método científico moderno con las matemáticas generales; ya que, si bien es relativamente confiable, todavía está limitado por lo que puede medirse mediante el empirismo , que puede no ser tan confiable como se suponía anteriormente (ver también: conceptos "contraintuitivos" como no localidad cuántica y acción a distancia ).
Otro problema es que un sistema numérico puede no ser necesariamente aplicable a la resolución de problemas. Temas como números complejos o números imaginarios requieren cambios específicos en axiomas matemáticos más utilizados; de lo contrario no podrán entenderse adecuadamente.
Alternativamente, los programadores de computadoras pueden usar hexadecimal para su representación "amigable para los humanos" de valores codificados en binario , en lugar de decimal (conveniente para contar porque los humanos tenemos diez dedos). Los axiomas o reglas lógicas detrás de las matemáticas también varían a través del tiempo (como la adaptación e invención del cero ).
Dado que las percepciones del cerebro humano están sujetas a ilusiones , suposiciones, engaños, alucinaciones (inducidas) , errores cognitivos o suposiciones en un contexto general, se puede cuestionar si son exactas o estrictamente indicativas de la verdad (ver también: filosofía del ser ). y la naturaleza del empirismo mismo en relación con el universo y si es independiente de los sentidos y del universo.
La mente humana no tiene derechos especiales sobre la realidad ni enfoques basados en las matemáticas. Si conceptos como la identidad de Euler son verdaderos, entonces lo son como mapa de la mente y la cognición humanas .
Los teóricos de la mente encarnada explican así la efectividad de las matemáticas: las matemáticas fueron construidas por el cerebro para ser efectivas en este universo.
El tratamiento más accesible, famoso e infame de esta perspectiva es De dónde vienen las matemáticas , de George Lakoff y Rafael E. Núñez . Además, el matemático Keith Devlin ha investigado conceptos similares con su libro The Math Instinct , al igual que el neurocientífico Stanislas Dehaene con su libro The Number Sense . Para más información sobre las ideas filosóficas que inspiraron esta perspectiva, consulte Ciencia cognitiva de las matemáticas .
El realismo aristotélico sostiene que las matemáticas estudian propiedades como la simetría, la continuidad y el orden que pueden realizarse literalmente en el mundo físico (o en cualquier otro mundo que pueda existir). Contrasta con el platonismo al sostener que los objetos de las matemáticas, como los números, no existen en un mundo "abstracto" pero pueden realizarse físicamente. Por ejemplo, el número 4 se realiza en la relación entre un montón de loros y el universal "ser loro" que divide el montón en otros tantos loros. [50] [51] El realismo aristotélico es defendido por James Franklin y la Escuela de Sydney en filosofía de las matemáticas y está cerca de la opinión de Penélope Maddy de que cuando se abre un cartón de huevos, se percibe un conjunto de tres huevos (es decir, una entidad matemática realizada en el mundo físico). [52] Un problema para el realismo aristotélico es qué explicación dar de los infinitos superiores, que pueden no ser realizables en el mundo físico.
La aritmética euclidiana desarrollada por John Penn Mayberry en su libro Los fundamentos de las matemáticas en la teoría de conjuntos [48] también cae en la tradición realista aristotélica. Mayberry, siguiendo a Euclides, considera que los números son simplemente "multitudes definidas de unidades" realizadas en la naturaleza, como "los miembros de la Orquesta Sinfónica de Londres" o "los árboles del bosque de Birnam". Si hay o no multitudes definidas de unidades para las cuales falla la Noción Común 5 de Euclides (el todo es mayor que la parte) y que, en consecuencia, se considerarían infinitas, es para Mayberry esencialmente una cuestión sobre la Naturaleza y no implica ninguna suposición trascendental.
El psicologismo en la filosofía de las matemáticas es la posición de que los conceptos y/o verdades matemáticas se basan, se derivan o se explican por hechos (o leyes) psicológicos.
John Stuart Mill parece haber sido un defensor de un tipo de psicologismo lógico, como lo fueron muchos lógicos alemanes del siglo XIX, como Sigwart y Erdmann , así como varios psicólogos , pasados y presentes: por ejemplo, Gustave Le Bon . El psicologismo fue famosamente criticado por Frege en sus Fundamentos de la aritmética y en muchas de sus obras y ensayos, incluida su reseña de la Filosofía de la aritmética de Husserl . Edmund Husserl, en el primer volumen de sus Investigaciones lógicas , titulado "Los prolegómenos de la lógica pura", criticó a fondo el psicologismo y buscó distanciarse de él. Los "Prolegómenos" se consideran una refutación del psicologismo más concisa, justa y completa que las críticas hechas por Frege, y también hoy en día son considerados por muchos como una refutación memorable por su golpe decisivo al psicologismo. El psicologismo también fue criticado por Charles Sanders Peirce y Maurice Merleau-Ponty .
El empirismo matemático es una forma de realismo que niega que las matemáticas puedan conocerse a priori . Dice que descubrimos hechos matemáticos mediante investigación empírica , al igual que los hechos en cualquiera de las otras ciencias. No es una de las tres posiciones clásicas defendidas a principios del siglo XX, sino que surgió principalmente a mediados de siglo. Sin embargo, uno de los primeros defensores importantes de una visión como ésta fue John Stuart Mill . La visión de Mill fue ampliamente criticada porque, según críticos como AJ Ayer, [53] hace que afirmaciones como "2 + 2 = 4" resulten como verdades inciertas y contingentes, que sólo podemos aprender observando casos de dos pares. uniéndose y formando un cuarteto.
Karl Popper fue otro filósofo que señaló los aspectos empíricos de las matemáticas, observando que "la mayoría de las teorías matemáticas son, como las de la física y la biología, hipotético-deductivas: la matemática pura resulta, por tanto, mucho más cercana a las ciencias naturales cuyas hipótesis son conjeturas, de lo que parecía incluso recientemente." [54] Popper también señaló que "admitiría que un sistema es empírico o científico sólo si es capaz de ser probado por la experiencia". [55]
El empirismo matemático contemporáneo, formulado por WVO Quine y Hilary Putnam , se sustenta principalmente en el argumento de la indispensabilidad : las matemáticas son indispensables para todas las ciencias empíricas, y si queremos creer en la realidad de los fenómenos descritos por las ciencias, también debemos creer en la realidad de aquellas entidades requeridas para esta descripción. Es decir, dado que la física necesita hablar de electrones para decir por qué las bombillas se comportan como lo hacen, entonces los electrones deben existir . Dado que la física necesita hablar de números al ofrecer cualquiera de sus explicaciones, entonces los números deben existir. De acuerdo con las filosofías generales de Quine y Putnam, éste es un argumento naturalista. Defiende la existencia de entidades matemáticas como la mejor explicación de la experiencia, despojando así a las matemáticas de su distinción de otras ciencias.
Putnam rechazó enérgicamente el término " platónico " por implicar una ontología demasiado específica que no era necesaria para la práctica matemática en ningún sentido real. Abogó por una forma de "realismo puro" que rechazaba las nociones místicas de la verdad y aceptaba mucho cuasi-empirismo en matemáticas . Esto surgió de la afirmación cada vez más popular a finales del siglo XX de que nunca se pudo demostrar la existencia de ningún fundamento de las matemáticas . A veces también se le llama "posmodernismo en matemáticas", aunque algunos lo consideran sobrecargado e insultante. El cuasiempirismo sostiene que al realizar su investigación, los matemáticos prueban hipótesis y prueban teoremas. Un argumento matemático puede transmitir falsedad desde la conclusión a las premisas tan bien como puede transmitir la verdad desde las premisas a la conclusión. Putnam ha sostenido que cualquier teoría del realismo matemático incluiría métodos cuasiempíricos. Propuso que una especie alienígena que hiciera matemáticas bien podría depender principalmente de métodos cuasi empíricos, estando a menudo dispuesta a renunciar a pruebas rigurosas y axiomáticas, y seguir haciendo matemáticas, quizás con un riesgo algo mayor de fallar en sus cálculos. Dio un argumento detallado sobre esto en New Directions . [56] El cuasiempirismo también fue desarrollado por Imre Lakatos .
La crítica más importante a las concepciones empíricas de las matemáticas es aproximadamente la misma que se planteó contra Mill. Si las matemáticas son tan empíricas como las otras ciencias, esto sugiere que sus resultados son tan falibles como los de ellas e igual de contingentes. En el caso de Mill, la justificación empírica llega directamente, mientras que en el caso de Quine llega indirectamente, a través de la coherencia de nuestra teoría científica en su conjunto, es decir, la consiliencia después de EO Wilson . Quine sugiere que las matemáticas parecen completamente seguras porque el papel que desempeñan en nuestra red de creencias es extraordinariamente central, y que nos sería extremadamente difícil revisarlas, aunque no imposible.
Para una filosofía de las matemáticas que intenta superar algunas de las deficiencias de los enfoques de Quine y Gödel tomando aspectos de cada uno, consulte Realismo en matemáticas de Penélope Maddy . Otro ejemplo de teoría realista es la teoría de la mente encarnada.
Para obtener evidencia experimental que sugiere que los bebés humanos pueden hacer aritmética elemental, consulte Brian Butterworth .
El ficcionalismo matemático saltó a la fama en 1980 cuando Hartry Field publicó Ciencia sin números , [57] que rechazó y, de hecho, revirtió el argumento de indispensabilidad de Quine. Donde Quine sugirió que las matemáticas eran indispensables para nuestras mejores teorías científicas y, por lo tanto, deberían aceptarse como un conjunto de verdades que hablaban de entidades existentes independientemente, Field sugirió que las matemáticas eran prescindibles y, por lo tanto, debían considerarse como un conjunto de falsedades que no hablaban de nada. real. Lo hizo dando una axiomatización completa de la mecánica newtoniana sin ninguna referencia a números o funciones. Comenzó con la "intermediación" de los axiomas de Hilbert para caracterizar el espacio sin coordinarlo, y luego añadió relaciones adicionales entre puntos para realizar el trabajo que antes realizaban los campos vectoriales . La geometría de Hilbert es matemática porque habla de puntos abstractos, pero en la teoría de Field, estos puntos son los puntos concretos del espacio físico, por lo que no se necesita ningún objeto matemático especial.
Habiendo demostrado cómo hacer ciencia sin utilizar números, Field procedió a rehabilitar las matemáticas como una especie de ficción útil . Demostró que la física matemática es una extensión conservadora de su física no matemática (es decir, cada hecho físico demostrable en física matemática ya lo es a partir del sistema de Field), de modo que las matemáticas son un proceso confiable cuyas aplicaciones físicas son todas verdaderas, aunque sus propias declaraciones son falsas. Así, cuando hacemos matemáticas, podemos vernos a nosotros mismos contando una especie de historia, hablando como si los números existieran. Para Field, una afirmación como "2 + 2 = 4" es tan ficticia como " Sherlock Holmes vivió en el 221B de Baker Street", pero ambas son ciertas según las ficciones relevantes.
Otra ficticia, Mary Leng , expresa la perspectiva de manera sucinta al descartar cualquier conexión aparente entre las matemáticas y el mundo físico como "una feliz coincidencia". Este rechazo separa el ficcionalismo de otras formas de antirrealismo, que ven las matemáticas en sí mismas como artificiales pero todavía limitadas o ajustadas a la realidad de alguna manera. [58]
Según esta explicación, no existen problemas metafísicos o epistemológicos especiales de las matemáticas. Las únicas preocupaciones que quedan son las preocupaciones generales sobre la física no matemática y sobre la ficción en general. El enfoque de Field ha sido muy influyente, pero es ampliamente rechazado. Esto se debe en parte a la necesidad de fuertes fragmentos de lógica de segundo orden para llevar a cabo su reducción, y a que la declaración de conservadurismo parece requerir cuantificación por encima de modelos abstractos o deducciones. [ cita necesaria ]
El constructivismo social ve las matemáticas principalmente como una construcción social , como un producto de la cultura, sujeta a corrección y cambio. Al igual que las otras ciencias, las matemáticas se consideran una tarea empírica cuyos resultados se evalúan constantemente y pueden descartarse. Sin embargo, mientras que desde una visión empirista la evaluación es una especie de comparación con la "realidad", los constructivistas sociales enfatizan que la dirección de la investigación matemática está dictada por las modas del grupo social que la realiza o por las necesidades de la sociedad que la financia. Sin embargo, aunque tales fuerzas externas pueden cambiar la dirección de algunas investigaciones matemáticas, existen fuertes limitaciones internas (las tradiciones, métodos, problemas, significados y valores matemáticos en los que están inculturados los matemáticos) que trabajan para conservar la disciplina históricamente definida.
Esto va en contra de las creencias tradicionales de los matemáticos en activo, de que las matemáticas son de algún modo puras u objetivas. Pero los constructivistas sociales sostienen que, de hecho, las matemáticas se basan en mucha incertidumbre: a medida que la práctica matemática evoluciona, el estatus de las matemáticas anteriores se pone en duda y se corrige en la medida en que lo requiera o desee la comunidad matemática actual. Esto se puede ver en el desarrollo del análisis a partir del reexamen del cálculo de Leibniz y Newton. Argumentan además que a las matemáticas terminadas a menudo se les concede demasiado estatus, y a las matemáticas populares no el suficiente, debido a un énfasis excesivo en la prueba axiomática y la revisión por pares como prácticas.
La naturaleza social de las matemáticas se destaca en sus subculturas . Se pueden hacer descubrimientos importantes en una rama de las matemáticas y ser relevantes para otra, pero la relación no se descubre por falta de contacto social entre los matemáticos. Los constructivistas sociales sostienen que cada especialidad forma su propia comunidad epistémica y, a menudo, tiene grandes dificultades para comunicarse o motivar la investigación de conjeturas unificadoras que puedan relacionar diferentes áreas de las matemáticas. Los constructivistas sociales consideran que el proceso de "hacer matemáticas" crea realmente el significado, mientras que los realistas sociales consideran que una deficiencia de la capacidad humana para abstraer, o del sesgo cognitivo humano , o de la inteligencia colectiva de los matemáticos , impide la comprensión de un universo real de objetos matemáticos. Los constructivistas sociales a veces rechazan la búsqueda de fundamentos de las matemáticas por considerarla destinada al fracaso, inútil o incluso carente de sentido.
Imre Lakatos y Thomas Tymoczko han realizado contribuciones a esta escuela , aunque no está claro que ninguno de los dos respaldaría el título. [ se necesita aclaración ] Más recientemente, Paul Ernest ha formulado explícitamente una filosofía social constructivista de las matemáticas. [59] Algunos consideran que el trabajo de Paul Erdős en su conjunto ha avanzado este punto de vista (aunque él personalmente lo rechazó) debido a sus colaboraciones excepcionalmente amplias, que impulsaron a otros a ver y estudiar "las matemáticas como una actividad social", por ejemplo, a través de el número de Erdős . Reuben Hersh también ha promovido la visión social de las matemáticas, calificándola de enfoque "humanista", [60] similar pero no exactamente igual al asociado con Alvin White; [61] uno de los coautores de Hersh, Philip J. Davis , también ha expresado simpatía por la visión social.
En lugar de centrarse en debates estrechos sobre la verdadera naturaleza de la verdad matemática , o incluso en prácticas exclusivas de los matemáticos como la demostración , un movimiento creciente entre los años 1960 y 1990 comenzó a cuestionar la idea de buscar fundamentos o encontrar una respuesta correcta a las preguntas. por qué funcionan las matemáticas. El punto de partida para esto fue el famoso artículo de Eugene Wigner de 1960 " La irrazonable eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales ", en el que sostenía que la feliz coincidencia de que las matemáticas y la física estuvieran tan bien combinadas parecía irrazonable y difícil de explicar.
Las teorías realistas y constructivistas normalmente se consideran contrarias. Sin embargo, Karl Popper [62] argumentó que una afirmación numérica como "2 manzanas + 2 manzanas = 4 manzanas" puede tomarse en dos sentidos. En cierto sentido es irrefutable y lógicamente cierto. En el segundo sentido, es objetivamente verdadero y falsificable. Otra forma de decir esto es decir que un enunciado de un solo número puede expresar dos proposiciones: una de las cuales puede explicarse desde líneas constructivistas; el otro en líneas realistas. [63]
Las innovaciones en la filosofía del lenguaje durante el siglo XX renovaron el interés en si las matemáticas son, como se suele decir, [ cita necesaria ] el lenguaje de la ciencia. Aunque algunos [ ¿quién? ] matemáticos y filósofos aceptarían la afirmación "las matemáticas son un lenguaje" (la mayoría considera que el lenguaje de las matemáticas es una parte de las matemáticas a la que las matemáticas no se pueden reducir), [ cita necesaria ] lingüistas [ ¿quién? ] Creo que se deben considerar las implicaciones de tal declaración. Por ejemplo, las herramientas de la lingüística generalmente no se aplican a los sistemas de símbolos de las matemáticas, es decir, las matemáticas se estudian de una manera marcadamente diferente a la de otros lenguajes. Si las matemáticas son un lenguaje, es un tipo de lenguaje diferente a los lenguajes naturales . De hecho, debido a la necesidad de claridad y especificidad, el lenguaje de las matemáticas está mucho más restringido que los lenguajes naturales estudiados por los lingüistas. Sin embargo, los métodos desarrollados por Frege y Tarski para el estudio del lenguaje matemático han sido ampliados en gran medida por el alumno de Tarski, Richard Montague, y otros lingüistas que trabajan en semántica formal para demostrar que la distinción entre lenguaje matemático y lenguaje natural puede no ser tan grande como parece. .
Mohan Ganesalingam ha analizado el lenguaje matemático utilizando herramientas de la lingüística formal. [64] Ganesalingam señala que algunas características del lenguaje natural no son necesarias al analizar el lenguaje matemático (como el tiempo ), pero se pueden utilizar muchas de las mismas herramientas analíticas (como las gramáticas libres de contexto ). Una diferencia importante es que los objetos matemáticos tienen tipos claramente definidos , que pueden definirse explícitamente en un texto: "Efectivamente, se nos permite introducir una palabra en una parte de una oración y declarar su parte de la oración en otra; y esta operación no tiene análogo en el lenguaje natural." [64] : 251
Este argumento, asociado con Willard Quine y Hilary Putnam , es considerado por Stephen Yablo como uno de los argumentos más desafiantes a favor de la aceptación de la existencia de entidades matemáticas abstractas, como números y conjuntos. [65] La forma del argumento es la siguiente.
La justificación de la primera premisa es la más controvertida. Tanto Putnam como Quine invocan el naturalismo para justificar la exclusión de todas las entidades no científicas y, por tanto, para defender la parte "única" de "todos y sólo". La afirmación de que "todas" las entidades postuladas en las teorías científicas, incluidos los números, deben aceptarse como reales está justificada por el holismo confirmatorio . Dado que las teorías no se confirman de manera fragmentaria, sino en su conjunto, no hay justificación para excluir ninguna de las entidades a las que se hace referencia en las teorías bien confirmadas. Esto coloca en una posición difícil al nominalista que desea excluir la existencia de conjuntos y geometría no euclidiana , pero incluir la existencia de quarks y otras entidades indetectables de la física, por ejemplo. [66]
El " argumento epistémico " antirrealista contra el platonismo ha sido presentado por Paul Benacerraf y Hartry Field . El platonismo postula que los objetos matemáticos son entidades abstractas . Por acuerdo general, las entidades abstractas no pueden interactuar causalmente con entidades físicas concretas ("los valores de verdad de nuestras afirmaciones matemáticas dependen de hechos que involucran entidades platónicas que residen en un reino fuera del espacio-tiempo" [67] ). Si bien nuestro conocimiento de los objetos físicos concretos se basa en nuestra capacidad de percibirlos y, por tanto, de interactuar causalmente con ellos, no existe una explicación paralela de cómo los matemáticos llegan a tener conocimiento de los objetos abstractos. [68] [69] [70] Otra forma de señalar el punto es que si el mundo platónico desapareciera, no habría ninguna diferencia en la capacidad de los matemáticos para generar pruebas , etc., lo cual ya es totalmente responsable en términos de procesos físicos en sus cerebros.
Field desarrolló sus puntos de vista hacia el ficcionalismo. Benacerraf también desarrolló la filosofía del estructuralismo matemático , según la cual no existen objetos matemáticos. No obstante, algunas versiones del estructuralismo son compatibles con algunas versiones del realismo.
El argumento gira en torno a la idea de que se puede dar una explicación naturalista satisfactoria de los procesos de pensamiento en términos de procesos cerebrales para el razonamiento matemático junto con todo lo demás. Una línea de defensa es mantener que esto es falso, de modo que el razonamiento matemático utiliza alguna intuición especial que implica contacto con el reino platónico. Sir Roger Penrose ofrece una forma moderna de este argumento . [71]
Otra línea de defensa es mantener que los objetos abstractos son relevantes para el razonamiento matemático de una manera que no es causal y no es análoga a la percepción. Este argumento es desarrollado por Jerrold Katz en su libro de 2000 Racionalismo realista .
Una defensa más radical es la negación de la realidad física, es decir, la hipótesis matemática del universo . En ese caso, el conocimiento de las matemáticas de un matemático es un objeto matemático que hace contacto con otro.
Muchos matemáticos practicantes se han sentido atraídos por su materia debido a la sensación de belleza que perciben en ella. A veces se oye el sentimiento de que a los matemáticos les gustaría dejar la filosofía en manos de los filósofos y volver a las matemáticas, donde, presumiblemente, reside la belleza.
En su trabajo sobre la proporción divina , HE Huntley relaciona la sensación de leer y comprender la prueba de un teorema de matemáticas hecha por otra persona con la de quien observa una obra maestra de arte; el lector de una prueba tiene una sensación similar de euforia al comprenderla. el autor original de la prueba, del mismo modo que, sostiene, el espectador de una obra maestra tiene una sensación de euforia similar a la del pintor o escultor original. De hecho, uno puede estudiar los escritos matemáticos y científicos como literatura .
Philip J. Davis y Reuben Hersh han comentado que el sentido de la belleza matemática es universal entre los matemáticos en ejercicio. A modo de ejemplo, proporcionan dos pruebas de la irracionalidad de √ 2 . La primera es la tradicional prueba por contradicción , atribuida a Euclides ; la segunda es una prueba más directa que involucra el teorema fundamental de la aritmética y que, según ellos, llega al meollo de la cuestión. Davis y Hersh sostienen que los matemáticos encuentran la segunda prueba más atractiva desde el punto de vista estético porque se acerca más a la naturaleza del problema.
Paul Erdős era bien conocido por su noción de un "libro" hipotético que contenía las pruebas matemáticas más elegantes o bellas. No existe un acuerdo universal en que un resultado tenga una prueba "más elegante"; Gregory Chaitin se ha opuesto a esta idea.
Los filósofos a veces han criticado el sentido de la belleza o la elegancia de los matemáticos por estar, en el mejor de los casos, vagamente expresado. Sin embargo, de la misma manera, los filósofos de las matemáticas han tratado de caracterizar qué hace que una prueba sea más deseable que otra cuando ambas son lógicamente sólidas.
Otro aspecto de la estética relacionada con las matemáticas son las opiniones de los matemáticos sobre los posibles usos de las matemáticas para fines considerados poco éticos o inapropiados. La exposición más conocida de este punto de vista se produce en el libro de GH Hardy A Mathematician's Apology , en el que Hardy sostiene que las matemáticas puras son superiores en belleza a las matemáticas aplicadas precisamente porque no pueden usarse para la guerra y fines similares.
