La divisibilidad infinita surge de diferentes maneras en filosofía , física , economía , teoría del orden (una rama de las matemáticas) y teoría de la probabilidad (también una rama de las matemáticas). Se puede hablar de divisibilidad infinita, o de la falta de ella, de la materia , el espacio , el tiempo , el dinero u objetos matemáticos abstractos como el continuo .
El origen de la idea en la tradición occidental se remonta al siglo V a. C., comenzando con el filósofo presocrático griego Demócrito y su maestro Leucipo , quienes teorizaron la divisibilidad de la materia más allá de lo que pueden percibir los sentidos hasta terminar en un estado indivisible. átomo. El filósofo indio Maharshi Kanada también propuso una teoría atomista; sin embargo, existe ambigüedad sobre cuándo vivió este filósofo, que va desde algún momento entre el siglo VI y el siglo II a.C. Alrededor del año 500 a. C., postuló que si continuamos dividiendo la materia ( padarth ), obtendremos partículas cada vez más pequeñas. En última instancia, llegará un momento en que nos encontraremos con las partículas más pequeñas más allá de las cuales no será posible una mayor división. Llamó a estas partículas Parmanu . Otro filósofo indio, Pakudha Katyayama , elaboró esta doctrina y dijo que estas partículas normalmente existen en una forma combinada que nos da varias formas de materia. [1] [2] El atomismo se explora en el diálogo de Platón Timeo . Aristóteles demuestra que tanto la longitud como el tiempo son infinitamente divisibles, refutando el atomismo. [3] Andrew Pyle ofrece una explicación lúcida de la divisibilidad infinita en las primeras páginas de su Atomismo y sus críticos . Allí muestra cómo la divisibilidad infinita implica la idea de que hay algún elemento extenso, como una manzana, que puede dividirse infinitas veces, donde nunca se divide en puntos o átomos de ningún tipo. Muchos filósofos [ ¿quién? ] afirman que la divisibilidad infinita implica una colección de un número infinito de elementos (dado que hay infinitas divisiones, debe haber una colección infinita de objetos), o (más raramente), elementos de tamaño puntual , o ambos. Pyle afirma que las matemáticas de las extensiones infinitamente divisibles no implican ninguna de estas cosas: que hay divisiones infinitas, pero sólo colecciones finitas de objetos y que nunca se dividen en elementos puntuales sin extensión.
Zenón cuestionó cómo una flecha puede moverse si en un momento está aquí y está inmóvil y en un momento posterior está en otro lugar e inmóvil.
Sin embargo, el razonamiento de Zenón es falaz cuando dice que si todo lo que ocupa un espacio igual está en reposo, y si lo que está en movimiento ocupa siempre ese espacio en cualquier momento, la flecha que vuela está, por tanto, inmóvil. Esto es falso, porque el tiempo no se compone de momentos indivisibles, como tampoco cualquier otra magnitud se compone de indivisibles. [4]
— Aristóteles, Física VI:9, 239b5
En referencia a la paradoja de Zenón de la flecha en vuelo, Alfred North Whitehead escribe que "un número infinito de actos de devenir pueden tener lugar en un tiempo finito si cada acto posterior es más pequeño en una serie convergente": [5]
El argumento, en la medida en que es válido, suscita una contradicción entre las dos premisas: (i) que en un devenir algo ( res vera ) se convierte, y (ii) que todo acto de devenir es divisible en secciones anteriores y posteriores que son ellos mismos actos de devenir. Consideremos, por ejemplo, un acto de devenir durante un segundo. El acto es divisible en dos actos, uno durante la primera mitad del segundo y el otro durante la segunda mitad del segundo. Así, lo que deviene durante todo el segundo presupone lo que deviene durante el primer medio segundo. Análogamente, lo que deviene durante el primer medio segundo presupone lo que deviene durante el primer cuarto de segundo, y así indefinidamente. Así, si consideramos el proceso de devenir hasta el comienzo del segundo en cuestión y preguntamos en qué se convierte entonces, no podemos dar ninguna respuesta. Porque cualquier criatura que indiquemos presupone una criatura anterior que surgió después del comienzo de la segunda y anterior a la criatura indicada. Luego no hay nada que devenga de modo que se produzca una transición al segundo en cuestión. [5]
- AN Whitehead, Proceso y realidad
Hasta el descubrimiento de la mecánica cuántica no se hacía distinción entre la cuestión de si la materia es infinitamente divisible y la cuestión de si la materia se puede dividir en partes más pequeñas hasta el infinito .
Como resultado, la palabra griega átomos ( ἄτομος ), que literalmente significa "incortable", suele traducirse como "indivisible". Mientras que el átomo moderno es efectivamente divisible, en realidad es indivisible: no existe una partición del espacio tal que sus partes correspondan a partes materiales del átomo. En otras palabras, la descripción mecánico-cuántica de la materia ya no se ajusta al paradigma convencional. [6] Esto arroja nueva luz sobre el antiguo enigma de la divisibilidad de la materia. La multiplicidad de un objeto material –el número de sus partes– depende de la existencia, no de superficies delimitadoras, sino de relaciones espaciales internas (posiciones relativas entre partes), y éstas carecen de valores determinados. Según el modelo estándar de física de partículas, las partículas que forman un átomo ( quarks y electrones ) son partículas puntuales : no ocupan espacio. Sin embargo, lo que hace que un átomo ocupe espacio no es ninguna "materia" espacialmente extendida que "ocupe espacio" y que pueda cortarse en pedazos cada vez más pequeños, sino la indeterminación de sus relaciones espaciales internas.
El espacio físico a menudo se considera infinitamente divisible: se cree que cualquier región del espacio, por pequeña que sea, podría dividirse aún más. De manera similar, el tiempo se considera infinitamente divisible.
Sin embargo, según la teoría física mejor aceptada actualmente, el modelo estándar , hay una distancia (llamada longitud de Planck , 1,616229(38)×10 −35 metros, que lleva el nombre de uno de los padres de la teoría cuántica, Max Planck ) y por lo tanto, un intervalo de tiempo (la cantidad de tiempo que tarda la luz en recorrer esa distancia en el vacío, 5,39116(13) × 10 −44 segundos, conocido como tiempo de Planck ) en el que se espera que el modelo estándar se descomponga, lo que efectivamente hace que esto la escala física más pequeña sobre la cual actualmente se pueden hacer declaraciones significativas. Para predecir el comportamiento físico del espacio-tiempo y de las partículas fundamentales a distancias más pequeñas se requiere una nueva teoría de la Gravedad Cuántica , que unifique las teorías hasta ahora incompatibles de la Mecánica Cuántica y la Relatividad General. [ cita necesaria ]
Un dólar , o un euro , se divide en 100 céntimos; sólo se puede pagar en incrementos de un centavo. Es bastante común que los precios de algunos productos básicos, como la gasolina, estén en incrementos de una décima de centavo por galón o por litro. Si la gasolina cuesta 3,979 dólares por galón y uno compra 10 galones, entonces el 9/10 de centavo "extra" equivale a diez veces más: 9 centavos "extra", por lo que en ese caso se paga el centavo. El dinero es infinitamente divisible en el sentido de que se basa en el sistema de números reales. Sin embargo, las monedas modernas no son divisibles (en el pasado, algunas monedas se pesaban con cada transacción y se consideraban divisibles sin ningún límite particular en mente). Hay un punto de precisión en cada transacción que es inútil porque cantidades tan pequeñas de dinero son insignificantes para los humanos. Cuanto más se multiplica el precio, más puede importar la precisión. Por ejemplo, al comprar un millón de acciones, el comprador y el vendedor pueden estar interesados en una diferencia de precio de una décima de centavo, pero es sólo una elección. Todo lo demás en la medición y elección de negocios es igualmente divisible en la medida en que las partes estén interesadas. Por ejemplo, los informes financieros pueden presentarse anualmente, trimestralmente o mensualmente. Algunos gerentes de negocios generan informes de flujo de caja más de una vez al día.
Aunque el tiempo puede ser infinitamente divisible, los datos sobre los precios de los valores se presentan en momentos discretos. Por ejemplo, si uno mira los registros de precios de acciones en la década de 1920, puede encontrar los precios al final de cada día, pero tal vez no a tres centésimas de segundo después de las 12:47 p.m. Sin embargo, en teoría, un nuevo método podría reportar al doble de la tasa, lo que no impediría mayores aumentos en la velocidad de presentación de informes. Quizás paradójicamente, las matemáticas técnicas aplicadas a los mercados financieros suelen ser más sencillas si se utiliza como aproximación el tiempo infinitamente divisible. Incluso en esos casos, se elige una precisión con la que trabajar y las mediciones se redondean a esa aproximación. En términos de interacción humana, el dinero y el tiempo son divisibles, pero sólo hasta el punto en que una mayor división ya no tiene valor, punto que no se puede determinar con exactitud.
Decir que el cuerpo de los números racionales es infinitamente divisible (es decir, de orden teóricamente denso ) significa que entre dos números racionales cualesquiera existe otro número racional. Por el contrario, el anillo de los números enteros no es infinitamente divisible.
La divisibilidad infinita no implica ausencia de espacios: los racionales no disfrutan de la propiedad mínima del límite superior . Eso significa que si uno dividiera los racionales en dos conjuntos no vacíos A y B donde A contiene todos los racionales menores que algún número irracional ( π , digamos) y B todos los racionales mayores que él, entonces A no tiene ningún miembro más grande y B no tiene miembro más pequeño. El campo de los números reales , por el contrario, es infinitamente divisible y sin espacios. Cualquier conjunto linealmente ordenado que sea infinitamente divisible y sin espacios, y que tenga más de un miembro, es incontablemente infinito . Para obtener una prueba, consulte la primera prueba de incontabilidad de Cantor . La divisibilidad infinita por sí sola implica infinidad pero no incontable, como lo ejemplifican los números racionales.
Decir que una distribución de probabilidad F en la recta real es infinitamente divisible significa que si X es cualquier variable aleatoria cuya distribución es F , entonces para cada entero positivo n existen n variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente X 1 , ..., X n cuya suma es igual en distribución a X (esas n otras variables aleatorias no suelen tener la misma distribución de probabilidad que X ).
La distribución de Poisson , la distribución de Poisson tartamuda, [ cita requerida ] la distribución binomial negativa y la distribución Gamma son ejemplos de distribuciones infinitamente divisibles, al igual que la distribución normal , la distribución de Cauchy y todos los demás miembros de la familia de distribuciones estables . La distribución normal sesgada es un ejemplo de distribución no infinitamente divisible. (Ver Domínguez-Molina y Rocha-Arteaga (2007).)
Cada distribución de probabilidad infinitamente divisible corresponde de forma natural a un proceso de Lévy , es decir, un proceso estocástico { X t : t ≥ 0 } con incrementos independientes estacionarios ( estacionario significa que para s < t , la distribución de probabilidad de X t − X s depende sólo de t − s ; incrementos independientes significa que esa diferencia es independiente de la diferencia correspondiente en cualquier intervalo que no se superponga con [ s , t ], y de manera similar para cualquier número finito de intervalos).
Este concepto de divisibilidad infinita de las distribuciones de probabilidad fue introducido en 1929 por Bruno de Finetti .
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