Las distribuciones normales son importantes en estadística y a menudo se utilizan en las ciencias naturales y sociales para representar variables aleatorias de valor real cuyas distribuciones se desconocen. [2] [3] Su importancia se debe en parte al teorema del límite central . Afirma que, bajo algunas condiciones, el promedio de muchas muestras (observaciones) de una variable aleatoria con media y varianza finitas es en sí misma una variable aleatoria, cuya distribución converge a una distribución normal a medida que aumenta el número de muestras. Por lo tanto, las cantidades físicas que se espera que sean la suma de muchos procesos independientes, como los errores de medición , a menudo tienen distribuciones casi normales. [4]
Además, las distribuciones gaussianas tienen algunas propiedades únicas que son valiosas en estudios analíticos. Por ejemplo, cualquier combinación lineal de una colección fija de desviaciones normales independientes es una desviación normal. Muchos resultados y métodos, como la propagación de la incertidumbre y el ajuste de parámetros por mínimos cuadrados [5] , pueden derivarse analíticamente de forma explícita cuando las variables relevantes se distribuyen normalmente.
Una distribución normal a veces se denomina informalmente curva de campana . [6] Sin embargo, muchas otras distribuciones tienen forma de campana (como las distribuciones de Cauchy , t de Student y logísticas ). Para otros nombres, consulte Nomenclatura .
El caso más simple de una distribución normal se conoce como distribución normal estándar o distribución normal unitaria . Este es un caso especial cuando y , y se describe mediante esta función de densidad de probabilidad (o densidad):
la variable tiene una media de 0 y una varianza y desviación estándar de 1. La densidad tiene su pico en y puntos de inflexión en y .
Aunque la densidad anterior se conoce más comúnmente como normal estándar, algunos autores han utilizado ese término para describir otras versiones de la distribución normal. Carl Friedrich Gauss , por ejemplo, una vez definió la normal estándar como
la que tiene una varianza de 1/2, y Stephen Stigler [7] una vez definió la normal estándar como
la que tiene una forma funcional simple y una varianza de
Distribución normal general
Cada distribución normal es una versión de la distribución normal estándar, cuyo dominio ha sido ampliado por un factor (la desviación estándar) y luego traducido por (el valor medio):
La densidad de probabilidad debe ampliarse para que la integral siga siendo 1.
Si es una desviación normal estándar , entonces tendrá una distribución normal con valor esperado y desviación estándar . Esto equivale a decir que la distribución normal estándar se puede escalar/estirar por un factor de y desplazarse para producir una distribución normal diferente, llamada . Por el contrario, si es una desviación normal con parámetros y , entonces esta distribución se puede volver a escalar y cambiar mediante la fórmula para convertirla a la distribución normal estándar. Esta variante también se llama forma estandarizada de .
Notación
La densidad de probabilidad de la distribución gaussiana estándar (distribución normal estándar, con media cero y varianza unitaria) a menudo se denota con la letra griega ( phi ). [8] La forma alternativa de la letra griega phi, también se utiliza con bastante frecuencia.
La distribución normal a menudo se denomina o . [9] Por lo tanto, cuando una variable aleatoria se distribuye normalmente con media y desviación estándar , se puede escribir
Parametrizaciones alternativas
Algunos autores abogan por utilizar la precisión como parámetro que define el ancho de la distribución, en lugar de la desviación estándar o la varianza . La precisión normalmente se define como el recíproco de la varianza, . [10] La fórmula para la distribución entonces se convierte en
Se afirma que esta elección tiene ventajas en los cálculos numéricos cuando está muy cerca de cero y simplifica las fórmulas en algunos contextos, como en la inferencia bayesiana de variables con distribución normal multivariada .
Alternativamente, el recíproco de la desviación estándar podría definirse como la precisión , en cuyo caso la expresión de la distribución normal se convierte en
Según Stigler, esta formulación es ventajosa debido a una fórmula mucho más simple y fácil de recordar, y a fórmulas aproximadas simples para los cuantiles de la distribución.
Las distribuciones normales forman una familia exponencial con parámetros naturales y y estadísticas naturales x y x 2 . Los parámetros de expectativa dual para la distribución normal son η 1 = μ y η 2 = μ 2 + σ 2 .
Función de distribución acumulativa
La función de distribución acumulativa (CDF) de la distribución normal estándar, generalmente denotada con la letra griega mayúscula ( phi ), es la integral
Función de error
La función de error relacionada proporciona la probabilidad de una variable aleatoria, con una distribución normal de media 0 y varianza 1/2 en el rango . Eso es:
Estas integrales no se pueden expresar en términos de funciones elementales y, a menudo, se dice que son funciones especiales . Sin embargo, se conocen muchas aproximaciones numéricas; consulte a continuación para obtener más información.
Las dos funciones están estrechamente relacionadas, a saber
Para una distribución normal genérica con densidad , media y varianza , la función de distribución acumulativa es
El complemento de la función de distribución acumulativa normal estándar, a menudo se denomina función Q , especialmente en los textos de ingeniería. [11] [12] Da la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria normal estándar supere : . Ocasionalmente también se utilizan otras definiciones de la función -, todas las cuales son transformaciones simples de . [13]
La gráfica de la función de distribución acumulativa normal estándar tiene simetría rotacional doble alrededor del punto (0,1/2); eso es, . Su antiderivada (integral indefinida) se puede expresar de la siguiente manera:
La función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar se puede ampliar integrando por partes en una serie:
Se puede encontrar una aproximación rápida a la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar utilizando una aproximación de la serie de Taylor:
Cálculo recursivo con expansión de la serie de Taylor.
La naturaleza recursiva de la familia de derivadas se puede utilizar para construir fácilmente una expansión de la serie de Taylor rápidamente convergente utilizando entradas recursivas sobre cualquier punto de valor conocido de la distribución :
dónde:
Usando la serie de Taylor y el método de Newton para la función inversa
Una aplicación para la expansión de la serie de Taylor anterior es utilizar el método de Newton para invertir el cálculo. Es decir, si tenemos un valor para la función de distribución acumulativa , pero no sabemos la x necesaria para obtener , podemos usar el método de Newton para encontrar x y usar la expansión en serie de Taylor anterior para minimizar el número de cálculos. El método de Newton es ideal para resolver este problema porque la primera derivada de , que es una integral de la distribución estándar normal, es la distribución estándar normal y está fácilmente disponible para usar en la solución del método de Newton.
Para resolver, seleccione una solución aproximada conocida, , a la deseada . puede ser un valor de una tabla de distribución o una estimación inteligente seguida de un cálculo utilizando cualquier medio deseado para calcular. Utilice este valor de y la expansión de la serie de Taylor anterior para minimizar los cálculos.
Repita el siguiente proceso hasta que la diferencia entre el calculado y el deseado , que llamaremos , esté por debajo de un error elegido aceptablemente pequeño, como 10 −5 , 10 −15 , etc.:
dónde
es la solución de una serie de Taylor usando y
Cuando los cálculos repetidos convergen a un error por debajo del valor aceptablemente pequeño elegido, x será el valor necesario para obtener a del valor deseado, .
Desviación estándar y cobertura
Para la distribución normal, los valores menores a una desviación estándar de la media representan el 68,27% del conjunto; mientras que dos desviaciones estándar de la media representan el 95,45%; y tres desviaciones estándar representan el 99,73%.
Alrededor del 68% de los valores extraídos de una distribución normal están dentro de una desviación estándar σ de la media; alrededor del 95% de los valores se encuentran dentro de dos desviaciones estándar; y alrededor del 99,7% están dentro de tres desviaciones estándar. [6] Este hecho se conoce como regla (empírica) 68–95–99,7 o regla de 3 sigma .
Más precisamente, la probabilidad de que una desviación normal se encuentre en el rango entre y está dada por
Para 12 dígitos significativos, los valores son: [ cita necesaria ]
Para grandes , se puede utilizar la aproximación .
Función cuantil
La función cuantil de una distribución es la inversa de la función de distribución acumulativa. La función cuantil de la distribución normal estándar se llama función probit y se puede expresar en términos de la función de error inversa :
Para una variable aleatoria normal con media y varianza , la función cuantil es
El cuantil de la distribución normal estándar se denota comúnmente como . Estos valores se utilizan en pruebas de hipótesis , construcción de intervalos de confianza y gráficos Q–Q . Una variable aleatoria normal excederá con probabilidad y quedará fuera del intervalo con probabilidad . En particular, el cuantil es 1,96 ; por lo tanto, una variable aleatoria normal estará fuera del intervalo sólo en el 5% de los casos.
La siguiente tabla proporciona el cuantil que se encontrará en el rango con una probabilidad específica . Estos valores son útiles para determinar el intervalo de tolerancia para promedios muestrales y otros estimadores estadísticos con distribuciones normales (o asintóticamente normales). [15] La siguiente tabla muestra , no como se define anteriormente.
La distribución normal es la única distribución cuyos cumulantes más allá de las dos primeras (es decir, distintos de la media y la varianza ) son cero. También es la distribución continua con la entropía máxima para una media y varianza específicas. [16] [17] Geary ha demostrado, suponiendo que la media y la varianza son finitas, que la distribución normal es la única distribución donde la media y la varianza calculadas a partir de un conjunto de sorteos independientes son independientes entre sí. [18] [19]
La distribución normal es una subclase de las distribuciones elípticas . La distribución normal es simétrica con respecto a su media y no es cero en toda la recta real. Como tal, puede no ser un modelo adecuado para variables que son inherentemente positivas o fuertemente sesgadas, como el peso de una persona o el precio de una acción . Estas variables pueden describirse mejor mediante otras distribuciones, como la distribución log-normal o la distribución de Pareto .
El valor de la distribución normal es prácticamente cero cuando el valor se encuentra a más de unas pocas desviaciones estándar de la media (por ejemplo, una extensión de tres desviaciones estándar cubre todo menos el 0,27% de la distribución total). Por lo tanto, puede no ser un modelo apropiado cuando se espera una fracción significativa de valores atípicos (valores que se encuentran a muchas desviaciones estándar de la media) y los mínimos cuadrados y otros métodos de inferencia estadística que son óptimos para variables distribuidas normalmente a menudo se vuelven muy poco confiables cuando se aplican. a tales datos. En esos casos, se debe asumir una distribución de colas más pesadas y aplicar los métodos de inferencia estadística robustos apropiados .
La distribución gaussiana pertenece a la familia de distribuciones estables que son los atractores de sumas de distribuciones independientes distribuidas idénticamente, independientemente de que la media o la varianza sean finitas o no. Excepto la gaussiana, que es un caso límite, todas las distribuciones estables tienen colas pesadas y varianza infinita. Es una de las pocas distribuciones que son estables y que tienen funciones de densidad de probabilidad que pueden expresarse analíticamente, siendo las otras la distribución de Cauchy y la distribución de Lévy .
Simetrías y derivadas
La distribución normal con densidad (media y varianza ) tiene las siguientes propiedades:
Es simétrico alrededor del punto que es al mismo tiempo la moda , la mediana y la media de la distribución. [20]
Es unimodal : su primera derivada es positiva para negativa y cero sólo en
El área delimitada por la curva y el eje es la unidad (es decir, igual a uno).
Su primera derivada es
Su segunda derivada es
Su densidad tiene dos puntos de inflexión (donde la segunda derivada de es cero y cambia de signo), ubicados a una desviación estándar de la media, es decir, en y [20]
Además, la densidad de la distribución normal estándar (es decir, y ) también tiene las siguientes propiedades:
Su primera derivada es
Su segunda derivada es
De manera más general, su enésima derivada es donde está el enésimo polinomio de Hermite (probabilista) . [22]
La probabilidad de que una variable con distribución normal conocida y esté en un conjunto particular se puede calcular utilizando el hecho de que la fracción tiene una distribución normal estándar.
Momentos
Los momentos simples y absolutos de una variable son los valores esperados de y , respectivamente. Si el valor esperado de es cero, estos parámetros se denominan momentos centrales; de lo contrario, estos parámetros se denominan momentos no centrales. Normalmente nos interesan sólo los momentos con orden de números enteros .
Si tiene una distribución normal, los momentos no centrales existen y son finitos para cualquiera cuya parte real sea mayor que −1. Para cualquier número entero no negativo , los momentos centrales simples son: [23]
Aquí denota el factorial doble , es decir, el producto de todos los números desde hasta 1 que tienen la misma paridad que
Los momentos centrales absolutos coinciden con los momentos simples para todos los órdenes pares, pero son distintos de cero para los órdenes impares. Para cualquier número entero no negativo
La última fórmula es válida también para cualquier número no entero. Cuando la media, los momentos simples y absolutos se pueden expresar en términos de funciones hipergeométricas confluentes y [24]
La expectativa de condicionada al evento que se encuentra en un intervalo está dada por
donde y respectivamente son la densidad y la función de distribución acumulativa de . A esto se le conoce como relación de Mills inversa . Tenga en cuenta que arriba, se usa la densidad de en lugar de la densidad normal estándar como en la relación de Mills inversa, por lo que aquí tenemos en lugar de .
¿Dónde está la unidad imaginaria ? Si la media , el primer factor es 1, y la transformada de Fourier es, además de un factor constante, una densidad normal en el dominio de la frecuencia , con media 0 y varianza . En particular, la distribución normal estándar es una función propia de la transformada de Fourier.
En teoría de la probabilidad, la transformada de Fourier de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria de valor real está estrechamente relacionada con la función característica de esa variable, que se define como el valor esperado de , en función de la variable real (el parámetro de frecuencia de la transformada de Fourier). Esta definición se puede ampliar analíticamente a una variable de valor complejo . [26] La relación entre ambos es:
Funciones generadoras de momentos y acumuladores
La función generadora de momentos de una variable aleatoria real es el valor esperado de , en función del parámetro real . Para una distribución normal con densidad , media y varianza , la función generadora de momento existe y es igual a
Dado que se trata de un polinomio cuadrático en , sólo los dos primeros cumulantes son distintos de cero, es decir, la media y la varianza .
Algunos autores prefieren trabajar con E[ e itX ] = e iμt − σ 2 t 2 /2 y ln E[ e itX ] = iμt − 1/2 σ 2 t 2 .
Operador Stein y clase
Dentro del método de Stein el operador Stein y la clase de una variable aleatoria son y la clase de todas las funciones absolutamente continuas .
Límite de variación cero
En el límite cuando tiende a cero, la densidad de probabilidad eventualmente tiende a cero en cualquier , pero crece sin límite si , mientras que su integral permanece igual a 1. Por lo tanto, la distribución normal no puede definirse como una función ordinaria cuando .
Sin embargo, se puede definir la distribución normal con varianza cero como una función generalizada ; específicamente, como una función delta de Dirac traducida por la media , es decir,
su función de distribución acumulativa es entonces la función escalonada de Heaviside traducida por la media , es decir
Entropía máxima
De todas las distribuciones de probabilidad sobre los reales con una media finita y una varianza finitas especificadas , la distribución normal es la que tiene máxima entropía . [27] Para ver esto, sea una variable aleatoria continua con densidad de probabilidad . La entropía de se define como [28] [29] [30]
donde se entiende que es cero siempre que . Esta funcional se puede maximizar, sujeta a las restricciones de que la distribución esté correctamente normalizada y tenga una media y una varianza específicas, mediante el uso de cálculo variacional . Se define una función con tres multiplicadores de Lagrange :
En máxima entropía, una pequeña variación producirá una variación igual a 0:
Dado que esto debe ser válido para cualquier valor pequeño , el factor multiplicador debe ser cero y al resolver se obtiene:
Las restricciones de Lagrange que están correctamente normalizadas y tienen la media y la varianza especificadas se satisfacen si y sólo si , y se eligen de manera que
La entropía de una distribución normal es igual a
la cual es independiente de la media .
Otras propiedades
Si la función característica de alguna variable aleatoria tiene la forma en una vecindad de cero, donde es un polinomio , entonces el teorema de Marcinkiewicz (llamado así por Józef Marcinkiewicz ) afirma que puede ser como mucho un polinomio cuadrático, y por tanto es una variable aleatoria normal. . [31] La consecuencia de este resultado es que la distribución normal es la única distribución con un número finito (dos) de acumuladores distintos de cero .
Si y son conjuntamente normales y no correlacionados , entonces son independientes . El requisito de que y sean conjuntamente normales es esencial; sin él la propiedad no se sostiene. [32] [33] [prueba] Para variables aleatorias no normales, la falta de correlación no implica independencia.
El prior conjugado de la media de una distribución normal es otra distribución normal. [35] Específicamente, si son iid y el anterior es , entonces la distribución posterior para el estimador de será
La familia de distribuciones normales no solo forma una familia exponencial (EF), sino que de hecho forma una familia exponencial natural (NEF) con función de varianza cuadrática ( NEF-QVF ). Muchas propiedades de las distribuciones normales se generalizan a propiedades de las distribuciones NEF-QVF, las distribuciones NEF o las distribuciones EF en general. Las distribuciones NEF-QVF comprenden 6 familias, incluidas las distribuciones Poisson, Gamma, binomial y binomial negativa, mientras que muchas de las familias comunes estudiadas en probabilidad y estadística son NEF o EF.
Si se distribuyen según , entonces . Tenga en cuenta que no existe ninguna suposición de independencia. [37]
Distribuciones relacionadas
Teorema del límite central
A medida que aumenta el número de eventos discretos, la función comienza a parecerse a una distribución normal.Comparación de funciones de densidad de probabilidad, para que la suma de dados justos de 6 caras muestre su convergencia a una distribución normal al aumentar , de acuerdo con el teorema del límite central. En el gráfico inferior derecho, los perfiles suavizados de los gráficos anteriores se redimensionan, se superponen y se comparan con una distribución normal (curva negra).
El teorema del límite central establece que bajo ciertas condiciones (bastante comunes), la suma de muchas variables aleatorias tendrá una distribución aproximadamente normal. Más específicamente, donde hay variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con la misma distribución arbitraria, media cero y varianza y su media está escalada por
Entonces, a medida que aumenta, la distribución de probabilidad de tenderá a la distribución normal con media y varianza cero .
El teorema se puede extender a variables que no son independientes y/o no están distribuidas idénticamente si se imponen ciertas restricciones al grado de dependencia y a los momentos de las distribuciones.
Muchas estadísticas de prueba , puntuaciones y estimadores que se encuentran en la práctica contienen sumas de ciertas variables aleatorias, e incluso más estimadores se pueden representar como sumas de variables aleatorias mediante el uso de funciones de influencia . El teorema del límite central implica que esos parámetros estadísticos tendrán distribuciones asintóticamente normales.
El teorema del límite central también implica que ciertas distribuciones pueden aproximarse mediante la distribución normal, por ejemplo:
Que estas aproximaciones sean suficientemente precisas depende del propósito para el que se necesitan y de la tasa de convergencia a la distribución normal. Generalmente ocurre que tales aproximaciones son menos precisas en las colas de la distribución.
El teorema de Berry-Esseen proporciona un límite superior general para el error de aproximación en el teorema del límite central ; las mejoras de la aproximación vienen dadas por las expansiones de Edgeworth .
Este teorema también se puede utilizar para justificar el modelado de la suma de muchas fuentes de ruido uniforme como ruido gaussiano . Véase AWGN .
Operaciones y funciones de variables normales.
a: Densidad de probabilidad de una función de una variable normal con y . b: Densidad de probabilidad de una función de dos variables normales y , donde , , , y . c: Mapa de calor de la densidad de probabilidad conjunta de dos funciones de dos variables normales correlacionadas y , donde , , , y . d: Densidad de probabilidad de una función de 4 variables normales estándar iid. Estos se calculan mediante el método numérico de trazado de rayos. [39]
Si se distribuye normalmente con media y varianza , entonces
, para cualquier número real y , también tiene una distribución normal, con media y varianza . Es decir, la familia de distribuciones normales está cerrada bajo transformaciones lineales .
Operaciones sobre dos variables normales independientes
Si y son dos variables aleatorias normales independientes , con medias y varianzas , entonces su suma también estará distribuida normalmente, [prueba] con media y varianza .
En particular, si y son desviaciones normales independientes con media y varianza cero , entonces y también son independientes y están distribuidas normalmente, con media y varianza cero . Este es un caso especial de identidad de polarización . [40]
Si son dos desviaciones normales independientes con media y varianza , y son números reales arbitrarios, entonces la variable también se distribuye normalmente con media y varianza . De ello se deduce que la distribución normal es estable (con exponente ).
Si , son distribuciones normales, entonces su media geométrica normalizada es una distribución normal con y (ver aquí para una visualización).
Operaciones con dos variables normales estándar independientes
Si y son dos variables aleatorias normales estándar independientes con media 0 y varianza 1, entonces
Su suma y diferencia se distribuye normalmente con media cero y varianza dos: .
Operaciones sobre múltiples variables normales independientes.
Cualquier combinación lineal de desviaciones normales independientes es una desviación normal.
Si son variables aleatorias normales estándar independientes, entonces la suma de sus cuadrados tiene la distribución chi-cuadrado con grados de libertad.
Si , son variables aleatorias normales estándar independientes, entonces la relación de sus sumas de cuadrados normalizadas tendrá la distribución F con ( n , m ) grados de libertad: [44]
Operaciones sobre múltiples variables normales correlacionadas
Una forma cuadrática de un vector normal, es decir, una función cuadrática de múltiples variables normales independientes o correlacionadas, es una variable chi-cuadrado generalizada .
Operaciones sobre la función de densidad.
La distribución normal dividida se define más directamente en términos de unir secciones escaladas de las funciones de densidad de diferentes distribuciones normales y reescalar la densidad para integrarla en una. La distribución normal truncada resulta del cambio de escala de una sección de una función de densidad única.
Divisibilidad infinita y teorema de Cramér
Para cualquier número entero positivo , cualquier distribución normal con media y varianza es la distribución de la suma de desviaciones normales independientes, cada una con media y varianza . Esta propiedad se llama divisibilidad infinita . [45]
Por el contrario, si y son variables aleatorias independientes y su suma tiene una distribución normal, entonces ambas y deben ser normales se desvían. [46]
Este resultado se conoce como teorema de descomposición de Cramér , y equivale a decir que la convolución de dos distribuciones es normal si y sólo si ambas son normales. El teorema de Cramér implica que una combinación lineal de variables independientes no gaussianas nunca tendrá una distribución exactamente normal, aunque puede acercarse arbitrariamente a ella. [31]
El teorema de Kac-Bernstein
El teorema de Kac-Bernstein establece que si y son independientes y y también son independientes, entonces tanto X como Y necesariamente deben tener distribuciones normales. [47] [48]
De manera más general, si son variables aleatorias independientes, entonces dos combinaciones lineales distintas serán independientes si y solo si todas son normales y , donde denota la varianza de . [47]
Extensiones
La noción de distribución normal, al ser una de las distribuciones más importantes en la teoría de la probabilidad, se ha extendido mucho más allá del marco estándar del caso univariado (es decir, unidimensional) (Caso 1). Todas estas extensiones también se denominan leyes normales o gaussianas , por lo que existe cierta ambigüedad en los nombres.
La distribución normal multivariada describe la ley de Gauss en el espacio euclidiano de k dimensiones . Un vector X ∈ R k tiene distribución normal multivariada si cualquier combinación lineal de sus componentes Σk j = 1a j X j tiene una distribución normal (univariada). La varianza de X es una matriz V definida positiva simétrica k×k . La distribución normal multivariada es un caso especial de las distribuciones elípticas . Como tal, sus lugares geométricos de isodensidad en el caso k = 2 son elipses y en el caso de k arbitrarioson elipsoides .
Distribución gaussiana rectificada una versión rectificada de la distribución normal con todos los elementos negativos restablecidos a 0
La distribución normal compleja se ocupa de los vectores normales complejos. Se dice que un vector complejo X ∈ C k es normal si sus componentes real e imaginario poseen conjuntamente una distribución normal multivariada de 2 k dimensiones. La estructura de varianza-covarianza de X se describe mediante dos matrices: la matriz de varianza Γ y la matriz de relación C.
Los procesos gaussianos son procesos estocásticos distribuidos normalmente . Estos pueden verse como elementos de algún espacio de Hilbert H de dimensión infinita y, por lo tanto, son análogos de los vectores normales multivariados para el caso k = ∞ . Un elemento aleatorio h ∈ H se dice que es normal si para cualquier constante a ∈ H el producto escalar ( a , h ) tiene una distribución normal (univariada). La estructura de varianza de dicho elemento aleatorio gaussiano se puede describir en términos del operador de covarianza lineal K: H → H. Varios procesos gaussianos se hicieron lo suficientemente populares como para tener sus propios nombres:
Una variable aleatoria X tiene una distribución normal de dos partes si tiene una distribución
donde μ es la media y σ 1 2 y σ 2 2 son las varianzas de la distribución a la izquierda y derecha de la media respectivamente.
Se han determinado la media, la varianza y el tercer momento central de esta distribución [49]
donde E( X ), V( X ) y T( X ) son la media, la varianza y el tercer momento central respectivamente.
Uno de los principales usos prácticos de la ley de Gauss es modelar las distribuciones empíricas de muchas variables aleatorias diferentes que se encuentran en la práctica. En tal caso, una posible extensión sería una familia de distribuciones más rica, que tuviera más de dos parámetros y, por lo tanto, pudiera ajustarse a la distribución empírica con mayor precisión. Los ejemplos de tales extensiones son:
Distribución de Pearson : una familia de distribuciones de probabilidad de cuatro parámetros que amplían la ley normal para incluir diferentes valores de asimetría y curtosis.
La distribución normal generalizada , también conocida como distribución de potencia exponencial, permite colas de distribución con comportamientos asintóticos más gruesos o más delgados.
Inferencia estadística
Estimación de parámetros
A menudo ocurre que no conocemos los parámetros de la distribución normal, sino que queremos estimarlos . Es decir, teniendo una muestra de una población normal nos gustaría conocer los valores aproximados de los parámetros y . El enfoque estándar para este problema es el método de máxima verosimilitud , que requiere la maximización de la función logarítmica de verosimilitud :Tomar derivadas con respecto a y resolver el sistema resultante de condiciones de primer orden produce las estimaciones de máxima verosimilitud :
Entonces es el siguiente:
Media muestral
El estimador se llama media muestral , ya que es la media aritmética de todas las observaciones. El estadístico es completo y suficiente para , y por lo tanto según el teorema de Lehmann-Scheffé , es el estimador insesgado de varianza mínima uniforme (UMVU). [50] En muestras finitas se distribuye normalmente:
la varianza de este estimador es igual al elemento μμ de la matriz de información de Fisher inversa . Esto implica que el estimador es eficiente para muestras finitas . De importancia práctica es el hecho de que el error estándar de es proporcional a , es decir, si se desea disminuir el error estándar en un factor de 10, se debe aumentar el número de puntos de la muestra en un factor de 100. Este hecho Se utiliza ampliamente para determinar tamaños de muestra para encuestas de opinión y el número de ensayos en simulaciones de Monte Carlo .
El estimador se llama varianza muestral , ya que es la varianza de la muestra ( ). En la práctica, se suele utilizar otro estimador en lugar del . Este otro estimador se denota , y también se llama varianza muestral , lo que representa cierta ambigüedad en la terminología; su raíz cuadrada se llama desviación estándar muestral . El estimador se diferencia de por tener ( n − 1 ) en lugar de n en el denominador (la llamada corrección de Bessel ):
la diferencia entre y se vuelve insignificante para n grandes . Sin embargo, en muestras finitas, la motivación detrás del uso de es que es un estimador insesgado del parámetro subyacente , mientras que está sesgado. Además, según el teorema de Lehmann-Scheffé, el estimador es uniformemente insesgado con varianza mínima ( UMVU ), [50] lo que lo convierte en el "mejor" estimador entre todos los insesgados. Sin embargo, se puede demostrar que el estimador sesgado es mejor que el en términos del criterio del error cuadrático medio (MSE). En muestras finitas, tanto y tienen una distribución chi-cuadrado escalada con ( n − 1) grados de libertad:
la primera de estas expresiones muestra que la varianza de es igual a , que es ligeramente mayor que el elemento σσ de la matriz de información de Fisher inversa. . Por lo tanto, no es un estimador eficiente para , y además, como es UMVU, podemos concluir que el estimador eficiente de muestra finita para no existe.
Aplicando la teoría asintótica, ambos estimadores y son consistentes, es decir, convergen en probabilidad al tamaño de la muestra . Los dos estimadores también son asintóticamente normales:
en particular, ambos estimadores son asintóticamente eficientes para .
Intervalos de confianza
Según el teorema de Cochran , para distribuciones normales la media muestral y la varianza muestral s 2 son independientes , lo que significa que no puede haber ningún beneficio al considerar su distribución conjunta . También hay un teorema inverso: si en una muestra la media muestral y la varianza muestral son independientes, entonces la muestra debe provenir de la distribución normal. La independencia entre y s se puede emplear para construir el llamado estadístico t :
esta cantidad t tiene la distribución t de Student con ( n − 1) grados de libertad y es un estadístico auxiliar (independiente del valor de la parámetros). Invertir la distribución de este estadístico t nos permitirá construir el intervalo de confianza para μ ; [51] de manera similar, invertir la distribución χ 2 del estadístico s 2 nos dará el intervalo de confianza para σ 2 : [52]
donde t k,p y χ2k ,pson los pésimos cuantiles de las distribuciones t y χ 2 respectivamente. Estos intervalos de confianza tienen el nivel de confianza 1 − α , lo que significa que los valores verdaderos μ y σ 2 quedan fuera de estos intervalos con probabilidad (o nivel de significancia ) α . En la práctica, la gente suele tomar α = 5% , lo que da como resultado intervalos de confianza del 95%.
Se pueden derivar fórmulas aproximadas de las distribuciones asintóticas de y s 2 :
Las fórmulas aproximadas se vuelven válidas para valores grandes de n y son más convenientes para el cálculo manual ya que los cuantiles normales estándar z α /2 no dependen de n . En particular, el valor más popular de α = 5% da como resultado | z 0,025 | = 1,96 .
Pruebas de normalidad
Las pruebas de normalidad evalúan la probabilidad de que el conjunto de datos dado { x 1 , ..., x n } provenga de una distribución normal. Normalmente, la hipótesis nula H 0 es que las observaciones se distribuyen normalmente con una media μ y una varianza σ 2 no especificadas , frente a la alternativa H a de que la distribución es arbitraria. Se han ideado muchas pruebas (más de 40) para este problema. Los más destacados se describen a continuación:
Los gráficos de diagnóstico son más atractivos intuitivamente pero subjetivos al mismo tiempo, ya que se basan en el juicio humano informal para aceptar o rechazar la hipótesis nula.
El gráfico Q-Q , también conocido como gráfico de probabilidad normal o gráfico de ranking , es un gráfico de los valores ordenados del conjunto de datos frente a los valores esperados de los cuantiles correspondientes de la distribución normal estándar. Es decir, es una gráfica de punto de la forma (Φ −1 ( p k ), x ( k ) ), donde la gráfica de puntos p k es igual a p k = ( k − α )/( n + 1 − 2 α ) y α es una constante de ajuste, que puede estar entre 0 y 1. Si la hipótesis nula es cierta, los puntos trazados deberían estar aproximadamente en una línea recta.
Gráfico P – P : similar al gráfico Q – Q, pero utilizado con mucha menos frecuencia. Este método consiste en trazar los puntos (Φ( z ( k ) ), p k ), donde . Para datos distribuidos normalmente, este gráfico debe estar en una línea de 45° entre (0, 0) y (1, 1).
Prueba de Shapiro-Wilk : se basa en el hecho de que la línea en el gráfico Q-Q tiene una pendiente de σ . La prueba compara la estimación de mínimos cuadrados de esa pendiente con el valor de la varianza muestral y rechaza la hipótesis nula si estas dos cantidades difieren significativamente.
Pruebas basadas en la función de distribución empírica :
El análisis bayesiano de datos distribuidos normalmente se complica por las muchas posibilidades diferentes que pueden considerarse:
La media, la varianza o ninguna de las dos pueden considerarse una cantidad fija.
Cuando se desconoce la varianza, el análisis se puede realizar directamente en términos de la varianza, o en términos de precisión , el recíproco de la varianza. La razón para expresar las fórmulas en términos de precisión es que se simplifica el análisis de la mayoría de los casos.
Es necesario considerar tanto los casos univariados como los multivariados .
Las fórmulas para los casos de regresión no lineal se resumen en el artículo anterior conjugado .
Suma de dos cuadráticas
forma escalar
La siguiente fórmula auxiliar es útil para simplificar las ecuaciones de actualización posterior , que de otro modo resultan bastante tediosas.
Esta ecuación reescribe la suma de dos cuadráticas en x expandiendo los cuadrados, agrupando los términos en x y completando el cuadrado . Tenga en cuenta lo siguiente acerca de los factores constantes complejos asociados a algunos de los términos:
Esto muestra que se puede considerar que este factor resulta de una situación en la que los recíprocos de las cantidades a y b se suman directamente, por lo que para combinar a y b , es necesario corresponder, sumar y corresponder el resultado nuevamente para volver a las unidades originales. Este es exactamente el tipo de operación realizada por la media armónica , por lo que no es sorprendente que sea la mitad de la media armónica de a y b .
forma vectorial
Se puede escribir una fórmula similar para la suma de dos vectores cuadráticos: si x , y , z son vectores de longitud k , y A y B son matrices simétricas e invertibles de tamaño , entonces
dónde
La forma x ′ A x se llama forma cuadrática y es escalar :
en otras palabras, resume todas las combinaciones posibles de productos de pares de elementos de x , con un coeficiente separado para cada una. Además, dado que , sólo importa la suma para cualquier elemento fuera de la diagonal de A , y no hay pérdida de generalidad al suponer que A es simétrico . Además, si A es simétrica, entonces la forma
Suma de diferencias con respecto a la media.
Otra fórmula útil es la siguiente:
donde
Con varianza conocida
Para un conjunto de puntos de datos iid normalmente distribuidos X de tamaño n donde cada punto x individual sigue con varianza conocida σ 2 , la distribución previa conjugada también se distribuye normalmente.
Esto se puede demostrar más fácilmente reescribiendo la varianza como precisión , es decir, usando τ = 1/σ 2 . Entonces si y procedemos de la siguiente manera.
Primero, la función de probabilidad es (usando la fórmula anterior para la suma de diferencias con respecto a la media):
Luego, procedemos de la siguiente manera:
En la derivación anterior, utilizamos la fórmula anterior para la suma de dos cuadráticas y eliminamos todos los factores constantes que no involucran μ . El resultado es el núcleo de una distribución normal, con media y precisión , es decir
Esto se puede escribir como un conjunto de ecuaciones de actualización bayesianas para los parámetros posteriores en términos de los parámetros anteriores:
Es decir, para combinar n puntos de datos con una precisión total de nτ (o equivalentemente, una varianza total de n / σ 2 ) y la media de los valores , obtenga una nueva precisión total simplemente sumando la precisión total de los datos a la precisión total anterior, y formar una nueva media a través de un promedio ponderado por precisión , es decir, un promedio ponderado de la media de los datos y la media anterior, cada uno ponderado por la precisión total asociada. Esto tiene sentido lógico si se piensa que la precisión indica la certeza de las observaciones: en la distribución de la media posterior, cada uno de los componentes de entrada está ponderado por su certeza, y la certeza de esta distribución es la suma de las certezas individuales. . (Para la intuición de esto, compárese la expresión “el todo es (o no es) mayor que la suma de sus partes”. Además, considere que el conocimiento de lo posterior proviene de una combinación del conocimiento de lo anterior y la verosimilitud. , por lo que tiene sentido que estemos más seguros de ello que de cualquiera de sus componentes).
La fórmula anterior revela por qué es más conveniente realizar un análisis bayesiano de priores conjugados para la distribución normal en términos de precisión. La precisión posterior es simplemente la suma de las precisiones previa y de probabilidad, y la media posterior se calcula mediante un promedio ponderado por precisión, como se describió anteriormente. Las mismas fórmulas se pueden escribir en términos de varianza intercambiando todas las precisiones, lo que produce fórmulas más feas.
Con media conocida
Para un conjunto de puntos de datos iid normalmente distribuidos X de tamaño n donde cada punto individual x sigue con una media μ conocida, el prior conjugado de la varianza tiene una distribución gamma inversa o una distribución chi-cuadrado inversa escalada . Los dos son equivalentes excepto por tener diferentes parametrizaciones . Aunque la gamma inversa se usa más comúnmente, utilizamos el chi-cuadrado inverso escalado por conveniencia. El a priori para σ 2 es el siguiente:
Para un conjunto de puntos de datos iid normalmente distribuidos X de tamaño n donde cada punto individual x sigue con media μ desconocida y varianza desconocida σ 2 , se coloca un prior conjugado combinado (multivariado) sobre la media y la varianza, que consiste en una inversa normal -distribución gamma . Lógicamente esto se origina de la siguiente manera:
Del análisis del caso con media desconocida pero varianza conocida, vemos que las ecuaciones de actualización involucran estadísticas suficientes calculadas a partir de los datos que consisten en la media de los puntos de datos y la varianza total de los puntos de datos, calculada a su vez a partir de la varianza conocida. dividido por el número de puntos de datos.
Del análisis del caso con varianza desconocida pero media conocida, vemos que las ecuaciones de actualización implican suficientes estadísticas sobre los datos que consisten en el número de puntos de datos y la suma de las desviaciones al cuadrado .
Tenga en cuenta que los valores de actualización posterior sirven como distribución previa cuando se manejan más datos. Por lo tanto, lógicamente deberíamos pensar en nuestros antecedentes en términos de las estadísticas suficientes que acabamos de describir, teniendo en cuenta la misma semántica tanto como sea posible.
Para manejar el caso en el que se desconocen tanto la media como la varianza, podríamos colocar antecedentes independientes sobre la media y la varianza, con estimaciones fijas de la media promedio, la varianza total, el número de puntos de datos utilizados para calcular la varianza previa y la suma de las desviaciones al cuadrado. . Sin embargo, tenga en cuenta que, en realidad, la varianza total de la media depende de la varianza desconocida, y la suma de las desviaciones al cuadrado que entran en la varianza anterior (parece) depende de la media desconocida. En la práctica, esta última dependencia es relativamente poco importante: cambiar la media real desplaza los puntos generados en una cantidad igual y, en promedio, las desviaciones al cuadrado seguirán siendo las mismas. Sin embargo, este no es el caso con la varianza total de la media: a medida que aumenta la varianza desconocida, la varianza total de la media aumentará proporcionalmente y nos gustaría capturar esta dependencia.
Esto sugiere que creemos un previo condicional de la media sobre la varianza desconocida, con un hiperparámetro que especifique la media de las pseudoobservaciones asociadas con el anterior y otro parámetro que especifique el número de pseudoobservaciones. Este número sirve como parámetro de escala en la varianza, lo que permite controlar la varianza general de la media en relación con el parámetro de varianza real. El prior para la varianza también tiene dos hiperparámetros, uno que especifica la suma de las desviaciones al cuadrado de las pseudoobservaciones asociadas con el prior y otro que especifica una vez más el número de pseudoobservaciones. Cada uno de los anteriores tiene un hiperparámetro que especifica el número de pseudoobservaciones y, en cada caso, esto controla la varianza relativa de ese anterior. Estos se proporcionan como dos hiperparámetros separados para que la varianza (también conocida como confianza) de los dos anteriores se pueda controlar por separado.
Esto conduce inmediatamente a la distribución gamma normal-inversa , que es el producto de las dos distribuciones que acabamos de definir, con a priori conjugados utilizados (una distribución gamma inversa sobre la varianza y una distribución normal sobre la media, condicionada a la varianza) y con los mismos cuatro parámetros recién definidos.
Los priores normalmente se definen de la siguiente manera:
Las ecuaciones de actualización se pueden derivar y tienen el siguiente aspecto:
Los números respectivos de pseudoobservaciones les suman el número de observaciones reales. El nuevo hiperparámetro medio es nuevamente un promedio ponderado, esta vez ponderado por el número relativo de observaciones. Finalmente, la actualización de es similar al caso con la media conocida, pero en este caso la suma de las desviaciones al cuadrado se toma con respecto a la media de los datos observados en lugar de la media verdadera y, como resultado, es necesario agregar un nuevo término de interacción. para ocuparse de la fuente de error adicional que surge de la desviación entre la media anterior y la media de los datos.
Escribiéndolo en términos de varianza en lugar de precisión, obtenemos:
donde
Por lo tanto, la parte posterior es (eliminando los hiperparámetros como factores condicionantes):
En otras palabras, la distribución posterior tiene la forma de un producto de una distribución normal multiplicada por una distribución gamma inversa , con parámetros que son los mismos que los de las ecuaciones de actualización anteriores.
Ocurrencia y aplicaciones
La aparición de una distribución normal en problemas prácticos se puede clasificar en cuatro categorías:
Distribuciones exactamente normales;
Leyes aproximadamente normales, por ejemplo cuando dicha aproximación está justificada por el teorema del límite central ; y
Distribuciones modeladas como normales: la distribución normal es la distribución con máxima entropía para una media y una varianza determinadas.
Problemas de regresión: la distribución normal se encuentra después de que los efectos sistemáticos se han modelado suficientemente bien.
La posición de una partícula que experimenta difusión . Si inicialmente la partícula está ubicada en un punto específico (es decir, su distribución de probabilidad es la función delta de Dirac ), luego del tiempo t su ubicación se describe mediante una distribución normal con varianza t , que satisface la ecuación de difusión . Si la ubicación inicial viene dada por una determinada función de densidad , entonces la densidad en el momento t es la convolución de g y la función de densidad de probabilidad normal.
Normalidad aproximada
En muchas situaciones se producen distribuciones aproximadamente normales, como lo explica el teorema del límite central . Cuando el resultado es producido por muchos efectos pequeños que actúan de forma aditiva e independiente , su distribución será cercana a la normal. La aproximación normal no será válida si los efectos actúan de forma multiplicativa (en lugar de aditiva), o si existe una única influencia externa que tiene una magnitud considerablemente mayor que el resto de los efectos.
En problemas de conteo, donde el teorema del límite central incluye una aproximación discreta a continua y donde están involucradas distribuciones infinitamente divisibles y descomponibles , como
La radiación térmica tiene una distribución de Bose-Einstein en escalas de tiempo muy cortas y una distribución normal en escalas de tiempo más largas debido al teorema del límite central.
Sólo puedo reconocer la aparición de la curva normal –la curva laplaciana de errores– como un fenómeno muy anormal. Es aproximadamente aproximado en ciertas distribuciones; por esta razón, y debido a su hermosa simplicidad, tal vez podamos utilizarlo como una primera aproximación, particularmente en investigaciones teóricas.
-Pearson (1901)
Existen métodos estadísticos para probar empíricamente esa suposición; consulte la sección anterior de Pruebas de normalidad.
En biología , el logaritmo de varias variables tiende a tener una distribución normal, es decir, tienden a tener una distribución log-normal (después de la separación en subpoblaciones masculinas y femeninas), con ejemplos que incluyen:
Medidas del tamaño del tejido vivo (longitud, altura, área de la piel, peso); [53]
La longitud de los apéndices inertes (pelo, garras, uñas, dientes) de especímenes biológicos, en la dirección del crecimiento ; presumiblemente el espesor de la corteza de los árboles también entra en esta categoría;
Ciertas mediciones fisiológicas, como la presión arterial de humanos adultos.
En finanzas, en particular en el modelo de Black-Scholes , los cambios en el logaritmo de los tipos de cambio, los índices de precios y los índices bursátiles se suponen normales (estas variables se comportan como interés compuesto , no como interés simple, y por lo tanto son multiplicativas). Algunos matemáticos como Benoit Mandelbrot han argumentado que las distribuciones log-Levy , que poseen colas pesadas, serían un modelo más apropiado, en particular para el análisis de caídas del mercado de valores . Nassim Nicholas Taleb también ha criticado en sus obras el uso del supuesto de distribución normal que se da en los modelos financieros .
Los errores de medición en experimentos físicos suelen modelarse mediante una distribución normal. Este uso de una distribución normal no implica que se asuma que los errores de medición están distribuidos normalmente; más bien, usar la distribución normal produce las predicciones más conservadoras posibles, dado solo el conocimiento sobre la media y la varianza de los errores. [54]
En las pruebas estandarizadas , se puede hacer que los resultados tengan una distribución normal seleccionando el número y la dificultad de las preguntas (como en la prueba de CI ) o transformando las puntuaciones brutas de la prueba en puntuaciones de salida ajustándolas a la distribución normal. Por ejemplo, el rango tradicional del SAT de 200 a 800 se basa en una distribución normal con una media de 500 y una desviación estándar de 100.
Distribución normal acumulada ajustada a las precipitaciones de octubre; ver ajuste de distribución
En hidrología, la distribución de la descarga de los ríos o de las precipitaciones de larga duración, por ejemplo, los totales mensuales y anuales, a menudo se considera prácticamente normal según el teorema del límite central . [55] La imagen azul, hecha con CumFreq , ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución normal a las precipitaciones clasificadas de octubre que muestra el cinturón de confianza del 90% basado en la distribución binomial . Los datos de lluvia se representan trazando posiciones como parte del análisis de frecuencia acumulada .
Problemas metodológicos y revisión por pares.
John Ioannidis argumentó que el uso de desviaciones estándar distribuidas normalmente como estándares para validar los resultados de la investigación deja sin probar predicciones falsificables sobre fenómenos que no se distribuyen normalmente. Esto incluye, por ejemplo, fenómenos que sólo aparecen cuando se dan todas las condiciones necesarias y uno no puede sustituir a otro de forma similar a una suma, y fenómenos que no están distribuidos aleatoriamente. Ioannidis sostiene que la validación centrada en la desviación estándar da una falsa apariencia de validez a las hipótesis y teorías en las que algunas, pero no todas, las predicciones falsables se distribuyen normalmente, ya que la parte de las predicciones falsables contra las que existe evidencia puede, y en algunos casos, se encuentran en una distribución no normal. partes distribuidas del rango de predicciones falsificables, así como descartar sin fundamento hipótesis para las cuales ninguna de las predicciones falsificables se distribuye normalmente como si fueran infalsables cuando en realidad hacen predicciones falsificables. Ioannidis sostiene que muchos casos de teorías mutuamente excluyentes que son aceptadas como validadas por revistas de investigación se deben a que las revistas no aceptan falsificaciones empíricas de predicciones no distribuidas normalmente, y no porque las teorías mutuamente excluyentes sean verdaderas, cosa que no pueden hacer. ser, aunque dos teorías mutuamente excluyentes pueden ser erróneas y una tercera correcta. [56]
Métodos computacionales
Generando valores a partir de la distribución normal.
La máquina de frijoles , un dispositivo inventado por Francis Galton , puede considerarse el primer generador de variables aleatorias normales. Esta máquina consta de un tablero vertical con hileras de pasadores intercalados. Se dejan caer pequeñas bolas desde arriba y luego rebotan aleatoriamente hacia la izquierda o hacia la derecha cuando golpean los bolos. Las bolas se recogen en contenedores en la parte inferior y se asientan en un patrón que se asemeja a la curva de Gauss.
En simulaciones por computadora, especialmente en aplicaciones del método Monte-Carlo , a menudo es deseable generar valores que estén distribuidos normalmente. Todos los algoritmos enumerados a continuación generan las desviaciones normales estándar, ya que N ( μ , σ 2 ) se puede generar como X = μ + σZ , donde Z es la normal estándar. Todos estos algoritmos se basan en la disponibilidad de un generador de números aleatorios U capaz de producir variables aleatorias uniformes .
El método más sencillo se basa en la propiedad de transformación integral de probabilidad : si U se distribuye uniformemente en (0,1), entonces Φ −1 ( U ) tendrá la distribución normal estándar. El inconveniente de este método es que se basa en el cálculo de la función probit Φ −1 , que no se puede realizar analíticamente. Algunos métodos aproximados se describen en Hart (1968) y en el artículo de erf . Wichura proporciona un algoritmo rápido para calcular esta función con 16 decimales, [57] que R utiliza para calcular variables aleatorias de la distribución normal.
Un enfoque aproximado fácil de programar que se basa en el teorema del límite central es el siguiente: genere 12 desviaciones U (0,1) uniformes, súmelas todas y reste 6; la variable aleatoria resultante tendrá una distribución normal aproximadamente estándar. En verdad, la distribución será Irwin-Hall , que es una aproximación polinómica de orden undécimo de 12 secciones a la distribución normal. Esta desviación aleatoria tendrá un rango limitado de (−6, 6). [58] Tenga en cuenta que en una distribución normal verdadera, solo el 0,00034% de todas las muestras quedarán fuera de ±6σ.
El método Box-Muller utiliza dos números aleatorios independientes U y V distribuidos uniformemente en (0,1). Entonces las dos variables aleatorias X e Y tendrán la distribución normal estándar y serán independientes . Esta formulación surge porque para un vector aleatorio normal bivariado ( X , Y ) la norma al cuadrado X 2 + Y 2 tendrá la distribución chi-cuadrado con dos grados de libertad, que es una variable aleatoria exponencial fácilmente generada correspondiente a la cantidad −2 ln( U ) en estas ecuaciones; y el ángulo se distribuye uniformemente alrededor del círculo, elegido por la variable aleatoria V.
El método polar de Marsaglia es una modificación del método Box-Muller que no requiere el cálculo de las funciones seno y coseno. En este método, U y V se extraen de la distribución uniforme (−1,1) y luego se calcula S = U 2 + V 2 . Si S es mayor o igual a 1, entonces el método comienza de nuevo; de lo contrario, se devuelven las dos cantidades. Nuevamente, X e Y son variables aleatorias normales estándar e independientes.
El método Ratio [59] es un método de rechazo. El algoritmo procede de la siguiente manera:
Genera dos desvíos uniformes independientes U y V ;
Calcular X = √ 8/ e ( V − 0,5)/ U ;
Opcional: si X 2 ≤ 5 − 4 e 1/4 U entonces acepte X y finalice el algoritmo;
Opcional: si X 2 ≥ 4 e −1,35 / U + 1,4 entonces rechaza X y comienza de nuevo desde el paso 1;
Si X 2 ≤ −4 ln U entonces acepte X ; de lo contrario, comience de nuevo el algoritmo.
Los dos pasos opcionales permiten evitar en la mayoría de los casos la evaluación del logaritmo en el último paso. Estos pasos se pueden mejorar mucho [60] de modo que rara vez se evalúa el logaritmo.
El algoritmo del zigurat [61] es más rápido que la transformada de Box-Muller y sigue siendo exacto. En aproximadamente el 97% de todos los casos utiliza sólo dos números aleatorios, un entero aleatorio y un uniforme aleatorio, una multiplicación y una prueba if. Sólo en el 3% de los casos, donde la combinación de esos dos queda fuera del "núcleo del zigurat" (una especie de muestreo de rechazo que utiliza logaritmos), se deben emplear exponenciales y números aleatorios más uniformes.
La aritmética de enteros se puede utilizar para tomar muestras de la distribución normal estándar. [62] Este método es exacto en el sentido de que satisface las condiciones de aproximación ideal ; [63] es decir, es equivalente a muestrear un número real de la distribución normal estándar y redondearlo al número de punto flotante representable más cercano.
También hay algunas investigaciones [64] sobre la conexión entre la transformada rápida de Hadamard y la distribución normal, ya que la transformada emplea solo suma y resta y, según el teorema del límite central, los números aleatorios de casi cualquier distribución se transformarán en la distribución normal. En este sentido, se puede combinar una serie de transformadas de Hadamard con permutaciones aleatorias para convertir conjuntos de datos arbitrarios en datos distribuidos normalmente.
Aproximaciones numéricas para la función de distribución acumulativa normal y la función cuantil normal
Zelen y Severo (1964) dan la aproximación de Φ( x ) para x > 0 con el error absoluto | ε ( x ) | < 7.5·10 −8 (algoritmo 26.2.17): donde ϕ ( x ) es la función de densidad de probabilidad normal estándar, y b 0 = 0.2316419, b 1 = 0.319381530, b 2 = −0.356563782, b 3 = 1.781477937, b 4 = −1,821255978, segundo 5 = 1,330274429.
Hart (1968) enumera algunas docenas de aproximaciones –mediante funciones racionales, con o sin exponenciales– para la función erfc() . Sus algoritmos varían en el grado de complejidad y la precisión resultante, con una precisión absoluta máxima de 24 dígitos. Un algoritmo de West (2009) combina el algoritmo 5666 de Hart con una aproximación de fracción continua en la cola para proporcionar un algoritmo de cálculo rápido con una precisión de 16 dígitos.
Cody (1969), después de recordar que la solución Hart68 no es adecuada para erf, proporciona una solución tanto para erf como para erfc, con un límite de error relativo máximo, mediante la aproximación racional de Chebyshev .
Marsaglia (2004) sugirió un algoritmo simple [nota 1] basado en la expansión de la serie de Taylor para calcular Φ( x ) con precisión arbitraria. El inconveniente de este algoritmo es el tiempo de cálculo comparativamente lento (por ejemplo, se necesitan más de 300 iteraciones para calcular la función con 16 dígitos de precisión cuando x = 10 ).
Dia (2023) propone la siguiente aproximación de con un error relativo máximo menor que en valor absoluto: for y for ,
Shore (1982) introdujo aproximaciones simples que pueden incorporarse en modelos de optimización estocástica de ingeniería e investigación de operaciones, como ingeniería de confiabilidad y análisis de inventarios. Denotando p = Φ( z ) , la aproximación más simple para la función cuantil es:
Esta aproximación ofrece para z un error absoluto máximo de 0,026 (para 0,5 ≤ p ≤ 0,9999 , correspondiente a 0 ≤ z ≤ 3,719 ). Para p < 1/2 reemplace p por 1 − p y cambie de signo. Otra aproximación, algo menos precisa, es la aproximación de un solo parámetro:
Este último había servido para derivar una aproximación simple para la integral de pérdidas de la distribución normal, definida por
Esta aproximación es particularmente precisa para la cola extrema derecha (error máximo de 10 −3 para z≥1,4). En Shore (2005) se muestran aproximaciones muy precisas para la función de distribución acumulativa, basadas en la metodología de modelado de respuesta (RMM, Shore, 2011, 2012).
Algunas aproximaciones más se pueden encontrar en: Función de error#Aproximación con funciones elementales . En particular, Sergei Winitzki en 2008 logra un pequeño error relativo en todo el dominio para la función de distribución acumulativa y también para la función cuantil mediante una fórmula explícitamente invertible.
Historia
Desarrollo
Algunos autores [65] [66] atribuyen el mérito del descubrimiento de la distribución normal a de Moivre , quien en 1738 [nota 2] publicó en la segunda edición de su La doctrina de las posibilidades el estudio de los coeficientes en la expansión binomial de ( a + b ) n . De Moivre demostró que el término medio de esta expansión tiene la magnitud aproximada de , y que "Si m o 1/2 n ser una Cantidad infinitamente grande, entonces el Logaritmo de la Razón que un Término distante del medio por el Intervalo ℓ , tiene respecto al Término medio, es ." [67] Aunque este teorema puede interpretarse como la primera expresión oscura Para la ley de probabilidad normal, Stigler señala que el propio De Moivre no interpretó sus resultados como nada más que la regla aproximada para los coeficientes binomiales y, en particular, de Moivre carecía del concepto de función de densidad de probabilidad [68] .
En 1823 Gauss publicó su monografía " Theoria combineis observeum erroribus minimis obnoxiae " donde entre otras cosas introduce varios conceptos estadísticos importantes, como el método de mínimos cuadrados , el método de máxima verosimilitud y la distribución normal . Gauss utilizó M , M ′ , M ", ... para denotar las medidas de alguna cantidad desconocida V , y buscó el estimador más probable de esa cantidad: el que maximiza la probabilidad φ ( M − V ) · φ ( M ′ − V ) · φ ( M “ − V ) · ... de obtener los resultados experimentales observados. En su notación, φΔ es la función de densidad de probabilidad de los errores de medición de magnitud Δ. Sin saber cuál es la función φ , Gauss exige que su método se reduzca a la respuesta bien conocida: la media aritmética de los valores medidos. [nota 3] A partir de estos principios, Gauss demuestra que la única ley que racionaliza la elección de la media aritmética como estimador del parámetro de ubicación, es la ley normal de los errores: [69]
donde h es "la medida de la precisión de las observaciones". Utilizando esta ley normal como modelo genérico para los errores en los experimentos, Gauss formula lo que ahora se conoce como el método de mínimos cuadrados ponderados no lineales . [70]
Aunque Gauss fue el primero en sugerir la ley de distribución normal, Laplace hizo importantes contribuciones. [nota 4] Fue Laplace quien planteó por primera vez el problema de agregar varias observaciones en 1774, [71] aunque su propia solución condujo a la distribución laplaciana . Fue Laplace quien calculó por primera vez el valor de la integral ∫ e − t 2 dt = √ π en 1782, proporcionando la constante de normalización para la distribución normal. [72] Finalmente, fue Laplace quien en 1810 demostró y presentó a la academia el teorema central fundamental del límite , que enfatizaba la importancia teórica de la distribución normal. [73]
Es interesante señalar que en 1809 un matemático irlandés-estadounidense, Robert Adrian, publicó dos derivaciones esclarecedoras pero defectuosas de la ley de probabilidad normal, simultánea e independientemente de Gauss. [74] Sus obras pasaron en gran parte desapercibidas para la comunidad científica, hasta que en 1871 fueron exhumadas por Abbe . [75]
A mediados del siglo XIX, Maxwell demostró que la distribución normal no es sólo una herramienta matemática conveniente, sino que también puede ocurrir en fenómenos naturales: [76] El número de partículas cuya velocidad, resuelta en una determinada dirección, se encuentra entre x y x + dx es
Nombrar
Hoy en día, el concepto suele conocerse en inglés como distribución normal o distribución gaussiana . Otros nombres menos comunes incluyen distribución de Gauss, distribución de Laplace-Gauss, ley del error, ley de la facilidad de errores, segunda ley de Laplace y ley de Gauss.
El propio Gauss aparentemente acuñó el término con referencia a las "ecuaciones normales" involucradas en sus aplicaciones, donde normal tiene su significado técnico de ortogonal en lugar de habitual. [77] Sin embargo, a finales del siglo XIX algunos autores [nota 5] habían comenzado a usar el nombre distribución normal , donde la palabra "normal" se usaba como adjetivo; el término ahora se ve como un reflejo del hecho de que esta distribución se consideró típica, común y, por tanto, normal. Peirce (uno de esos autores) definió una vez lo "normal" así: "...lo 'normal' no es el promedio (o cualquier otro tipo de media) de lo que realmente ocurre, sino de lo que , a largo plazo, ocurriría". en determinadas circunstancias". [78] A principios del siglo XX, Pearson popularizó el término normal como designación para esta distribución. [79]
Hace muchos años llamé curva normal a la curva de Laplace-Gauss , cuyo nombre, si bien evita una cuestión de prioridad internacional, tiene la desventaja de llevar a la gente a creer que todas las demás distribuciones de frecuencia son, en un sentido u otro, "anormales".
-Pearson (1920)
Además, fue Pearson quien escribió por primera vez la distribución en términos de la desviación estándar σ como en la notación moderna. Poco después, en el año 1915, Fisher añadió el parámetro de ubicación a la fórmula de distribución normal, expresándolo como se escribe hoy en día:
El término "normal estándar", que denota la distribución normal con media cero y varianza unitaria, entró en uso general alrededor de la década de 1950, apareciendo en los libros de texto populares de P. G. Hoel (1947) Introducción a la estadística matemática y A. M. Mood (1950) Introducción a la Teoría de la Estadística . [80]
↑ De Moivre publicó por primera vez sus hallazgos en 1733, en un folleto Approximatio ad Summam Terminorum Binomii ( a + b ).norteen Seriem Expansi que fue designado únicamente para circulación privada. Pero no fue hasta el año 1738 que hizo públicos sus resultados. El folleto original se reimprimió varias veces; véase, por ejemplo, Walker (1985).
^ "Ciertamente se ha acostumbrado a considerar como un axioma la hipótesis de que si una cantidad ha sido determinada mediante varias observaciones directas, realizadas en las mismas circunstancias y con igual cuidado, la media aritmética de los valores observados proporciona el valor más probable, si no rigurosamente, pero al menos casi, de modo que siempre sea más seguro adherirse a él ". — Gauss (1809, sección 177)
^ "Mi costumbre de denominar a la curva Gauss-Laplaciana o curva normal nos salva de repartir el mérito del descubrimiento entre los dos grandes astrónomos matemáticos". cita de Pearson (1905, p. 189)
↑ Además de los mencionados específicamente aquí, dicho uso se encuentra en las obras de Peirce , Galton (Galton (1889, capítulo V)) y Lexis (Lexis (1878), Rohrbasser & Véron (2003)) c. 1875. [ cita necesaria ]
Referencias
Citas
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