Función Q

Función estadística

Una gráfica de la función Q.

En estadística , la función Q es la función de distribución de cola de la distribución normal estándar . ^{[1] [2]} En otras palabras, es la probabilidad de que una variable aleatoria normal (gaussiana) obtenga un valor mayor que las desviaciones estándar. Equivalentemente, es la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar tome un valor mayor que . ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle x}$

Si es una variable aleatoria gaussiana con media y varianza , entonces es normal estándar y ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle X={\frac {Y-\mu }{\sigma }}}$

${\displaystyle P(Y>y)=P(X>x)=Q(x)}$

dónde . ${\displaystyle x={\frac {y-\mu }{\sigma }}}$

Ocasionalmente también se utilizan otras definiciones de la función Q , todas las cuales son transformaciones simples de la función de distribución acumulativa normal . ^[3]

Debido a su relación con la función de distribución acumulativa de la distribución normal, la función Q también se puede expresar en términos de la función de error , que es una función importante en matemáticas y física aplicadas.

Definición y propiedades básicas

Formalmente, la función Q se define como

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }\exp \left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)\,du.}$

De este modo,

${\displaystyle Q(x)=1-Q(-x)=1-\Phi (x)\,\!,}$

donde es la función de distribución acumulativa de la distribución gaussiana normal estándar . ${\displaystyle \Phi (x)}$

La función Q se puede expresar en términos de la función de error , o de la función de error complementaria, como ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x/{\sqrt {2}}}^{\infty }\exp \left(-t^{2}\right)\,dt\right)\\&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)~~{\text{ -or-}}\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).\end{aligned}}}$

Una forma alternativa de la función Q conocida como fórmula de Craig, en honor a su descubridor, se expresa como: ^[4]

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sin ^{2}\theta }}\right)d\theta .}$

Esta expresión es válida únicamente para valores positivos de x , pero se puede utilizar junto con Q ( x ) = 1 − Q (− x ) para obtener Q ( x ) para valores negativos. Esta forma es ventajosa porque el rango de integración es fijo y finito.

La fórmula de Craig fue posteriormente ampliada por Behnad (2020) ^[5] para la función Q de la suma de dos variables no negativas, de la siguiente manera:

La función Q representada en el plano complejo

${\displaystyle Q(x+y)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sin ^{2}\theta }}-{\frac {y^{2}}{2\cos ^{2}\theta }}\right)d\theta ,\quad x,y\geqslant 0.}$

Límites y aproximaciones

• La función Q no es una función elemental . Sin embargo, puede acotarse superior e inferiormente como, ^{[6] [7]}

${\displaystyle \left({\frac {x}{1+x^{2}}}\right)\phi (x)<Q(x)<{\frac {\phi (x)}{x}},\qquad x>0,}$

donde es la función de densidad de la distribución normal estándar, y los límites se vuelven cada vez más estrechos para x grandes . ${\displaystyle \phi (x)}$

Utilizando la sustitución v = u ² /2, el límite superior se deriva de la siguiente manera:

${\displaystyle Q(x)=\int _{x}^{\infty }\phi (u)\,du<\int _{x}^{\infty }{\frac {u}{x}}\phi (u)\,du=\int _{\frac {x^{2}}{2}}^{\infty }{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\,dv=-{\biggl .}{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}{\biggr |}_{\frac {x^{2}}{2}}^{\infty }={\frac {\phi (x)}{x}}.}$

De manera similar, utilizando y la regla del cociente , ${\displaystyle \phi '(u)=-u\phi (u)}$

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)Q(x)=\int _{x}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)\phi (u)\,du>\int _{x}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{u^{2}}}\right)\phi (u)\,du=-{\biggl .}{\frac {\phi (u)}{u}}{\biggr |}_{x}^{\infty }={\frac {\phi (x)}{x}}.}$

Resolviendo para Q ( x ) se obtiene el límite inferior.

La media geométrica del límite superior e inferior proporciona una aproximación adecuada para : ${\displaystyle Q(x)}$

${\displaystyle Q(x)\approx {\frac {\phi (x)}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geq 0.}$

• También se pueden obtener límites más estrictos y aproximaciones optimizando la siguiente expresión ^[7] ${\displaystyle Q(x)}$

${\displaystyle {\tilde {Q}}(x)={\frac {\phi (x)}{(1-a)x+a{\sqrt {x^{2}+b}}}}.}$

Para , el mejor límite superior viene dado por y con un error relativo absoluto máximo de 0,44 %. Asimismo, la mejor aproximación viene dada por y con un error relativo absoluto máximo de 0,27 %. Finalmente, el mejor límite inferior viene dado por y con un error relativo absoluto máximo de 1,17 %. ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle a=0.344}$ ${\displaystyle b=5.334}$ ${\displaystyle a=0.339}$ ${\displaystyle b=5.510}$ ${\displaystyle a=1/\pi }$ ${\displaystyle b=2\pi }$

• El límite de Chernoff de la función Q es

${\displaystyle Q(x)\leq e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},\qquad x>0}$

• Los límites exponenciales mejorados y una aproximación exponencial pura son ^[8]

${\displaystyle Q(x)\leq {\tfrac {1}{4}}e^{-x^{2}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\leq {\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},\qquad x>0}$

${\displaystyle Q(x)\approx {\frac {1}{12}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {2}{3}}x^{2}},\qquad x>0}$

• Lo anterior fue generalizado por Tanash y Riihonen (2020), ^[9] quienes demostraron que se puede aproximar o limitar con precisión mediante ${\displaystyle Q(x)}$

${\displaystyle {\tilde {Q}}(x)=\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{-b_{n}x^{2}}.}$

En particular, presentaron una metodología sistemática para resolver los coeficientes numéricos que producen una aproximación o límite minimax : , , o para . Con los coeficientes de ejemplo tabulados en el artículo para , los errores de aproximación relativos y absolutos son menores que y , respectivamente. Los coeficientes para muchas variaciones de las aproximaciones exponenciales y límites hasta se han publicado para acceso abierto como un conjunto de datos completo. ^[10] ${\displaystyle \{(a_{n},b_{n})\}_{n=1}^{N}}$ ${\displaystyle Q(x)\approx {\tilde {Q}}(x)}$ ${\displaystyle Q(x)\leq {\tilde {Q}}(x)}$ ${\displaystyle Q(x)\geq {\tilde {Q}}(x)}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle N=20}$ ${\displaystyle 2.831\cdot 10^{-6}}$ ${\displaystyle 1.416\cdot 10^{-6}}$ ${\displaystyle \{(a_{n},b_{n})\}_{n=1}^{N}}$ ${\displaystyle N=25}$

• Karagiannidis y Lioumpas (2007) ^[11] dan otra aproximación de para, quienes demostraron que para la elección apropiada de parámetros ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle \{A,B\}}$

${\displaystyle f(x;A,B)={\frac {\left(1-e^{-Ax}\right)e^{-x^{2}}}{B{\sqrt {\pi }}x}}\approx \operatorname {erfc} \left(x\right).}$

El error absoluto entre y sobre el rango se minimiza evaluando ${\displaystyle f(x;A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$ ${\displaystyle [0,R]}$

${\displaystyle \{A,B\}={\underset {\{A,B\}}{\arg \min }}{\frac {1}{R}}\int _{0}^{R}|f(x;A,B)-\operatorname {erfc} (x)|dx.}$

Utilizando e integrando numéricamente, encontraron que el error mínimo ocurrió cuando lo que dio una buena aproximación para ${\displaystyle R=20}$ ${\displaystyle \{A,B\}=\{1.98,1.135\},}$ ${\displaystyle \forall x\geq 0.}$

Sustituyendo estos valores y utilizando la relación entre y de arriba obtenemos ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$

${\displaystyle Q(x)\approx {\frac {\left(1-e^{\frac {-1.98x}{\sqrt {2}}}\right)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{1.135{\sqrt {2\pi }}x}},x\geq 0.}$

También hay coeficientes alternativos disponibles para la 'aproximación de Karagiannidis-Lioumpas' mencionada anteriormente para adaptar la precisión a una aplicación específica o transformarla en un límite estricto. ^[12]

• ^{López-Benítez y Casadevall (2011) [13]} ofrecen una aproximación más estricta y manejable para argumentos positivos, basándose en una función exponencial de segundo orden: ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$

${\displaystyle Q(x)\approx e^{-ax^{2}-bx-c},\qquad x\geq 0.}$

Los coeficientes de ajuste se pueden optimizar sobre cualquier rango deseado de argumentos para minimizar la suma de errores cuadrados ( , , para ) o minimizar el error absoluto máximo ( , , para ). Esta aproximación ofrece algunos beneficios, como un buen equilibrio entre precisión y manejabilidad analítica (por ejemplo, la extensión a cualquier potencia arbitraria de es trivial y no altera la forma algebraica de la aproximación). ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle a=0.3842}$ ${\displaystyle b=0.7640}$ ${\displaystyle c=0.6964}$ ${\displaystyle x\in [0,20]}$ ${\displaystyle a=0.4920}$ ${\displaystyle b=0.2887}$ ${\displaystyle c=1.1893}$ ${\displaystyle x\in [0,20]}$ ${\displaystyle Q(x)}$

InversoQ

La función Q inversa se puede relacionar con las funciones de error inversas :

${\displaystyle Q^{-1}(y)={\sqrt {2}}\ \mathrm {erf} ^{-1}(1-2y)={\sqrt {2}}\ \mathrm {erfc} ^{-1}(2y)}$

La función se aplica en las comunicaciones digitales. Normalmente se expresa en dB y se denomina factor Q : ${\displaystyle Q^{-1}(y)}$

${\displaystyle \mathrm {Q{\text{-}}factor} =20\log _{10}\!\left(Q^{-1}(y)\right)\!~\mathrm {dB} }$

donde y es la tasa de error de bit (BER) de la señal modulada digitalmente que se analiza. Por ejemplo, para la modulación por desplazamiento de fase en cuadratura (QPSK) en ruido blanco gaussiano aditivo, el factor Q definido anteriormente coincide con el valor en dB de la relación señal/ruido que produce una tasa de error de bit igual a y .

Factor Q frente a tasa de error de bit (BER).

Valores

La función Q está bien tabulada y se puede calcular directamente en la mayoría de los paquetes de software matemático, como R y los disponibles en Python , MATLAB y Mathematica . A continuación se ofrecen algunos valores de la función Q como referencia.

Generalización a altas dimensiones

La función Q se puede generalizar a dimensiones superiores: ^[14]

${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbb {P} (\mathbf {X} \geq \mathbf {x} ),}$

donde sigue la distribución normal multivariante con covarianza y el umbral tiene la forma para algún vector positivo y constante positiva . Como en el caso unidimensional, no existe una fórmula analítica simple para la función Q. Sin embargo, la función Q se puede aproximar arbitrariamente bien a medida que se hace cada vez más grande. ^{[15] [16]} ${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {N}}(\mathbf {0} ,\,\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\gamma \Sigma \mathbf {l} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {l} ^{*}>\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \gamma >0}$ ${\displaystyle \gamma }$

Referencias

1. "La función Q". cnx.org . Archivado desde el original el 29 de febrero de 2012.
2. "Propiedades básicas de la función Q" (PDF) . 5 de marzo de 2009. Archivado desde el original (PDF) el 25 de marzo de 2009.
3. Función de distribución normal – de Wolfram MathWorld
4. Craig, JW (1991). "Un resultado nuevo, simple y exacto para calcular la probabilidad de error para constelaciones de señales bidimensionales" (PDF) . MILCOM 91 - Acta de la conferencia . pp. 571–575. doi :10.1109/MILCOM.1991.258319. ISBN . 0-87942-691-8.S2CID16034807  .​
5. Behnad, Aydin (2020). "Una nueva extensión de la fórmula de función Q de Craig y su aplicación en el análisis del rendimiento de EGC de doble rama". IEEE Transactions on Communications . 68 (7): 4117–4125. doi :10.1109/TCOMM.2020.2986209. S2CID  216500014.
6. Gordon, RD (1941). "Valores del cociente de Mills entre el área y la ordenada límite y de la integral de probabilidad normal para valores grandes del argumento". Ann. Math. Stat . 12 (3): 364–366. doi :10.1214/aoms/1177731721.
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8. Chiani, M.; Dardari, D.; Simon, MK (2003). "Nuevos límites exponenciales y aproximaciones para el cálculo de la probabilidad de error en canales con desvanecimiento" (PDF) . IEEE Transactions on Wireless Communications . 24 (5): 840–845. doi :10.1109/TWC.2003.814350.
9. Tanash, IM; Riihonen, T. (2020). "Aproximaciones y límites minimax globales para la función Q gaussiana mediante sumas de exponenciales". IEEE Transactions on Communications . 68 (10): 6514–6524. arXiv : 2007.06939 . doi :10.1109/TCOMM.2020.3006902. S2CID  220514754.
10. Tanash, IM; Riihonen, T. (2020). "Coeficientes para aproximaciones minimax globales y límites para la función Q gaussiana mediante sumas de exponenciales [conjunto de datos]". Zenodo . doi :10.5281/zenodo.4112978.
11. Karagiannidis, George; Lioumpas, Athanasios (2007). "Una aproximación mejorada para la función Q gaussiana" (PDF) . IEEE Communications Letters . 11 (8): 644–646. doi :10.1109/LCOMM.2007.070470. S2CID  4043576.
12. Tanash, IM; Riihonen, T. (2021). "Coeficientes mejorados para las aproximaciones de Karagiannidis–Lioumpas y límites para la función Q gaussiana". IEEE Communications Letters . 25 (5): 1468–1471. arXiv : 2101.07631 . doi :10.1109/LCOMM.2021.3052257. S2CID  231639206.
13. Lopez-Benitez, Miguel; Casadevall, Fernando (2011). "Aproximación versátil, precisa y analíticamente manejable para la función Q gaussiana" (PDF) . IEEE Transactions on Communications . 59 (4): 917–922. doi :10.1109/TCOMM.2011.012711.100105. S2CID  1145101.
14. Savage, IR (1962). "Ratio de Mills para distribuciones normales multivariadas". Revista de investigación de la Oficina Nacional de Normas, sección B. 66 ( 3): 93–96. doi : 10.6028/jres.066B.011 . Zbl  0105.12601.
15. Botev, ZI (2016). "La ley normal bajo restricciones lineales: simulación y estimación mediante inclinación minimax". Revista de la Royal Statistical Society, Serie B . 79 : 125–148. arXiv : 1603.04166 . Código Bibliográfico :2016arXiv160304166B. doi :10.1111/rssb.12162. S2CID  88515228.
16. Botev, ZI; Mackinlay, D.; Chen, Y.-L. (2017). "Estimación logarítmicamente eficiente de la cola de la distribución normal multivariante". Conferencia de simulación de invierno de 2017 (WSC) . IEEE. págs. 1903–191. doi :10.1109/WSC.2017.8247926. ISBN . 978-1-5386-3428-8.S2CID4626481  .​