Abraham de Moivre nació en Vitry-le-François, en la región de Champaña, el 26 de mayo de 1667. Su padre, Daniel de Moivre, era un cirujano que creía en el valor de la educación. Aunque los padres de Abraham de Moivre eran protestantes, asistió primero a la escuela católica de los Hermanos Cristianos en Vitry, que era inusualmente tolerante dadas las tensiones religiosas en Francia en ese momento. Cuando tenía once años, sus padres lo enviaron a la Academia Protestante de Sedán , donde pasó cuatro años estudiando griego con Jacques du Rondel. La Academia Protestante de Sedán había sido fundada en 1579 por iniciativa de Françoise de Bourbon, la viuda de Henri-Robert de la Marck.
En 1682, la Academia Protestante de Sedán fue suprimida y De Moivre se matriculó para estudiar lógica en Saumur durante dos años. Aunque las matemáticas no formaban parte de su plan de estudios, De Moivre leyó varias obras sobre matemáticas por su cuenta, entre ellas, Éléments des mathématiques del sacerdote oratoriano y matemático francés Jean Prestet y un breve tratado sobre juegos de azar, De Ratiociniis in Ludo Aleae , de Christiaan Huygens , físico, matemático, astrónomo e inventor holandés. En 1684, De Moivre se trasladó a París para estudiar física y, por primera vez, recibió formación formal en matemáticas con lecciones privadas de Jacques Ozanam .
La persecución religiosa en Francia se agravó cuando el rey Luis XIV promulgó el Edicto de Fontainebleau en 1685, que revocó el Edicto de Nantes , que había otorgado derechos sustanciales a los protestantes franceses. Prohibía el culto protestante y exigía que todos los niños fueran bautizados por sacerdotes católicos. De Moivre fue enviado a Prieuré Saint-Martin-des-Champs, una escuela a la que las autoridades enviaban a los niños protestantes para adoctrinarlos en el catolicismo.
No está claro cuándo De Moivre dejó el Prieuré de Saint-Martin y se mudó a Inglaterra, ya que los registros del Prieuré de Saint-Martin indican que dejó la escuela en 1688, pero De Moivre y su hermano se presentaron como hugonotes admitidos en la Iglesia de Saboya en Londres el 28 de agosto de 1687.
Años intermedios
Cuando llegó a Londres, De Moivre era un matemático competente con un buen conocimiento de muchos de los textos estándar. [1] Para ganarse la vida, De Moivre se convirtió en tutor privado de matemáticas , visitando a sus alumnos o enseñando en las cafeterías de Londres. De Moivre continuó sus estudios de matemáticas después de visitar al conde de Devonshire y ver el reciente libro de Newton, Principia Mathematica . Al mirar el libro, se dio cuenta de que era mucho más profundo que los libros que había estudiado anteriormente, y se decidió a leerlo y comprenderlo. Sin embargo, como se le exigía que hiciera largos paseos por Londres para viajar entre sus estudiantes, De Moivre tenía poco tiempo para estudiar, por lo que arrancó páginas del libro y las llevó en su bolsillo para leer entre lecciones.
Según una historia posiblemente apócrifa, Newton, en los últimos años de su vida, solía remitir a las personas que le planteaban preguntas matemáticas a De Moivre, diciendo: "Él sabe todas estas cosas mejor que yo". [2]
Después de que De Moivre fuera aceptado, Halley lo animó a que se centrara en la astronomía. En 1705, De Moivre descubrió, intuitivamente, que "la fuerza centrípeta de cualquier planeta está directamente relacionada con su distancia al centro de las fuerzas y recíprocamente relacionada con el producto del diámetro de la evoluta por el cubo de la perpendicular a la tangente". En otras palabras, si un planeta, M, sigue una órbita elíptica alrededor de un foco F y tiene un punto P donde PM es tangente a la curva y FPM es un ángulo recto de modo que FP es la perpendicular a la tangente, entonces la fuerza centrípeta en el punto P es proporcional a FM/(R*(FP) 3 ) donde R es el radio de la curvatura en M. El matemático Johann Bernoulli demostró esta fórmula en 1710.
A pesar de estos éxitos, De Moivre no pudo obtener un puesto en una cátedra de matemáticas en ninguna universidad, lo que lo hubiera liberado de su dependencia de una tutoría que le quitaba mucho tiempo y que lo agobiaba más que a la mayoría de los matemáticos de la época. Al menos en parte, la razón fue un prejuicio contra sus orígenes franceses. [3] [4] [5]
En noviembre de 1697 fue elegido miembro de la Royal Society [1] y en 1712 fue nombrado miembro de una comisión creada por la sociedad, junto con los señores Arbuthnot, Hill, Halley, Jones, Machin, Burnet, Robarts, Bonet, Aston y Taylor, para revisar las afirmaciones de Newton y Leibniz sobre quién descubrió el cálculo. Los detalles completos de la controversia se pueden encontrar en el artículo Leibniz and Newton calculus controversial .
De Moivre permaneció pobre toda su vida. Se dice que era un cliente habitual del antiguo Slaughter's Coffee House , en St. Martin's Lane y Cranbourn Street, donde ganaba algo de dinero jugando al ajedrez.
Años posteriores
De Moivre continuó estudiando los campos de la probabilidad y las matemáticas hasta su muerte en 1754 y varios artículos adicionales fueron publicados después de su muerte. A medida que envejecía, se volvió cada vez más letárgico y necesitaba más horas de sueño. Es una afirmación común que De Moivre notó que dormía 15 minutos extra cada noche y calculó correctamente la fecha de su muerte como el día en que el tiempo de sueño alcanzó las 24 horas, el 27 de noviembre de 1754. [6] Ese día, de hecho, murió, en Londres y su cuerpo fue enterrado en St Martin-in-the-Fields , aunque su cuerpo fue trasladado más tarde. Sin embargo, la afirmación de que predijo su propia muerte ha sido cuestionada por no haber sido documentada en ningún lugar en el momento de su ocurrencia. [7]
Probabilidad
De Moivre fue pionero en el desarrollo de la geometría analítica y la teoría de la probabilidad al ampliar el trabajo de sus predecesores, en particular Christiaan Huygens y varios miembros de la familia Bernoulli. También produjo el segundo libro de texto sobre teoría de la probabilidad, The Doctrine of Chances: a method of calculating the probabilities of events in play (El primer libro sobre juegos de azar, Liber de ludo aleae [ Sobre el lanzamiento de los dados ], fue escrito por Girolamo Cardano en la década de 1560, pero no se publicó hasta 1663). Este libro salió en cuatro ediciones, 1711 en latín y en inglés en 1718, 1738 y 1756. En las ediciones posteriores de su libro, de Moivre incluyó su resultado inédito de 1733, que es el primer enunciado de una aproximación a la distribución binomial en términos de lo que ahora llamamos la función normal o gaussiana . [8] Este fue el primer método para hallar la probabilidad de ocurrencia de un error de un tamaño dado cuando dicho error se expresa en términos de la variabilidad de la distribución como una unidad, y la primera identificación del cálculo del error probable . Además, aplicó estas teorías a problemas de juego y tablas actuariales .
Una expresión que se encuentra comúnmente en probabilidad es n ! pero antes de la época de las calculadoras, calcular n ! para un n grande consumía mucho tiempo. En 1733, de Moivre propuso la fórmula para estimar un factorial como n ! = cn ( n +1/2) e − n . Obtuvo una expresión aproximada para la constante c, pero fue James Stirling quien descubrió que c era √ 2 π . [9]
De Moivre también publicó un artículo titulado "Anualidades sobre vidas" en el que reveló la distribución normal de la tasa de mortalidad a lo largo de la edad de una persona. A partir de esto, elaboró una fórmula simple para aproximar los ingresos producidos por los pagos anuales basados en la edad de una persona. Esta fórmula es similar a los tipos de fórmulas que utilizan las compañías de seguros en la actualidad.
Prioridad respecto a la distribución de Poisson
Algunos resultados sobre la distribución de Poisson fueron introducidos por primera vez por de Moivre en De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus en Philosophical Transactions of the Royal Society, p. 219. [10] Como resultado, algunos autores han argumentado que la distribución de Poisson debería llevar el nombre de de Moivre. [11] [12]
La fórmula de De Moivre
En 1707, de Moivre derivó una ecuación de la que se puede deducir:
En 1749 Euler demostró esta fórmula para cualquier número real n utilizando la fórmula de Euler , lo que hace que la prueba sea bastante sencilla. [17] Esta fórmula es importante porque relaciona los números complejos y la trigonometría . Además, esta fórmula permite la derivación de expresiones útiles para cos( nx ) y sen( nx ) en términos de cos( x ) y sen( x ).
Aproximación de Stirling
De Moivre había estado estudiando probabilidad, y sus investigaciones requerían que calculara coeficientes binomiales, lo que a su vez requería que calculara factoriales. [18] [19] En 1730, de Moivre publicó su libro Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis [Miscelánea analítica de series e integrales], que incluía tablas de log ( n !). [20] Para valores grandes de n , de Moivre aproximó los coeficientes de los términos en una expansión binomial. Específicamente, dado un entero positivo n , donde n es par y grande, entonces el coeficiente del término medio de (1 + 1) n se aproxima mediante la ecuación: [21] [22]
El 19 de junio de 1729, James Stirling envió a de Moivre una carta, que ilustraba cómo calculaba el coeficiente del término medio de una expansión binomial ( a + b ) n para valores grandes de n . [23] [24] En 1730, Stirling publicó su libro Methodus Differentialis [El método diferencial], en el que incluyó su serie para log( n !): [25]
de modo que para grandes , .
El 12 de noviembre de 1733, de Moivre publicó y distribuyó en forma privada un panfleto – Approximatio ad Summam Terminorum Binomii ( a + b ) n in Seriem expansi [Aproximación de la suma de los términos del binomio ( a + b ) n expandido en una serie] – en el que reconocía la carta de Stirling y proponía una expresión alternativa para el término central de una expansión binomial. [26]
^ Bellhouse, David R. (2011). Abraham De Moivre: Preparando el terreno para la probabilidad clásica y sus aplicaciones . Londres: Taylor & Francis. pág. 99. ISBN.978-1-56881-349-3.
^ Coughlin, Raymond F.; Zitarelli, David E. (1984). El ascenso de las matemáticas . McGraw-Hill. pág. 437. ISBN0-07-013215-1Desafortunadamente , debido a que no era británico, De Moivre nunca pudo obtener un puesto de profesor universitario.
^ Jungnickel, Christa ; McCormmach, Russell (1996). Cavendish. Memorias de la Sociedad Filosófica Americana. Vol. 220. Sociedad Filosófica Americana. p. 52. ISBN9780871692207. Aunque tenía buenas conexiones en los círculos matemáticos y era muy apreciado por su trabajo, no pudo conseguir un buen trabajo. Ni siquiera su conversión a la Iglesia de Inglaterra en 1705 pudo cambiar el hecho de que era extranjero.
^ Tanton, James Stuart (2005). Enciclopedia de matemáticas. Infobase Publishing. pág. 122. ISBN9780816051243. Esperaba conseguir un puesto en la facultad de matemáticas pero, como era extranjero, nunca le ofrecieron tal nombramiento.
^ "Detalles biográficos: ¿Abraham de Moivre realmente predijo su propia muerte?".
^ Ver:
Abraham De Moivre (12 de noviembre de 1733) "Aproximatio ad summam terminorum binomii (a+b) n in seriem expansi" (folleto autoeditado), 7 páginas.
Traducción al inglés: A. De Moivre, The Doctrine of Chances … , 2.ª ed. (Londres, Inglaterra: H. Woodfall, 1738), págs. 235–243.
^ Pearson, Karl (1924). "Nota histórica sobre el origen de la curva normal de errores". Biometrika . 16 (3–4): 402–404. doi :10.1093/biomet/16.3-4.402.
^ Johnson, NL, Kotz, S., Kemp, AW (1993) Distribuciones discretas univariadas (2.ª edición). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 , pág. 157.
^ Stigler, Stephen M. (1982). "Poisson sobre la distribución de Poisson". Statistics & Probability Letters . 1 : 33–35. doi :10.1016/0167-7152(82)90010-4.
^ Hald, Anders; de Moivre, Abraham; McClintock, Bruce (1984). "A. de Moivre: 'De Mensura Sortis' o 'Sobre la medida del azar'". Revista estadística internacional/Revue Internationale de Statistique . 1984 (3): 229–262. JSTOR 1403045.
^ Moivre, Ab. de (1707). "Aequationum quarundam potestatis tertiae, quintae, septimae, nonae, & superiorum, ad infinitum usque pergendo, in termimis finitis, ad instar regularum pro cubicis quae vocantur Cardani, resolutio analytica" [De ciertas ecuaciones de la tercera, quinta, séptima, novena, & potencia superior, hasta el infinito, procediendo, en términos finitos, en forma de reglas para cúbicas que Cardano llama resolución por análisis.]. Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres (en latín). 25 (309): 2368–2371. doi :10.1098/rstl.1706.0037. S2CID 186209627.
Traducción al inglés de Richard J. Pulskamp (2009)
En la p. 2370 de Moivre afirmó que si una serie tiene la forma , donde n es cualquier entero impar (positivo o negativo) y donde y y a pueden ser funciones, entonces al resolver y , el resultado es la ecuación (2) en la misma página: . Si y = cos x y a = cos nx , entonces el resultado es
En 1676, Isaac Newton encontró la relación entre dos cuerdas que estaban en la razón de n a 1; la relación fue expresada por la serie anterior. La serie aparece en una carta —Epistola prior D. Issaci Newton, Mathescos Professoris in Celeberrima Academia Cantabrigiensi; … — del 13 de junio de 1676 de Isaac Newton a Henry Oldenburg, secretario de la Royal Society; una copia de la carta fue enviada a Gottfried Wilhelm Leibniz . Véase p. 106 de: Biot, J.-B.; Lefort, F., eds. (1856). Commercium epistolicum J. Collins et aliorum de analysi promota, etc: ou … (en latín). París, Francia: Mallet-Bachelier. págs. 102–112.
En 1698, de Moivre derivó la misma serie. Véase: de Moivre, A. (1698). "Un método para extraer raíces de una ecuación infinita". Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 20 (240): 190–193. doi : 10.1098/rstl.1698.0034 . S2CID 186214144.; ver pág. 192.
En 1730, de Moivre consideró explícitamente el caso en que las funciones son cos θ y cos nθ. Véase: Moivre, A. de (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis (en latín). Londres, Inglaterra: J. Tonson & J. Watts. p. 1. De la pág. 1: "Lema 1. Si seno l y x coseno arcuum duorum A y B, quórum uterque eodem radio 1 describetur, quórumque prior sit posterioris multiplex in ea ratione quam habet numerus n ad unitatem, tunc erit ." (Si l y x son cosenos de dos arcos A y B, ambos descritos por el mismo radio 1 y de los cuales el primero es múltiplo del segundo en esa razón como el número n tiene a 1, entonces será [verdadero que] .) Por lo tanto, si arco A = n × arco B, entonces l = cos A = cos nB y x = cos B. Por lo tanto
Ver también:
Cantor, Moritz (1898). Vorlesungen über Geschichte der Mathematik [Conferencias sobre historia de las matemáticas ]. Bibliotheca mathematica Teuberiana, Bd. 8-9 (en alemán). vol. 3. Leipzig, Alemania: BG Teubner. pag. 624.
Braunmühl, A. von (1901). "Zur Geschichte der Entstehung des sogenannten Moivreschen Satzes" [Sobre la historia del origen del llamado teorema de Moivre]. Biblioteca Matemática . 3ª serie (en alemán). 2 : 97-102.; ver pág. 98.
^ Smith, David Eugene (1959), Un libro de referencia sobre matemáticas, Volumen 3, Courier Dover Publications, pág. 444, ISBN9780486646909
^ Moivre, A. de (1722). "De sectione anguli" [Sobre la sección de un ángulo] (PDF) . Philosophical Transactions of the Royal Society of London (en latín). 32 (374): 228–230. doi :10.1098/rstl.1722.0039. S2CID 186210081 . Consultado el 6 de junio de 2020 .
Traducción al inglés de Richard J. Pulskamp (2009) Archivado el 28 de noviembre de 2020 en Wayback Machine.
De la pág. 229: "Sit x sinus versus arcus cujuslibert. [Sit] t sinus versus arcus alterius. [Sit] 1 radio circuli. Sitque arcus prior ad posteriorum ut 1 ad n , tunc, assumptis binis aequationibus quas cognatas appelare licet, 1 – 2 z n + z 2 n = – 2 z n t 1 – 2 z + zz = – 2 zx . Expunctoque z orietur aequatio qua relatio inter x & t determinatur."
(Sea x el verseno de cualquier arco [es decir, x = 1 – cos θ ]. [Sea] t el verseno de otro arco. [Sea] 1 el radio del círculo. Y sea el primer arco al último [es decir, "otro arco"] sea de 1 a n [de modo que t = 1 – cos nθ ], entonces, con las dos ecuaciones asumidas que pueden llamarse relacionadas, 1 – 2 z n + z 2 n = –2 z n t
1 – 2 z + zz = – 2 zx . Y al eliminar z , surgirá la ecuación por la que se determina la relación entre x y t .)
Es decir, dadas las ecuaciones 1 – 2 z n + z 2 n = – 2 z n (1 – cos n θ) 1 – 2 z + zz = – 2 z (1 – cos θ), use la fórmula cuadrática para resolver z n en la primera ecuación y para z en la segunda ecuación. El resultado será: z n = cos n θ ± i sen n θ y z = cos θ ± i sen θ , de donde se sigue inmediatamente que (cos θ ± i sen θ) n = cos n θ ± i sen n θ. Véase también:
Smith, David Eugen (1959). A Source Book in Mathematics. Vol. 2. Nueva York, Nueva York, EE. UU.: Dover Publications Inc., págs. 444–446.Véase pág. 445, nota 1.
^ En 1738, de Moivre utilizó la trigonometría para determinar las raíces n-ésimas de un número real o complejo. Véase: Moivre, A. de (1738). "De reductione radicalium ad simpliciores terminos, seu de extrahenda radice quacunque data ex binomio , vel . Epistola" [Sobre la reducción de radicales a términos más simples, o sobre la extracción de cualquier raíz dada de un binomio, o . Una letra.]. Philosophical Transactions of the Royal Society of London (en latín). 40 (451): 463–478. doi :10.1098/rstl.1737.0081. S2CID 186210174. De la pág. 475: "Problema III. Sit extrahenda radix, cujus index est n, ex binomio impossibli ... illos autem negativos quorum arcus sunt quadrante majores". (Problema III. Sea una raíz cuyo índice [es decir, grado] es n extraída del binomio complejo . Solución. Sea su raíz , entonces defino ; también defino [Nota: debería leerse: ], dibujar o imaginar un círculo , cuyo radio es , y supóngase en este [círculo] algún arco A cuyo coseno es ; sea C la circunferencia entera. Supóngase, [medidos] en el mismo radio, los cosenos de los arcos , etc.
hasta que la multitud [es decir, número] de ellos [es decir, los arcos] es igual al número n; cuando esto se hace, deténgase allí; entonces habrá tantos cosenos como valores de la cantidad , que está relacionada con la cantidad ; esto [es decir, ] siempre No debe
descuidarse, aunque se mencionó anteriormente, [que] aquellos cosenos cuyos arcos son menores que un ángulo recto [deben considerarse como] positivos, pero aquellos cuyos arcos son mayores que un ángulo recto [deben considerarse como] negativos . .)
Véase también:
Braunmühl, A. von (1903). Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie [ Conferencias sobre la historia de la trigonometría ] (en alemán). vol. 2. Leipzig, Alemania: BG Teubner. págs. 76–77.
^ Euler (1749). "Recherches sur les racines imaginaires des ecuaciones" [Investigaciones sobre las raíces complejas de las ecuaciones]. Mémoires de l'académie des sciences de Berlin (en francés). 5 : 222–288. Véanse págs. 260-261: " Teorema XIII. §. 70. De quelque puissance qu'on extraye la racine, ou d'une quantité réelle, ou d'une imaginaire de la forme M + N √-1, les racines seront toujours, ou réelles, ou imaginaires de la même forme M + N √-1 " (Teorema XIII. §. 70. Para cualquier potencia, ya sea una cantidad real o una compleja [una] de la forma M + N √−1. , del cual se extrae la raíz, las raíces siempre serán reales o complejas de la misma forma M + N √−1.)
^ De Moivre había estado tratando de determinar el coeficiente del término medio de (1 + 1) n para n grande desde 1721 o antes. En su panfleto del 12 de noviembre de 1733 – "Aproximación ad Summam Terminorum Binomii ( a + b ) n en Seriem expansi" [Aproximación de la suma de los términos del binomio ( a + b ) n desarrollado en una serie] – de Moivre dijo que había comenzado a trabajar en el problema hace 12 años o más: "Duodecim jam sunt anni & amplius cum illud inveneram; … " (Han pasado ya una docena de años o más desde que encontré esto [es decir, lo que sigue]; … ).
(Archibald, 1926), pág. 677.
(de Moivre, 1738), pág. 235.
De Moivre atribuyó a Alexander Cuming (ca. 1690 – 1775), un aristócrata escocés y miembro de la Royal Society de Londres, la motivación, en 1721, de su búsqueda para encontrar una aproximación para el término central de una expansión binomial. (de Moivre, 1730), pág. 99.
^ Los papeles de De Moivre y Stirling en la búsqueda de la aproximación de Stirling se presentan en:
Gélinas, Jacques (24 de enero de 2017) "Pruebas originales de la serie de Stirling para log (N!)" arxiv.org
Lanier, Denis; Trotoux, Didier (1998). "La formule de Stirling" [Fórmula de Stirling] Comisión inter-IREM histoire et épistémologie des mathématiques (ed.). Analyse & démarche analytique : les neveux de Descartes : actes du XIème Colloque inter-IREM d'épistémologie et d'histoire des mathématiques, Reims, 10 et 11 mai 1996 [Análisis y razonamiento analítico: los "sobrinos" de Descartes: actas del XI coloquio inter-IREM sobre epistemología e historia de las matemáticas, Reims, 10-11 de mayo de 1996] (en francés). Reims, Francia: IREM [Institut de Rercherche sur l'Enseignement des Mathématiques] de Reims. págs. 231–286.
^ Moivre, A. de (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis [ Miscelánea analítica de series y cuadraturas [es decir, integrales] ]. Londres, Inglaterra: J. Tonson y J. Watts. págs. 103–104.
^ De la pág. 102 de (de Moivre, 1730): "Problema III. Invenire Coficientem Termini medii potestatis permagnae & paris, seu invenire rationem quam Coefficiens termini medii habeat ad summam omnium Coficientium.… ad 1 proxime".
(Problema 3. Halla el coeficiente del término medio [de una expansión binomial] para una potencia muy grande y par [ n ], o halla la relación que tiene el coeficiente del término medio con la suma de todos los coeficientes.
Solución. Sea n sea el grado de la potencia a la que se eleva el binomio a + b , entonces, haciendo [ambos] a y b = 1, la razón del término medio a su potencia ( a + b ) n o 2 n [Nota: la suma de todos los coeficientes de la expansión binomial de (1 + 1) n es 2 n .] será casi igual a 1.
Pero cuando algunas series para una investigación podrían determinarse con mayor precisión [pero] se habían descuidado debido a la falta del tiempo, luego calculo por reintegración [y] recupero para su uso las cantidades particulares [que] previamente habían sido descuidadas; así sucedió que finalmente pude concluir que la relación [que se] busca es aproximadamente o igual a 1.)
La aproximación se deriva de las páginas. 124-128 de (de Moivre, 1730).
^ De Moivre determinó el valor de la constante aproximando el valor de una serie utilizando solo sus primeros cuatro términos. De Moivre creía que la serie convergía, pero el matemático inglés Thomas Bayes (ca. 1701–1761) descubrió que, en realidad, la serie divergía. De las páginas 127-128 de (de Moivre, 1730): "Cum vero perciperem tiene Series valde implicatas evadere, … conclusi factorem 2.168 seu " (Pero cuando concebí [cómo] evitar estas series muy complicadas —aunque todas ellas eran perfectamente sumables— creo que [no había] nada más que hacer, que transformarlas al caso infinito; así, puesto m al infinito, entonces la suma de la primera serie racional se reducirá a 1/12, la suma de la segunda [se reducirá] a 1/360; así sucede que se logran las sumas de todas las series. De esta serie , etc., uno podrá descartar tantos términos como sea de su agrado; pero decidí [retener] cuatro [términos] de esta [serie], porque bastaban [como] una aproximación suficientemente precisa; ahora bien, cuando esta serie es convergente, entonces sus términos disminuyen con alternando signos positivos y negativos, [y] se puede inferir que el primer término 1/12 es mayor [que] la suma de la serie, o el primer término es mayor [que] la diferencia que existe entre todos los términos positivos y todos los términos negativos; pero ese término debe considerarse como un logaritmo hiperbólico [es decir, natural]; además, el número correspondiente a este logaritmo es casi 1.0869 [o sea, ln(1.0869) ≈ 1/12], que si se multiplica por 2, el producto será 2.1738, y así [en el caso de un binomio elevado] a una potencia infinita, designada por n , la cantidad será mayor que la razón que el término medio del binomio tiene con la suma de todos los términos, y procediendo a los términos restantes, se descubrirá que el factor 2.1676 es justamente menor [que la razón del término medio con la suma de todos los términos], y de manera similar que 2.1695 es mayor, a su vez que 2.1682 se hunde un poco por debajo del verdadero [valor de la razón]; considerando lo cual, concluí que el factor [es] 2.168 o Nota: El factor que de Moivre estaba buscando, era: (Lanier & Trotoux, 1998), p. 237.
Bayes, Thomas (31 de diciembre de 1763). "Una carta del difunto reverendo Sr. Bayes, FRS a John Canton, MA y FRS". Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 53 : 269–271. doi :10.1098/rstl.1763.0044. S2CID 186214800.
^ (de Moivre, 1730), págs. 170-172.
^ En la carta de Stirling del 19 de junio de 1729 a De Moivre, Stirling declaró que había escrito a Alexander Cuming "quadrienium circiter abhinc" (hace unos cuatro años [es decir, 1725]) sobre (entre otras cosas) la aproximación, mediante el método de diferenciales de Isaac Newton, del coeficiente del término medio de una expansión binomial. Stirling reconoció que De Moivre había resuelto el problema años antes: "…; respondit Illustrissimus vir se dubitare an Problema a Te aliquot ante annos solutum de invenienda Uncia media in quavis dignitate Binonii solvi posset per Differentias".
(...; este ilustre hombre [Alexander Cuming] respondió que dudaba de que el problema resuelto por usted varios años antes, relativo al comportamiento del término medio de cualquier potencia del binomio, pudiera resolverse mediante diferenciales.) Stirling escribió que entonces había comenzado a investigar el problema, pero que inicialmente su progreso fue lento.
(de Moivre, 1730), pág. 170.
Zabell, SL (2005). La simetría y sus descontentos: ensayos sobre la historia de la probabilidad inductiva. Nueva York, Nueva York, EE. UU.: Cambridge University Press. pág. 113. ISBN 9780521444705.
^ Ver:
Stirling, James (1730). Methodus Differentialis… (en latín). Londres: G. Strahan. pág. 137. De la pág. 137: "Ceterum si velis summam quotcunque Logarithmorum numerorum naturalam 1, 2, 3, 4, 5, &c. pone z–n esse ultimum numerorum, existente n = ½; & tres vel quatuor Termini hujus Seriei [Nota: l,z = log(z)] additi Logarithmo circumferentiae Circuli cujus Radius est Unitas, id est, huic 0.39908.99341.79 dabunt summam quaesitam, idque eo minore labore quo plures Logarithmi sunt summandi." (Además, si quieres la suma de cualquier número de logaritmos de los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, etc., haz que z–n sea el último número, siendo n ½; y tres o cuatro términos de este serie sumada a [la mitad de] el logaritmo de la circunferencia de un círculo cuyo radio es la unidad [es decir, ½ log(2 π )] – es decir, [sumado] a esto: 0.39908.99341.79 – dará la suma [que es] buscado, y cuantos más logaritmos se hayan de añadir, menos trabajo es.) Nota: (Véase pág. 135.) = 1/ln(10).
Traducción al inglés: Stirling, James (1749). El método diferencial. Traducido por Holliday, Francis. Londres, Inglaterra: E. Cave. p. 121.[Nota: El impresor numeró incorrectamente las páginas de este libro, de modo que la página 125 está numerada como "121", la página 126 como "122", y así sucesivamente hasta la página 129.]
^ Ver:
Archibald, RC (octubre de 1926). "Un panfleto raro de Moivre y algunos de sus descubrimientos". Isis (en inglés y latín). 8 (4): 671–683. doi :10.1086/358439. S2CID 143827655.
Una traducción al inglés del panfleto aparece en: Moivre, Abraham de (1738). The Doctrine of Chances… (2.ª ed.). Londres, Inglaterra: Autoedición. págs. 235–243.
Referencias
Véase Miscellanea Analytica de De Moivre (Londres: 1730), págs. 26-42.
HJR Murray , 1913. Historia del ajedrez . Oxford University Press: pág. 846.
Schneider, I., 2005, "La doctrina de las probabilidades" en Grattan-Guinness, I. , ed., Landmark Writings in Western Mathematics . Elsevier: pp 105–20
Lectura adicional
Wikisource tiene obras originales de o sobre: Abraham de Moivre
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"de Moivre, Abraham". Archivado desde el original el 19 de diciembre de 2007. Consultado el 15 de junio de 2002 .
![{\displaystyle y={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a+{\sqrt {aa-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt [{n}]{a-{\sqrt {aa-1}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e00e33900370cd1603acc07dd2af9559c28250c)
![{\displaystyle x={\frac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3059585fa99ce0feebf306b7ec4da490e1e21a0f)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{aa+b}}=m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0315afa9bba9d895ca5fed35bc4cb255cf7e3283)
