De dónde vienen las matemáticas: cómo la mente encarnada crea las matemáticas (en adelante WMCF ) es un libro de George Lakoff , lingüista cognitivo , y Rafael E. Núñez , psicólogo . Publicado en 2000, WMCF busca fundar una ciencia cognitiva de las matemáticas , una teoría de las matemáticas encarnadas basada en la metáfora conceptual .
Las matemáticas constituyen esa parte del sistema conceptual humano que es especial en el siguiente sentido:
Nikolai Lobachevsky dijo: "No hay ninguna rama de las matemáticas, por abstracta que sea, que no pueda algún día ser aplicada a los fenómenos del mundo real". Un tipo común de proceso de combinación de conceptos parecería aplicarse a toda la procesión matemática.
El propósito declarado de Lakoff y Núñez es comenzar a sentar las bases para una comprensión verdaderamente científica de las matemáticas, basada en procesos comunes a toda la cognición humana. Descubrieron que cuatro procesos distintos pero relacionados estructuran metafóricamente la aritmética básica: la recolección de objetos, la construcción de objetos, el uso de una vara de medir y el avance a lo largo de un camino.
El WMCF se basa en libros anteriores de Lakoff (1987) y Lakoff y Johnson (1980, 1999), que analizan estos conceptos de metáfora y esquemas de imágenes de la ciencia cognitiva de segunda generación . Algunos de los conceptos de estos libros anteriores, como las interesantes ideas técnicas de Lakoff (1987), no están presentes en el WMCF .
Lakoff y Núñez sostienen que las matemáticas son el resultado del aparato cognitivo humano y, por lo tanto, deben entenderse en términos cognitivos. WMCF defiende (e incluye algunos ejemplos de) un análisis cognitivo de las ideas matemáticas que analiza las ideas matemáticas en términos de las experiencias humanas, metáforas, generalizaciones y otros mecanismos cognitivos que las originan. Una educación matemática estándar no desarrolla tales técnicas de análisis de ideas porque no busca consideraciones sobre A) qué estructuras de la mente le permiten hacer matemáticas o B) la filosofía de las matemáticas .
Lakoff y Núñez comienzan revisando la literatura psicológica, concluyendo que los seres humanos parecen tener una habilidad innata, llamada subitización , para contar, sumar y restar hasta aproximadamente 4 o 5. Documentan esta conclusión revisando la literatura, publicada en las últimas décadas, que describe experimentos con sujetos infantiles. Por ejemplo, los bebés se emocionan o sienten curiosidad rápidamente cuando se les presentan situaciones "imposibles", como que aparezcan tres juguetes cuando inicialmente solo había dos presentes.
Los autores sostienen que las matemáticas van mucho más allá de este nivel elemental debido a una gran cantidad de construcciones metafóricas . Por ejemplo, la posición pitagórica de que todo es número y la crisis de confianza asociada que surgió con el descubrimiento de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos , surge únicamente de una relación metafórica entre la longitud de la diagonal de un cuadrado y la cantidad posible de objetos.
Gran parte de WMCF trata de los conceptos importantes de infinito y de procesos límite, buscando explicar cómo los humanos finitos que viven en un mundo finito podrían en última instancia concebir el infinito real . Por lo tanto, gran parte de WMCF es, en efecto, un estudio de los fundamentos epistemológicos del cálculo . Lakoff y Núñez concluyen que, si bien el infinito potencial no es metafórico, el infinito real sí lo es. Además, consideran que todas las manifestaciones del infinito real son instancias de lo que ellos llaman la "metáfora básica del infinito", representada por la secuencia cada vez mayor 1, 2, 3, ...
La WMCF rechaza enfáticamente la filosofía platónica de las matemáticas . Hace hincapié en que todo lo que sabemos y podemos saber es matemática humana , la matemática que surge del intelecto humano. La pregunta de si existe una matemática "trascendente" independiente del pensamiento humano es una pregunta sin sentido, como preguntar si los colores son trascendentes al pensamiento humano: los colores son solo longitudes de onda de luz variables, es nuestra interpretación de los estímulos físicos lo que los convierte en colores.
WMCF (p. 81) critica asimismo el énfasis que los matemáticos ponen en el concepto de cierre . Lakoff y Núñez sostienen que la expectativa de cierre es un artefacto de la capacidad de la mente humana para relacionar conceptos fundamentalmente diferentes a través de metáforas.
El objetivo principal de WMCF es proponer y establecer una visión alternativa de las matemáticas, que fundamente el campo de estudio en las realidades de la biología y la experiencia humanas. No es un trabajo de matemáticas técnicas ni de filosofía. Lakoff y Núñez no son los primeros en afirmar que los enfoques convencionales de la filosofía de las matemáticas son defectuosos. Por ejemplo, no parecen estar muy familiarizados con el contenido de Davis y Hersh (1981), aunque el libro reconoce calurosamente el apoyo de Hersh.
Lakoff y Núñez citan a Saunders Mac Lane (el inventor, junto con Samuel Eilenberg , de la teoría de categorías ) en apoyo de su postura. Matemáticas, forma y función (1986), una visión general de las matemáticas destinada a los filósofos, propone que los conceptos matemáticos se basan en última instancia en actividades humanas ordinarias, en su mayoría interacciones con el mundo físico. [1]
Las metáforas conceptuales descritas en WMCF , además de la Metáfora Básica del Infinito, incluyen:
El razonamiento matemático requiere variables que abarquen un universo de discurso , de modo que podamos razonar sobre generalidades en lugar de simplemente sobre particularidades. WMCF sostiene que razonar con tales variables se basa implícitamente en lo que denomina la metonimia fundamental del álgebra.
WMCF (p. 151) incluye el siguiente ejemplo de lo que los autores denominan "ambigüedad metafórica". Tomemos el conjunto. Luego recordemos dos fragmentos de terminología estándar de la teoría de conjuntos elemental :
Por (1), A es el conjunto {1,2}. Pero (1) y (2) juntas dicen que A es también el par ordenado (0,1). Ambas afirmaciones no pueden ser correctas; el par ordenado (0,1) y el par desordenado {1,2} son conceptos completamente distintos. Lakoff y Johnson (1999) califican esta situación de "metafóricamente ambigua". Este sencillo ejemplo pone en tela de juicio cualquier fundamento platónico de las matemáticas.
Si bien (1) y (2) anteriores son ciertamente canónicos, especialmente dentro de la teoría de conjuntos de consenso conocida como la axiomatización de Zermelo-Fraenkel , WMCF no deja entrever que son solo una de varias definiciones que se han propuesto desde el amanecer de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, Frege , Principia Mathematica y New Foundations (un cuerpo de teoría de conjuntos axiomáticos iniciado por Quine en 1937) definen cardinales y ordinales como clases de equivalencia bajo las relaciones de equinumerosidad y semejanza , de modo que este enigma no surge. En la teoría de conjuntos de Quine, A es simplemente una instancia del número 2. Por razones técnicas, definir el par ordenado como en (2) anterior es complicado en la teoría de conjuntos de Quine. Se han propuesto dos soluciones:
El "Romance de las Matemáticas" es el término desenfadado que utiliza WMCF para designar un punto de vista filosófico perenne sobre las matemáticas que los autores describen y luego descartan como un mito intelectual :
No está muy claro si la WMCF acabará siendo el comienzo de una nueva escuela en la filosofía de las matemáticas . Por ello, el principal valor de la WMCF hasta el momento puede ser crítico: su crítica del platonismo y el romanticismo en las matemáticas.
Muchos matemáticos en activo se resisten al enfoque y las conclusiones de Lakoff y Núñez. Las revisiones del WMCF por parte de matemáticos en revistas profesionales, si bien a menudo respetan su enfoque en las estrategias conceptuales y las metáforas como caminos para comprender las matemáticas, han objetado algunos de los argumentos filosóficos del WMCF con el argumento de que los enunciados matemáticos tienen significados "objetivos" duraderos. [2] Por ejemplo, el Último Teorema de Fermat significa exactamente lo que significaba cuando Fermat lo propuso inicialmente en 1664. Otros revisores han señalado que se pueden emplear múltiples estrategias conceptuales en relación con el mismo término definido matemáticamente, a menudo por la misma persona (un punto que es compatible con la visión de que rutinariamente entendemos el "mismo" concepto con diferentes metáforas). La metáfora y la estrategia conceptual no son lo mismo que la definición formal que emplean los matemáticos. Sin embargo, el WMCF señala que las definiciones formales se construyen utilizando palabras y símbolos que tienen significado solo en términos de la experiencia humana.
Las críticas a WMCF incluyen lo humorístico:
Me resulta difícil concebir una metáfora para un número real elevado a una potencia compleja, pero si existe alguna, me gustaría verla. — Joseph Auslander [3]
y los informados físicamente:
Pero su análisis deja al menos un par de preguntas sin respuesta suficiente. Por un lado, los autores ignoran el hecho de que los cerebros no sólo observan la naturaleza, sino que también son parte de ella. Tal vez las matemáticas que inventan los cerebros adoptan la forma que adoptan porque las matemáticas participaron en la formación de los cerebros en primer lugar (a través del funcionamiento de las leyes naturales que restringen la evolución de la vida). Además, una cosa es ajustar ecuaciones a aspectos de la realidad que ya se conocen, y otra muy distinta es que esas matemáticas hablen de fenómenos que nunca antes se habían sospechado. Cuando las ecuaciones de Paul Dirac que describían los electrones produjeron más de una solución, supuso que la naturaleza debía poseer otras partículas, ahora conocidas como antimateria. Pero los científicos no descubrieron esas partículas hasta que las matemáticas de Dirac le dijeron que debían existir. Si las matemáticas son una invención humana, la naturaleza parece saber qué se iba a inventar. [3]
Lakoff y Núñez tienden a desestimar las opiniones negativas que los matemáticos han expresado sobre WMCF , porque sus críticos no aprecian los conocimientos de la ciencia cognitiva. Lakoff y Núñez sostienen que su argumento solo puede entenderse utilizando los descubrimientos de las últimas décadas sobre la forma en que los cerebros humanos procesan el lenguaje y el significado. Argumentan que cualquier argumento o crítica que no se base en esta comprensión no puede abordar el contenido del libro. [4]
Se ha señalado que no está del todo claro que el WMCF establezca que la afirmación de que "la vida extraterrestre inteligente tendría capacidad matemática" sea un mito. Para ello, sería necesario demostrar que la inteligencia y la capacidad matemática son separables, y esto no se ha hecho. En la Tierra, la inteligencia y la capacidad matemática parecen ir de la mano en todas las formas de vida, como ha señalado Keith Devlin , entre otros. [5] Los autores del WMCF no han explicado en qué sentido esta situación sería (o incluso podría ser) diferente en cualquier otro lugar.
Lakoff y Núñez también parecen no apreciar hasta qué punto los intuicionistas y constructivistas han presagiado su ataque al Romance de las Matemáticas (platónicas). Brouwer , el fundador del punto de vista intuicionista / constructivista , en su disertación Sobre el fundamento de las matemáticas , argumentó que las matemáticas eran una construcción mental, una creación libre de la mente y totalmente independiente de la lógica y el lenguaje. Continúa criticando a los formalistas por construir estructuras verbales que se estudian sin interpretación intuitiva. El lenguaje simbólico no debe confundirse con las matemáticas; refleja, pero no contiene, la realidad matemática. [6]
Los educadores se han interesado en lo que WMCF sugiere acerca de cómo se aprenden las matemáticas y por qué los estudiantes encuentran algunos conceptos elementales más difíciles que otros.
Sin embargo, incluso desde una perspectiva educativa, la WMCF sigue siendo problemática. Desde el punto de vista de la teoría de la metáfora conceptual, las metáforas residen en un ámbito diferente, el abstracto, del del "mundo real", el concreto. En otras palabras, a pesar de su afirmación de que las matemáticas son humanas, el conocimiento matemático establecido -que es lo que aprendemos en la escuela- se supone y se trata como abstracto, completamente separado de su origen físico. No puede explicar la forma en que los estudiantes podrían acceder a ese conocimiento. [7]
El enfoque monista de la WMCF también es criticado. En primer lugar, ignora el hecho de que la experiencia sensoriomotora en la que se supone que se basa nuestra estructura lingüística (es decir, las matemáticas) puede variar según las culturas y las situaciones. [8] En segundo lugar, las matemáticas de las que se ocupa la WMCF son "casi en su totalidad... enunciados estándar en los libros de texto y los programas de estudio", [8] que constituyen el cuerpo de conocimientos mejor establecido. Es negligente con la naturaleza dinámica y diversa de la historia de las matemáticas.
El enfoque logocéntrico de WMCF es otro blanco de críticas. Si bien se interesa predominantemente en la asociación entre el lenguaje y las matemáticas, no tiene en cuenta cómo los factores no lingüísticos contribuyen al surgimiento de ideas matemáticas (por ejemplo, véase Radford, 2009; [9] Rotman, 2008 [10] ).
El WMCF (págs. 378-79) concluye con algunos puntos clave, algunos de los cuales se presentan a continuación. Las matemáticas surgen de nuestros cuerpos y cerebros, de nuestras experiencias cotidianas y de las preocupaciones de las sociedades y culturas humanas. Son:
El enfoque cognitivo de los sistemas formales , tal como se describe e implementa en WMCF , no necesita limitarse a las matemáticas, sino que también debería resultar fructífero cuando se aplica a la lógica formal y a la filosofía formal, como la teoría de los objetos abstractos de Edward Zalta . Lakoff y Johnson (1999) emplean fructíferamente el enfoque cognitivo para repensar gran parte de la filosofía de la mente , la epistemología , la metafísica y la historia de las ideas .
