Distribución de chi-cuadrado inversa escalada

Distribución de probabilidad

La distribución chi-cuadrado inversa escalada , donde es el parámetro de escala, es igual a la distribución Wishart inversa univariante con grados de libertad . ${\displaystyle \psi \,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\mathcal {W}}^{-1}(\psi ,\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$

Esta familia de distribuciones de chi-cuadrado inverso escaladas está vinculada a la distribución de chi-cuadrado inverso y a la distribución de chi-cuadrado :

Si entonces así como y . ${\displaystyle X\sim \psi \,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle X/\psi \sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle \psi /X\sim \chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle 1/X\sim \psi ^{-1}\chi ^{2}(\nu )}$

Sin embargo, en lugar de , la distribución chi-cuadrado inversa escalada se parametriza con mayor frecuencia mediante el parámetro de escala y la distribución se denota por . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \tau ^{2}=\psi /\nu }$ ${\displaystyle \nu \tau ^{2}\,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$

En términos de las relaciones anteriores se puede escribir de la siguiente manera: ${\displaystyle \tau ^{2}}$

Si entonces así como y . ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$ ${\displaystyle {\frac {X}{\nu \tau ^{2}}}\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle {\frac {\nu \tau ^{2}}{X}}\sim \chi ^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle 1/X\sim {\frac {1}{\nu \tau ^{2}}}\chi ^{2}(\nu )}$

Esta familia de distribuciones chi-cuadrado inversas escaladas es una reparametrización de la distribución gamma inversa .

En concreto, si

${\displaystyle X\sim \psi \,{\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )={\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$   entonces   ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\psi }{2}}\right)={\textrm {Inv-Gamma}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu \tau ^{2}}{2}}\right)}$

Se puede utilizar cualquier forma para representar la distribución de entropía máxima para un primer momento inverso fijo y un primer momento logarítmico . ${\displaystyle (E(1/X))}$ ${\displaystyle (E(\ln(X))}$

La distribución chi-cuadrado inversa escalada también tiene un uso particular en la estadística bayesiana . En concreto, la distribución chi-cuadrado inversa escalada se puede utilizar como una distribución previa conjugada para el parámetro de varianza de una distribución normal . La misma distribución previa en parametrización alternativa se obtiene mediante la distribución gamma inversa .

Caracterización

La función de densidad de probabilidad de la distribución chi-cuadrado inversa escalada se extiende por el dominio y es ${\displaystyle x>0}$

${\displaystyle f(x;\nu ,\tau ^{2})={\frac {(\tau ^{2}\nu /2)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}~{\frac {\exp \left[{\frac {-\nu \tau ^{2}}{2x}}\right]}{x^{1+\nu /2}}}}$

donde es el parámetro de grados de libertad y es el parámetro de escala . La función de distribución acumulativa es ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \tau ^{2}}$

${\displaystyle F(x;\nu ,\tau ^{2})=\Gamma \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\tau ^{2}\nu }{2x}}\right)\left/\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)\right.}$

${\displaystyle =Q\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\tau ^{2}\nu }{2x}}\right)}$

donde es la función gamma incompleta , es la función gamma y es una función gamma regularizada . La función característica es ${\displaystyle \Gamma (a,x)}$ ${\displaystyle \Gamma (x)}$ ${\displaystyle Q(a,x)}$

${\displaystyle \varphi (t;\nu ,\tau ^{2})=}$

${\displaystyle {\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-i\tau ^{2}\nu t}{2}}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}\!\!K_{\frac {\nu }{2}}\left({\sqrt {-2i\tau ^{2}\nu t}}\right),}$

donde es la función de Bessel modificada del segundo tipo . ${\displaystyle K_{\frac {\nu }{2}}(z)}$

Estimación de parámetros

La estimación de máxima verosimilitud de es ${\displaystyle \tau ^{2}}$

${\displaystyle \tau ^{2}=n/\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}.}$

La estimación de máxima verosimilitud de se puede encontrar utilizando el método de Newton en: ${\displaystyle {\frac {\nu }{2}}}$

${\displaystyle \ln \left({\frac {\nu }{2}}\right)-\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left(x_{i}\right)-\ln \left(\tau ^{2}\right),}$

donde es la función digamma . Se puede encontrar una estimación inicial tomando la fórmula para la media y resolviéndola para Sea la media de la muestra. Entonces, una estimación inicial para viene dada por: ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \nu .}$ ${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {\nu }{2}}={\frac {\bar {x}}{{\bar {x}}-\tau ^{2}}}.}$

Estimación bayesiana de la varianza de una distribución normal

La distribución chi-cuadrado inversa escalada tiene una segunda aplicación importante: la estimación bayesiana de la varianza de una distribución normal.

Según el teorema de Bayes , la distribución de probabilidad posterior para las cantidades de interés es proporcional al producto de una distribución previa para las cantidades y una función de verosimilitud :

${\displaystyle p(\sigma ^{2}|D,I)\propto p(\sigma ^{2}|I)\;p(D|\sigma ^{2})}$

donde D representa los datos e I representa cualquier información inicial sobre σ ² que ya podamos tener.

El escenario más simple surge si ya se conoce la media μ; o, alternativamente, si se busca la distribución condicional de σ ^{2 , para un valor particular supuesto de μ.}

Entonces el término de probabilidad L (σ ² | D ) = p ( D |σ ² ) tiene la forma familiar

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\sigma ^{2}|D,\mu )={\frac {1}{\left({\sqrt {2\pi }}\sigma \right)^{n}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

Combinando esto con el prior invariante de reescalamiento p(σ ² | I ) = 1/σ ² , que se puede argumentar (por ejemplo, siguiendo a Jeffreys ) como el prior menos informativo posible para σ ² en este problema, se obtiene una probabilidad posterior combinada

${\displaystyle p(\sigma ^{2}|D,I,\mu )\propto {\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

Esta forma puede reconocerse como la de una distribución chi-cuadrado inversa escalada, con parámetros ν = n y τ ² = s ² = (1/ n ) Σ (x _i -μ) ²

Gelman et al. señalan que la reaparición de esta distribución, observada previamente en un contexto de muestreo, puede parecer notable; pero dada la elección de la distribución previa, el "resultado no es sorprendente". ^[1]

En particular, la elección de una probabilidad previa invariante al reescalamiento para σ ² tiene como resultado que la probabilidad para la relación σ ² / s ² tiene la misma forma (independiente de la variable condicionante) cuando está condicionada a s ² que cuando está condicionada a σ ² :

${\displaystyle p({\tfrac {\sigma ^{2}}{s^{2}}}|s^{2})=p({\tfrac {\sigma ^{2}}{s^{2}}}|\sigma ^{2})}$

En el caso de la teoría de muestreo, condicionada a σ ² , la distribución de probabilidad para (1/s ² ) es una distribución de chi-cuadrado inversa escalada; y por lo tanto, la distribución de probabilidad para σ ² condicionada a s ² , dada una distribución previa agnóstica de escala, es también una distribución de chi-cuadrado inversa escalada.

Utilizar como información previa

Si se sabe más sobre los posibles valores de σ ² , una distribución de la familia de distribución de chi-cuadrado inverso escalado, como Scale-inv-χ ² ( n ₀ , s ₀ ² ) puede ser una forma conveniente para representar una distribución previa más informativa para σ ² , como si fuera el resultado de n ₀ observaciones previas (aunque n ₀ no necesariamente tiene que ser un número entero):

${\displaystyle p(\sigma ^{2}|I^{\prime },\mu )\propto {\frac {1}{\sigma ^{n_{0}+2}}}\;\exp \left[-{\frac {n_{0}s_{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

Tal previa conduciría a la distribución posterior

${\displaystyle p(\sigma ^{2}|D,I^{\prime },\mu )\propto {\frac {1}{\sigma ^{n+n_{0}+2}}}\;\exp \left[-{\frac {ns^{2}+n_{0}s_{0}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

que es en sí misma una distribución chi-cuadrado inversa escalada. Las distribuciones chi-cuadrado inversas escaladas son, por lo tanto, una familia previa conjugada conveniente para la estimación de σ ² .

Estimación de la varianza cuando se desconoce la media

Si no se conoce la media, la distribución previa menos informativa que se puede tomar para ella es posiblemente la distribución previa invariante de la traducción p (μ| I ) ∝ const., que da la siguiente distribución posterior conjunta para μ y σ ² ,

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\mu ,\sigma ^{2}\mid D,I)&\propto {\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\\&={\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\exp \left[-{\frac {n(\mu -{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}}$

La distribución posterior marginal para σ ² se obtiene a partir de la distribución posterior conjunta integrando sobre μ,

${\displaystyle {\begin{aligned}p(\sigma ^{2}|D,I)\;\propto \;&{\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\;\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {n(\mu -{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]d\mu \\=\;&{\frac {1}{\sigma ^{n+2}}}\;\exp \left[-{\frac {\sum _{i}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\;{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}/n}}\\\propto \;&(\sigma ^{2})^{-(n+1)/2}\;\exp \left[-{\frac {(n-1)s^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\end{aligned}}}$

Esta es nuevamente una distribución chi-cuadrado inversa escalada, con parámetros y . ${\displaystyle \scriptstyle {n-1}\;}$ ${\displaystyle \scriptstyle {s^{2}=\sum (x_{i}-{\bar {x}})^{2}/(n-1)}}$

Distribuciones relacionadas

• Si entonces ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$ ${\displaystyle kX\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,k\tau ^{2})\,}$
• Si ( distribución chi-cuadrado inversa ) entonces ${\displaystyle X\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )\,}$ ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,1/\nu )\,}$
• Si entonces ( Distribución chi-cuadrado inversa ) ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$ ${\displaystyle {\frac {X}{\tau ^{2}\nu }}\sim {\mbox{inv-}}\chi ^{2}(\nu )\,}$
• Si entonces ( distribución gamma inversa ) ${\displaystyle X\sim {\mbox{Scale-inv-}}\chi ^{2}(\nu ,\tau ^{2})}$ ${\displaystyle X\sim {\textrm {Inv-Gamma}}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {\nu \tau ^{2}}{2}}\right)}$
• La distribución chi cuadrado inversa escalada es un caso especial de distribución de Pearson tipo 5

Referencias

• Gelman A. et al (1995), Bayesian Data Analysis , págs. 474-475; también págs. 47, 480

1. Gelman et al (1995), Análisis de datos bayesianos (1.ª ed.), pág. 68