Entropía de Tsallis

En física, la entropía de Tsallis es una generalización de la entropía estándar de Boltzmann-Gibbs . Es proporcional a la expectativa del logaritmo q de una distribución.

Historia

El concepto fue introducido en 1988 por Constantino Tsallis ^[1] como base para generalizar la mecánica estadística estándar y es idéntico en forma a la α-entropía estructural de Havrda-Charvát, ^[2] introducida en 1967 dentro de la teoría de la información .

Definición

Dado un conjunto discreto de probabilidades con la condición y cualquier número real, la entropía de Tsallis se define como ${\displaystyle \{p_{i}\}}$ ${\displaystyle \sum _{i}p_{i}=1}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle S_{q}({p_{i}})=k\cdot {\frac {1}{q-1}}\left(1-\sum _{i}p_{i}^{q}\right),}$

donde es un parámetro real a veces llamado índice entrópico y una constante positiva. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle k}$

En el límite como , se recupera la entropía habitual de Boltzmann-Gibbs, es decir ${\displaystyle q\to 1}$

${\displaystyle S_{\text{BG}}=S_{1}(p)=-k\sum _{i}p_{i}\ln p_{i},}$

donde se identifica con la constante de Boltzmann . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k_{B}}$

Para distribuciones de probabilidad continuas, definimos la entropía como

${\displaystyle S_{q}[p]={1 \over q-1}\left(1-\int (p(x))^{q}\,dx\right),}$

donde es una función de densidad de probabilidad . ${\displaystyle p(x)}$

entropía cruzada

El colgante de entropía cruzada es la expectativa del logaritmo q negativo con respecto a una segunda distribución, . Entonces . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{q-1}}(1-{\textstyle \sum _{i}}p_{i}^{q}\cdot {\tfrac {r_{i}}{p_{i}}})}$

Usando , esto se puede escribir . Para valores más pequeños, todos tienden hacia . ${\displaystyle t=q-1}$ ${\displaystyle (1-E_{r}[p^{t}])/t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p_{i}^{t}}$ ${\displaystyle 1}$

El límite calcula el negativo de la pendiente de at y se recupera . Entonces, para valores fijos pequeños , aumentar esta expectativa se relaciona con la maximización de la probabilidad logarítmica . ${\displaystyle q\to 1}$ ${\displaystyle E_{r}[p^{t}]}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle -{\textstyle \sum _{i}}r_{i}\ln p_{i}}$ ${\displaystyle t}$

Propiedades

Identidades

Un logaritmo se puede expresar en términos de pendiente, lo que da como resultado la siguiente fórmula para la entropía estándar: ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}p^{x}=p^{x}\ln p}$

${\displaystyle S=-\lim _{x\rightarrow 1}{\tfrac {d}{dx}}\sum _{i}p_{i}^{x}=-{\textstyle \sum _{i}}p_{i}\ln p_{i}}$

Asimismo, la entropía discreta de Tsallis satisface

${\displaystyle S_{q}=-\lim _{x\rightarrow 1}D_{q}\sum _{i}p_{i}^{x}}$

donde D _q es la q-derivada con respecto a x .

No aditividad

Dados dos sistemas independientes A y B , para los cuales la densidad de probabilidad conjunta satisface

${\displaystyle p(A,B)=p(A)p(B),\,}$

la entropía de Tsallis de este sistema satisface

${\displaystyle S_{q}(A,B)=S_{q}(A)+S_{q}(B)+(1-q)S_{q}(A)S_{q}(B).\,}$

A partir de este resultado, es evidente que el parámetro es una medida de la desviación de la aditividad. En el límite cuando q = 1, ${\displaystyle |1-q|}$

${\displaystyle S(A,B)=S(A)+S(B),\,}$

que es lo que se espera de un sistema aditivo. Esta propiedad a veces se denomina "pseudoaditividad".

Familias exponenciales

Muchas distribuciones comunes, como la distribución normal, pertenecen a las familias estadísticas exponenciales . La entropía de Tsallis para una familia exponencial se puede escribir ^[3] como

${\displaystyle H_{q}^{T}(p_{F}(x;\theta ))={\frac {1}{1-q}}\left((e^{F(q\theta )-qF(\theta )})E_{p}[e^{(q-1)k(x)}]-1\right)}$

donde F es el log-normalizador y k el término que indica la medida de la portadora. Para normal multivariante, el término k es cero y, por lo tanto, la entropía de Tsallis está en forma cerrada.

Aplicaciones

La entropía de Tsallis se ha utilizado junto con el principio de máxima entropía para derivar la distribución de Tsallis .

En la literatura científica se ha debatido la relevancia física de la entropía de Tsallis. ^{[4] [5] [6]} Sin embargo, a partir de los años 2000, se ha identificado un espectro cada vez más amplio de sistemas complejos naturales, artificiales y sociales que confirman las predicciones y consecuencias que se derivan de esta entropía no aditiva, como las estadísticas no extensivas. mecánica, ^[7] que generaliza la teoría de Boltzmann-Gibbs.

Entre las diversas verificaciones y aplicaciones experimentales disponibles actualmente en la literatura, merecen una mención especial las siguientes:

1. La distribución que caracteriza el movimiento de los átomos fríos en redes ópticas disipativas fue predicha en 2003 ^[8] y observada en 2006. ^[9]
2. Las fluctuaciones del campo magnético en el viento solar permitieron calcular el triplete q (o triplete de Tsallis). ^[10]
3. "Las distribuciones de velocidad en un plasma polvoriento disipativo impulsado ". ^[11]
4. Relajación del vaso giratorio . ^[12]
5. "Ión atrapado interactuando con un gas tampón clásico" . ^[13]
6. Experimentos de colisiones de alta energía en LHC/CERN (detectores CMS, ATLAS y ALICE) ^{[14] [15]} y RHIC/Brookhaven (detectores STAR y PHENIX). ^[dieciséis]

Entre los diversos resultados teóricos disponibles que aclaran las condiciones físicas bajo las cuales se aplica la entropía de Tsallis y las estadísticas asociadas, se pueden seleccionar los siguientes:

1. Difusión anómala . ^{[17] [18]}
2. Teorema de unicidad . ^[19]
3. Sensibilidad a las condiciones iniciales y producción de entropía al borde del caos. ^{[20] [21]}
4. Conjuntos de probabilidad que hacen que la entropía de Tsallis no aditiva sea extensiva en el sentido termodinámico. ^[22]
5. Sistemas fuertemente entrelazados cuánticos y termodinámica. ^[23]
6. Termostática del movimiento sobreamortiguado de partículas que interactúan. ^{[24] [25]}
7. "Generalizaciones no lineales de las ecuaciones de Schrödinger, Klein-Gordon y Dirac" . ^[26]
8. Cálculo de la entropía de un agujero negro. ^[27]

Para más detalles una bibliografía está disponible en http://tsalis.cat.cbpf.br/biblio.htm

Entropías generalizadas

Varios sistemas físicos interesantes ^{[28] se rigen por} funcionales entrópicos que son más generales que la entropía estándar de Tsallis. Por lo tanto, se han introducido varias generalizaciones físicamente significativas. Las dos más generales son en particular: Superestadística , introducida por C. Beck y EGD Cohen en 2003 ^[29] y Estadística espectral, introducida por GA Tsekouras y Constantino Tsallis en 2005. ^[30] Ambas formas entrópicas tienen Tsallis y Boltzmann– Estadísticas de Gibbs como casos especiales; Se ha demostrado que las estadísticas espectrales contienen al menos superestadísticas y se ha conjeturado que también cubren algunos casos adicionales. ^{[ cita necesaria ]}

Ver también

• Entropía de Rényi
• Distribución de Tsalis

Referencias

1. Tsallis, C. (1988). "Posible generalización de las estadísticas de Boltzmann-Gibbs". Revista de Física Estadística . 52 (1–2): 479–487. Código Bib : 1988JSP....52..479T. doi :10.1007/BF01016429. hdl : 10338.dmlcz/142811 . S2CID  16385640.
2. Havrda, J.; Charvát, F. (1967). "Método de cuantificación de procesos de clasificación. Concepto de α-entropía estructural" (PDF) . Kybernética . 3 (1): 30–35.
3. Nielsen, F.; Nock, R. (2012). "Una expresión de forma cerrada para la entropía de familias exponenciales de Sharma-Mittal". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 45 (3): 032003. arXiv : 1112.4221 . Código Bib : 2012JPhA...45c2003N. doi :10.1088/1751-8113/45/3/032003. S2CID  8653096.
4. Cho, A. (2002). "¿Una nueva visión del trastorno o de la ciencia desordenada?". Ciencia . 297 (5585): 1268–1269. doi : 10.1126/ciencia.297.5585.1268. PMID  12193769. S2CID  5441957.
5. Abe, S.; Rajagopal, Alaska (2003). "Revisando las estadísticas de trastornos y Tsallis". Ciencia . 300 (5617): 249–251. doi :10.1126/ciencia.300.5617.249d. PMID  12690173. S2CID  39719500.
6. Pressé, S.; Ghosh, K.; Lee, J.; Eneldo, K. (2013). "Las entropías no aditivas producen distribuciones de probabilidad con sesgos no garantizados por los datos". Física. Rev. Lett . 111 (18): 180604. arXiv : 1312.1186 . Código bibliográfico : 2013PhRvL.111r0604P. doi : 10.1103/PhysRevLett.111.180604. PMID  24237501. S2CID  2577710.
7. Tsallis, Constantino (2009). Introducción a la mecánica estadística no exhaustiva: acercándose a un mundo complejo (Online-Ausg. ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-85358-1.
8. Lutz, E. (2003). "Difusión anómala y estadísticas de Tsallis en una red óptica". Revisión física A. 67 (5): 051402. arXiv : cond-mat/0210022 . Código bibliográfico : 2003PhRvA..67e1402L. doi : 10.1103/PhysRevA.67.051402. S2CID  119403353.
9. Douglas, P.; Bergamini, S.; Renzoni, F. (2006). "Distribuciones de Tsallis sintonizables en redes ópticas disipativas" (PDF) . Cartas de revisión física . 96 (11): 110601. Código bibliográfico : 2006PhRvL..96k0601D. doi :10.1103/PhysRevLett.96.110601. PMID  16605807.
10. Burlaga, LF; - Viñas, AF (2005). "Triángulo para el índice entrópico q de la mecánica estadística no extensiva observada por la Voyager 1 en la heliosfera distante". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 356 (2–4): 375. arXiv : física/0507212 . Código Bib : 2005PhyA..356..375B. doi :10.1016/j.physa.2005.06.065. S2CID  18823047.
11. Liu, B.; Gorée, J. (2008). "Superdifusión y estadísticas no gaussianas en un plasma polvoriento 2D disipativo impulsado". Cartas de revisión física . 100 (5): 055003. arXiv : 0801.3991 . Código bibliográfico : 2008PhRvL.100e5003L. doi :10.1103/PhysRevLett.100.055003. PMID  18352381. S2CID  2022402.
12. Recogida, R.; Cywinski, R.; Pappas, C.; Farago, B.; Fouquet, P. (2009). "Relajación generalizada del Spin-Glass". Cartas de revisión física . 102 (9): 097202. arXiv : 0902.4183 . Código bibliográfico : 2009PhRvL.102i7202P. doi : 10.1103/PhysRevLett.102.097202. PMID  19392558. S2CID  6454082.
13. Devoe, R. (2009). "Distribuciones de la ley de potencia para un ion atrapado que interactúa con un gas tampón clásico". Cartas de revisión física . 102 (6): 063001. arXiv : 0903.0637 . Código bibliográfico : 2009PhRvL.102f3001D. doi : 10.1103/PhysRevLett.102.063001. PMID  19257583. S2CID  15945382.
14. Khachatryan, V.; Sirunyan, A.; Tumasyan, A.; Adán, W.; Bergauer, T.; Dragicevic, M.; Erö, J.; Fabjan, C.; Friedl, M.; Frühwirth, R.; Ghete, VM; Martillo, J.; Hänsel, S.; Hoch, M.; Hörmann, N.; Hrubec, J.; Jeitler, M.; Kasieczka, G.; Kiesenhofer, W.; Krammer, M.; Liko, D.; Mikulec, I.; Pernicka, M.; Rohringer, H.; Schöfbeck, R.; Strauss, J.; Taurok, A.; Teischinger, F.; Waltenberger, W.; et al. (2010). "Distribuciones de momento transversal y pseudorapidez de hadrones cargados en colisiones de pp en √ s = 7 TeV". Cartas de revisión física . 105 (2): 022002. arXiv : 1005.3299 . Código Bib : 2010PhRvL.105b2002K. doi : 10.1103/PhysRevLett.105.022002. PMID  20867699. S2CID  119196941.
15. Chatrchyan, S.; Khachatryan, V.; Sirunyan, AM; Tumasyan, A.; Adán, W.; Bergauer, T.; Dragicevic, M.; Erö, J.; Fabjan, C.; Friedl, M.; Frühwirth, R.; Ghete, VM; Martillo, J.; Hänsel, S.; Hoch, M.; Hörmann, N.; Hrubec, J.; Jeitler, M.; Kiesenhofer, W.; Krammer, M.; Liko, D.; Mikulec, I.; Pernicka, M.; Rohringer, H.; Schöfbeck, R.; Strauss, J.; Taurok, A.; Teischinger, F.; Wagner, P.; et al. (2011). "Espectros de momento transversal de partículas cargadas en colisiones de pp en $ √ s = 0,9 y 7 TeV". Revista de Física de Altas Energías . 2011 (8): 86. arXiv : 1104.3547 . Código Bib : 2011JHEP...08..086C. doi :10.1007/JHEP08(2011)086. S2CID  122835798.
16. Adare, A.; Afanasiev, S.; Aidala, C.; Ajitanand, N.; Akiba, Y.; Al-Bataineh, H.; Alejandro, J.; Aoki, K.; Aphecetche, L.; Armendáriz, R.; Aronson, SH; Asai, J.; Atomssa, ET; Averbeck, R.; Asombro, TC; Azmoun, B.; Babintsev, V.; Bai, M.; Baksay, G.; Baksay, L.; Baldisseri, A.; Barish, KN; Barnes, PD; Bassalleck, B.; Basye, AT; Bañarse, S.; Batsouli, S.; Baublis, V.; Baumann, C.; et al. (2011). "Medición de mesones neutros en colisiones p + p en √ s = 200 GeV y propiedades de escalado de la producción de hadrones". Revisión física D. 83 (5): 052004. arXiv : 1005.3674 . Código Bib : 2011PhRvD..83e2004A. doi : 10.1103/PhysRevD.83.052004. S2CID  85560021.
17. Plastino, AR; Plastino, A. (1995). "Mecánica estadística no extensiva y ecuación de Fokker-Planck generalizada". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 222 (1–4): 347–354. Código Bib : 1995PhyA..222..347P. doi :10.1016/0378-4371(95)00211-1.
18. Tsallis, C.; Bukman, D. (1996). "Difusión anómala en presencia de fuerzas externas: soluciones exactas dependientes del tiempo y su base termostática". Revisión física E. 54 (3): R2197–R2200. arXiv : cond-mat/9511007 . Código Bib : 1996PhRvE..54.2197T. doi :10.1103/PhysRevE.54.R2197. PMID  9965440. S2CID  16272548.
19. Abe, S. (2000). "Axiomas y teorema de unicidad de la entropía de Tsallis". Letras de Física A. 271 (1–2): 74–79. arXiv : cond-mat/0005538 . Código bibliográfico : 2000PhLA..271...74A. doi :10.1016/S0375-9601(00)00337-6. S2CID  119513564.
20. Lyra, M.; Tsallis, C. (1998). "No extensividad y multifractalidad en sistemas disipativos de baja dimensión". Cartas de revisión física . 80 (1): 53–56. arXiv : cond-mat/9709226 . Código Bib : 1998PhRvL..80...53L. doi :10.1103/PhysRevLett.80.53. S2CID  15039078.
21. Baldovín, F.; Robledo, A. (2004). "Identidad de Pesin no extensiva: resultados analíticos del grupo de renormalización exactos para la dinámica al borde del caos del mapa logístico". Revisión física E. 69 (4): 045202. arXiv : cond-mat/0304410 . Código bibliográfico : 2004PhRvE..69d5202B. doi : 10.1103/PhysRevE.69.045202. PMID  15169059. S2CID  30277614.
22. Tsallis, C.; Gell-Mann, M.; Sato, Y. (2005). "La ocupación asintóticamente invariante de escala del espacio de fase hace que la entropía Sq sea extensa". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 102 (43): 15377–82. arXiv : cond-mat/0502274 . Código Bib : 2005PNAS..10215377T. doi : 10.1073/pnas.0503807102 . PMC 1266086 . PMID  16230624. 
23. Caruso, F.; Tsallis, C. (2008). "La entropía no aditiva concilia la ley del área en los sistemas cuánticos con la termodinámica clásica". Revisión física E. 78 (2): 021102. arXiv : cond-mat/0612032 . Código bibliográfico : 2008PhRvE..78b1102C. doi : 10.1103/PhysRevE.78.021102. PMID  18850781. S2CID  18006627.
24. Andrade, J.; Da Silva, G.; Moreira, A.; Nobre, F.; Curado, E. (2010). "Termoestadística del movimiento sobreamortiguado de partículas que interactúan". Cartas de revisión física . 105 (26): 260601. arXiv : 1008.1421 . Código bibliográfico : 2010PhRvL.105z0601A. doi :10.1103/PhysRevLett.105.260601. PMID  21231636. S2CID  14831948.
25. Ribeiro, M.; Nobre, F.; Curado, EM (2012). "Evolución temporal de vórtices que interactúan bajo movimiento sobreamortiguado" (PDF) . Revisión física E. 85 (2): 021146. Código bibliográfico : 2012PhRvE..85b1146R. doi : 10.1103/PhysRevE.85.021146. PMID  22463191. S2CID  25200027.
26. Nobre, F.; Rego-Monteiro, M.; Tsallis, C. (2011). "Ecuaciones cuánticas y relativistas no lineales con un tipo común de solución". Cartas de revisión física . 106 (14): 140601. arXiv : 1104.5461 . Código bibliográfico : 2011PhRvL.106n0601N. doi :10.1103/PhysRevLett.106.140601. PMID  21561176. S2CID  12679518.
27. Majhi, Abhishek (2017). "Mecánica estadística no extensiva y entropía de agujeros negros a partir de geometría cuántica". Letras de Física B. 775 : 32–36. arXiv : 1703.09355 . Código Bib : 2017PhLB..775...32M. doi :10.1016/j.physletb.2017.10.043. S2CID  119397503.
28. García-Morales, V.; Krischer, K. (2011). "Superestadística en sistemas electroquímicos a nanoescala". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 108 (49): 19535–19539. Código Bib : 2011PNAS..10819535G. doi : 10.1073/pnas.1109844108 . PMC 3241754 . PMID  22106266. 
29. Beck, C.; Cohen, EGD (2003). "Superestadísticas". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 322 : 267–275. arXiv : cond-mat/0205097 . Código Bib : 2003PhyA..322..267B. doi :10.1016/S0378-4371(03)00019-0. S2CID  261331784.
30. Tsekouras, Georgia; Tsallis, C. (2005). "Entropía generalizada derivada de una distribución de índices q". Revisión física E. 71 (4): 046144. arXiv : cond-mat/0412329 . Código bibliográfico : 2005PhRvE..71d6144T. doi : 10.1103/PhysRevE.71.046144. PMID  15903763. S2CID  16663654.

Otras lecturas

• Furuichi, Shigeru; Mitroi-Symeonidis, Flavia-Corina; Symeonidis, Eleutherius (2014). "Sobre algunas propiedades de las hipoentropías e hipodivergencias de Tsallis". Entropía . 16 (10): 5377–5399. arXiv : 1410.4903 . Código Bib : 2014Entrp..16.5377F. doi : 10.3390/e16105377 .
• Furuichi, Shigeru; Mitroi, Flavia-Corina (2012). "Desigualdades matemáticas para algunas divergencias". Física A. 391 (1–2): 388–400. arXiv : 1104.5603 . Código Bib : 2012PhyA..391..388F. doi :10.1016/j.physa.2011.07.052. S2CID  92394.
• Furuichi, Shigeru; Minculete, Nicușor; Mitroi, Flavia-Corina (2012). "Algunas desigualdades sobre entropías generalizadas". Revista de Desigualdades y Aplicaciones . 2012 : 226. arXiv : 1104.0360 . doi : 10.1186/1029-242X-2012-226 .

enlaces externos

• Estadísticas de Tsallis, Mecánica estadística para sistemas no extensivos e interacciones de largo alcance