Distribución de Lévy

Distribución de probabilidad

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución de Lévy , llamada así por Paul Lévy , es una distribución de probabilidad continua para una variable aleatoria no negativa . En espectroscopia , esta distribución, con la frecuencia como variable dependiente, se conoce como perfil de van der Waals . ^{[nota 1]} Es un caso especial de la distribución gamma inversa . Es una distribución estable .

Definición

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Lévy sobre el dominio es ${\displaystyle x\geq \mu }$

${\displaystyle f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}},}$

donde es el parámetro de ubicación y es el parámetro de escala . La función de distribución acumulativa es ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle F(x;\mu ,c)=\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)=2-2\Phi \left({\sqrt {\frac {c}{(x-\mu )}}}\right),}$

donde es la función de error complementaria y es la función de Laplace ( FDC de la distribución normal estándar ). El parámetro de desplazamiento tiene el efecto de desplazar la curva hacia la derecha en una cantidad y cambiar el soporte al intervalo [ ,  ). Como todas las distribuciones estables , la distribución de Lévy tiene una forma estándar f ( x ; 0, 1) que tiene la siguiente propiedad: ${\displaystyle \operatorname {erfc} (z)}$ ${\displaystyle \Phi (x)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle f(x;\mu ,c)\,dx=f(y;0,1)\,dy,}$

donde y se define como

${\displaystyle y={\frac {x-\mu }{c}}.}$

La función característica de la distribución de Lévy está dada por

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}.}$

Tenga en cuenta que la función característica también se puede escribir en la misma forma utilizada para la distribución estable con y : ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle \beta =1}$

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}(1-i\operatorname {sign} (t))}.}$

Suponiendo que el momento n de la distribución de Lévy no desplazada se define formalmente por ${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle m_{n}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x}x^{n}}{x^{3/2}}}\,dx,}$

que diverge para todo , de modo que los momentos enteros de la distribución de Lévy no existen (sólo algunos momentos fraccionarios). ${\displaystyle n\geq 1/2}$

La función generadora de momentos se definiría formalmente por

${\displaystyle M(t;c)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}}\,dx,}$

Sin embargo, esto diverge y, por lo tanto, no está definido en un intervalo alrededor de cero, por lo que la función generadora de momentos en realidad no está definida. ${\displaystyle t>0}$

Como todas las distribuciones estables excepto la distribución normal , el ala de la función de densidad de probabilidad exhibe un comportamiento de cola pesada que cae de acuerdo con una ley de potencia:

${\displaystyle f(x;\mu ,c)\sim {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {1}{x^{3/2}}}}$como ${\displaystyle x\to \infty ,}$

lo que demuestra que la distribución de Lévy no solo tiene colas pesadas sino también colas gordas . Esto se ilustra en el diagrama siguiente, en el que las funciones de densidad de probabilidad para varios valores de c y se representan en un gráfico logarítmico : ${\displaystyle \mu =0}$

Función de densidad de probabilidad para la distribución de Lévy en un gráfico logarítmico

La distribución estándar de Lévy satisface la condición de ser estable :

${\displaystyle (X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n})\sim n^{1/\alpha }X,}$

¿Dónde están las variables de Lévy estándar independientes con ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},X}$ ${\displaystyle \alpha =1/2.}$

Distribuciones relacionadas

• Si , entonces ${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}$ ${\displaystyle kX+b\sim \operatorname {Levy} (k\mu +b,kc).}$
• Si , entonces ( distribución gamma inversa ). Aquí, la distribución de Lévy es un caso especial de una distribución de tipo V de Pearson . ${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (0,c)}$ ${\displaystyle X\sim \operatorname {Inv-Gamma} (1/2,c/2)}$
• Si ( distribución normal ), entonces ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Normal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle (Y-\mu )^{-2}\sim \operatorname {Levy} (0,1/\sigma ^{2}).}$
• Si , entonces . ${\displaystyle X\sim \operatorname {Normal} (\mu ,1/{\sqrt {\sigma }})}$ ${\displaystyle (X-\mu )^{-2}\sim \operatorname {Levy} (0,\sigma )}$
• Si , entonces ( distribución estable ). ${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}$ ${\displaystyle X\sim \operatorname {Stable} (1/2,1,c,\mu )}$
• Si , entonces ( distribución chi-cuadrado inversa escalada ). ${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (0,c)}$ ${\displaystyle X\,\sim \,\operatorname {Scale-inv-\chi ^{2}} (1,c)}$
• Si , entonces ( distribución normal plegada ). ${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}$ ${\displaystyle (X-\mu )^{-1/2}\sim \operatorname {FoldedNormal} (0,1/{\sqrt {c}})}$

Generación de muestras aleatorias

Se pueden generar muestras aleatorias de la distribución de Lévy utilizando el muestreo por transformada inversa . Dada una variable aleatoria U extraída de la distribución uniforme en el intervalo unitario (0, 1], la variable X dada por ^[1]

${\displaystyle X=F^{-1}(U)={\frac {c}{(\Phi ^{-1}(1-U/2))^{2}}}+\mu }$

tiene una distribución de Lévy con ubicación y escala . Aquí está la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \Phi (x)}$

Aplicaciones

• La frecuencia de las inversiones geomagnéticas parece seguir una distribución de Lévy
• El tiempo que tarda el movimiento browniano en alcanzar un punto determinado, a cierta distancia del punto de partida, tiene una distribución de Lévy con . (Para un movimiento browniano con deriva, este tiempo puede seguir una distribución gaussiana inversa , que tiene como límite la distribución de Lévy). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle c=\alpha ^{2}}$
• La longitud del camino seguido por un fotón en un medio turbio sigue la distribución de Lévy. ^[2]
• Un proceso de Cauchy puede definirse como un movimiento browniano subordinado a un proceso asociado a una distribución de Lévy. ^[3]

Notas al pie

1. "perfil de van der Waals" aparece con "van" minúscula en casi todas las fuentes, como: Mecánica estadística de la superficie del líquido por Clive Anthony Croxton, 1980, una publicación de Wiley-Interscience, ISBN  0-471-27663-4 , ISBN 978-0-471-27663-0 , [1]; y en Journal of technical physics , Volumen 36, por Instytut Podstawowych Problemów Techniki (Polska Akademia Nauk), editor: Państwowe Wydawn. Naukowe., 1995, [2] 

Notas

1. "La distribución de Lévy". Aleatorio. Probabilidad, Estadística matemática, Procesos estocásticos . Universidad de Alabama en Huntsville, Departamento de Ciencias Matemáticas. Archivado desde el original el 2 de agosto de 2017.
2. Rogers, Geoffrey L. (2008). "Análisis de trayectorias múltiples de la reflectancia de medios turbios". Journal of the Optical Society of America A . 25 (11): 2879–2883. Bibcode :2008JOSAA..25.2879R. doi :10.1364/josaa.25.002879. PMID  18978870.
3. Applebaum, D. "Conferencias sobre procesos de Lévy y cálculo estocástico, Braunschweig; Conferencia 2: Procesos de Lévy" (PDF) . Universidad de Sheffield. págs. 37–53.

Referencias

• «Información sobre distribuciones estables» . Consultado el 5 de septiembre de 2021 .- Introducción a las distribuciones estables de John P. Nolan, algunos artículos sobre leyes estables y un programa gratuito para calcular densidades estables, funciones de distribución acumulativa, cuantiles, parámetros de estimación, etc. Véase especialmente Introducción a las distribuciones estables, Capítulo 1

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Distribución de Lévy". MathWorld .