Distribución gamma inversa

Two-parameter family of continuous probability distributions

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución gamma inversa es una familia de dos parámetros de distribuciones de probabilidad continuas en la línea real positiva , que es la distribución del recíproco de una variable distribuida según la distribución gamma .

Tal vez el uso principal de la distribución gamma inversa sea en las estadísticas bayesianas , donde la distribución surge como la distribución posterior marginal para la varianza desconocida de una distribución normal , si se utiliza una distribución previa no informativa , y como una distribución previa conjugada analíticamente manejable , si se requiere una distribución previa informativa. Es común entre algunos bayesianos considerar una parametrización alternativa de la distribución normal en términos de la precisión , definida como el recíproco de la varianza, que permite que la distribución gamma se use directamente como una distribución previa conjugada. Otros bayesianos prefieren parametrizar la distribución gamma inversa de manera diferente, como una distribución chi-cuadrado inversa escalada .

Caracterización

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de la distribución gamma inversa se define sobre el soporte ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}(1/x)^{\alpha +1}\exp \left(-\beta /x\right)}$

con parámetro de forma y parámetro de escala . ^[1] Aquí denota la función gamma . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$

A diferencia de la distribución Gamma , que contiene un término exponencial algo similar, es un parámetro de escala ya que la función de densidad satisface: ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {f(x/\beta ;\alpha ,1)}{\beta }}}$

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa es la función gamma regularizada

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma \left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)}{\Gamma (\alpha )}}=Q\left(\alpha ,{\frac {\beta }{x}}\right)\!}$

donde el numerador es la función gamma incompleta superior y el denominador es la función gamma . Muchos paquetes matemáticos permiten el cálculo directo de , la función gamma regularizada. ${\displaystyle Q}$

Momentos

Siempre que , el momento -ésimo de la distribución gamma inversa está dado por ^[2] ${\displaystyle \alpha >n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mathrm {E} [X^{n}]=\beta ^{n}{\frac {\Gamma (\alpha -n)}{\Gamma (\alpha )}}={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -1)\cdots (\alpha -n)}}.}$

Función característica

La distribución gamma inversa tiene una función característica donde es la función de Bessel modificada de segundo tipo. $${\displaystyle {\frac {2\left(-i\beta t\right)^{\!\!{\frac {\alpha }{2}}}}{\Gamma (\alpha )}}K_{\alpha }\left({\sqrt {-4i\beta t}}\right)}$$ ${\displaystyle K_{\alpha }}$

Propiedades

Para y , ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \beta >0}$

${\displaystyle \mathbb {E} [\ln(X)]=\ln(\beta )-\psi (\alpha )\,}$

y

${\displaystyle \mathbb {E} [X^{-1}]={\frac {\alpha }{\beta }},\,}$

La entropía de la información es

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {H} (X)&=\operatorname {E} [-\ln(p(X))]\\&=\operatorname {E} \left[-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(X)+{\frac {\beta }{X}}\right]\\&=-\alpha \ln(\beta )+\ln(\Gamma (\alpha ))+(\alpha +1)\ln(\beta )-(\alpha +1)\psi (\alpha )+\alpha \\&=\alpha +\ln(\beta \Gamma (\alpha ))-(\alpha +1)\psi (\alpha ).\end{aligned}}}$

¿Dónde está la función digamma ? ${\displaystyle \psi (\alpha )}$

La divergencia de Kullback-Leibler de Gamma inversa ( α _p , β _p ) de Gamma inversa ( α _q , β _q ) es la misma que la divergencia KL de Gamma ( α _p , β _p ) de Gamma ( α _q , βq ₎ :

${\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (X)}{\pi (X)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho (1/Y)}{\pi (1/Y)}}\right]=\mathbb {E} \left[\log {\frac {\rho _{G}(Y)}{\pi _{G}(Y)}}\right],}$

donde son las funciones de densidad de probabilidad de las distribuciones Gamma inversa y son las funciones de densidad de probabilidad de las distribuciones Gamma, ¿Gamma ( α _p , β _p ) se distribuye? ${\displaystyle \rho ,\pi }$ ${\displaystyle \rho _{G},\pi _{G}}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\mathrm {KL} }(\alpha _{p},\beta _{p};\alpha _{q},\beta _{q})={}&(\alpha _{p}-\alpha _{q})\psi (\alpha _{p})-\log \Gamma (\alpha _{p})+\log \Gamma (\alpha _{q})+\alpha _{q}(\log \beta _{p}-\log \beta _{q})+\alpha _{p}{\frac {\beta _{q}-\beta _{p}}{\beta _{p}}}.\end{aligned}}}$

Distribuciones relacionadas

• Si entonces , por ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle kX\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,k\beta )\,}$ ${\displaystyle k>0}$
• Si entonces ( distribución chi-cuadrado inversa ) ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,{\tfrac {1}{2}})}$ ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(2\alpha )\,}$
• Si entonces ( distribución chi-cuadrado inversa escalada ) ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}({\tfrac {\alpha }{2}},{\tfrac {1}{2}})}$ ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scaled Inv-}}\chi ^{2}(\alpha ,{\tfrac {1}{\alpha }})\,}$
• Si entonces ( distribución de Lévy ) ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})}$ ${\displaystyle X\sim {\textrm {Levy}}(0,c)\,}$
• Si entonces ( Distribución exponencial ) ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}(1,c)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\textrm {Exp}}(c)\,}$
• Si ( distribución gamma con parámetro de velocidad ) entonces (ver derivación en el siguiente párrafo para más detalles) ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )\,}$
• Nótese que si (distribución gamma con parámetro de escala ) entonces ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(k,\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 1/X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(k,1/\theta )}$
• La distribución gamma inversa es un caso especial de distribución de Pearson tipo 5
• Una generalización multivariada de la distribución gamma inversa es la distribución Wishart inversa .
• Para la distribución de una suma de variables Gamma invertidas independientes, véase Witkovsky (2001)

Derivación de la distribución Gamma

Sea , y recordemos que la función de densidad de probabilidad de la distribución gamma es ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}$, . ${\displaystyle x>0}$

Tenga en cuenta que es el parámetro de velocidad desde la perspectiva de la distribución gamma. ${\displaystyle \beta }$

Defina la transformación . Entonces, la función de densidad de probabilidad de es ${\displaystyle Y=g(X)={\tfrac {1}{X}}}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{Y}(y)&=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {d}{dy}}g^{-1}(y)\right|\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right){\frac {1}{y^{2}}}\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {1}{y}}\right)^{\alpha +1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp \left({\frac {-\beta }{y}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}}$

Obsérvese que es el parámetro de escala desde la perspectiva de la distribución gamma inversa. Esto se puede demostrar de forma sencilla al ver que cumple las condiciones para ser un parámetro de escala . ${\displaystyle {\beta }}$ ${\displaystyle {\beta }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f(y/\beta ;\alpha ,1)}{\beta }}&={\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\left({\frac {y}{\beta }}\right)^{-\alpha -1}\exp(-{\frac {1}{\frac {y}{\beta }}})\\[6pt]&={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\left(y\right)^{-\alpha -1}\exp(-{\frac {\beta }{y}})\\[6pt]&=f(y;\alpha ,\beta )\end{aligned}}}$

Aparición

• La distribución del tiempo de impacto de un proceso de Wiener sigue una distribución de Lévy , que es un caso especial de la distribución gamma inversa con . ^[3] ${\displaystyle \alpha =0.5}$

Véase también

• Distribución gamma
• Distribución de chi-cuadrado inverso
• Distribución normal
• Distribución de Pearson

Referencias

1. "InverseGammaDistribution—Documentación del lenguaje Wolfram". reference.wolfram.com . Consultado el 9 de abril de 2018 .
2. John D. Cook (3 de octubre de 2008). «InverseGammaDistribution» (PDF) . Consultado el 3 de diciembre de 2018 .
3. Ludkovski, Mike (2007). "Matemáticas 526: Notas sobre el movimiento browniano" (PDF) . UC Santa Barbara. pp. Archivado desde el original (PDF) el 2022-01-26 . Consultado el 2021-04-13 .

• Hoff, P. (2009). "Un primer curso de métodos estadísticos bayesianos". Springer.
• Witkovsky, V. (2001). "Cálculo de la distribución de una combinación lineal de variables gamma invertidas". Kybernetika . 37 (1): 79–90. MR  1825758. Zbl  1263.62022.