Estadísticas de Tsallis

Colección de funciones matemáticas originadas por Constantino Tsallis

El término estadística de Tsallis se refiere generalmente a la colección de funciones matemáticas y distribuciones de probabilidad asociadas que fueron originadas por Constantino Tsallis . Usando esa colección, es posible derivar distribuciones de Tsallis a partir de la optimización de la forma entrópica de Tsallis . Se puede usar un parámetro real continuo q para ajustar las distribuciones, de modo que se puedan crear distribuciones que tengan propiedades intermedias a las de las distribuciones gaussiana y de Lévy . El parámetro q representa el grado de no extensividad de la distribución. Las estadísticas de Tsallis son útiles para caracterizar la difusión anómala compleja .

Funciones de Tsallis

Las funciones exponenciales y logarítmicas q -deformadas se introdujeron por primera vez en las estadísticas de Tsallis en 1994. ^[1] Sin embargo, la q -deformación es la transformación de Box-Cox para , propuesta por George Box y David Cox en 1964. ^[2] ${\displaystyle q=1-\lambda }$

q-exponencial

La q -exponencial es una deformación de la función exponencial utilizando el parámetro real q . ^[3]

${\displaystyle e_{q}(x)={\begin{cases}\exp(x)&{\text{if }}q=1,\\[6pt][1+(1-q)x]^{1/(1-q)}&{\text{if }}q\neq 1{\text{ and }}1+(1-q)x>0,\\[6pt]0^{1/(1-q)}&{\text{if }}q\neq 1{\text{ and }}1+(1-q)x\leq 0,\\[6pt]\end{cases}}}$

Tenga en cuenta que la función q -exponencial en las estadísticas de Tsallis es diferente de una versión utilizada en otro lugar .

q-logaritmo

El q -logaritmo es el inverso del q -exponencial y una deformación del logaritmo utilizando el parámetro real q . ^[3]

${\displaystyle \ln _{q}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{if }}x>0{\text{ and }}q=1\\[8pt]{\dfrac {x^{1-q}-1}{1-q}}&{\text{if }}x>0{\text{ and }}q\neq 1\\[8pt]{\text{Undefined }}&{\text{if }}x\leq 0\\[8pt]\end{cases}}}$

Inversas

Estas funciones tienen la propiedad de que

Inversas

${\displaystyle {\begin{cases}e_{q}(\ln _{q}(x))=x&(x>0)\\\ln _{q}(e_{q}(x))=x&(0<e_{q}(x)<\infty )\\\end{cases}}}$

Análisis

Los límites de la expresión anterior se pueden entender considerando la función exponencial y el logaritmo. ${\displaystyle q\to 1}$ ${\displaystyle \left(1+{\frac {x}{N}}\right)^{N}\approx {\rm {e}}^{x}}$ ${\displaystyle N\left(x^{\frac {1}{N}}-1\right)\approx \log(x)}$

Véase también

• Entropía de Tsallis
• Distribución de Tsallis
• q-gaussiano
• distribución q-exponencial
• distribución q-Weibull

Referencias

1. Tsallis, Constantino (1994). "¿Cuáles son los números que proporcionan los experimentos?". Química Nova . 17 : 468.
2. Box, George EP ; Cox, DR (1964). "Análisis de transformaciones". Revista de la Royal Statistical Society, Serie B . 26 (2): 211–252. JSTOR  2984418. MR  0192611.
3. Umarov, Sabir; Tsallis, Constantino; Steinberg, Stanly (2008). "Sobre un teorema del límite q-central consistente con la mecánica estadística no extensiva" (PDF) . Milan J. Math . 76 . Birkhauser Verlag: 307–328. doi :10.1007/s00032-008-0087-y. S2CID  55967725 . Consultado el 27 de julio de 2011 .

• S. Abe, AK Rajagopal (2003). Letters, Science (11 de abril de 2003), vol. 300, número 5617, pp. 249-251. doi :10.1126/science.300.5617.249d
• S. Abe, Y. Okamoto, Eds. (2001) Mecánica estadística no extensiva y sus aplicaciones. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-41208-3 
• G. Kaniadakis, M. Lissia, A. Rapisarda, Eds. (2002) "Número especial sobre termodinámica no extensiva y aplicaciones físicas". Physica A 305, 1/2.

Enlaces externos

• Estadísticas de Tsallis en arxiv.org