Las paradojas de Zenón son un conjunto de problemas filosóficos ideados por el filósofo griego eleático Zenón de Elea ( c. 490-430 a. C.).
Los orígenes de las paradojas son algo confusos, pero generalmente se cree que se desarrollaron para apoyar la doctrina monista de Parménides , que toda la realidad es una y que todo cambio es imposible [ se necesita aclaración ] . Diógenes Laërtius , citando a Favorinus , dice que el maestro de Zenón, Parménides, fue el primero en introducir la paradoja de Aquiles y la tortuga. Pero en un pasaje posterior, Laercio atribuye el origen de la paradoja a Zenón y explica que Favorino no está de acuerdo. [1] [ se necesita una mejor fuente ]
Muchas de estas paradojas sostienen que, contrariamente a la evidencia de los sentidos, el movimiento no es más que una ilusión . En el Parménides de Platón (128a-d), se caracteriza a Zenón por asumir el proyecto de crear estas paradojas porque otros filósofos afirmaron que las paradojas surgen al considerar la visión de Parménides. Los argumentos de Zenón pueden ser entonces ejemplos tempranos de un método de prueba llamado reductio ad absurdum , también conocido como prueba por contradicción . Así, Platón hace que Zenón diga que el propósito de las paradojas "es mostrar que su hipótesis de que las existencias son muchas, si se sigue adecuadamente, conduce a resultados aún más absurdos que la hipótesis de que son una". [2] Platón hace que Sócrates afirme que Zenón y Parménides estaban esencialmente argumentando exactamente el mismo punto. [3] También se les atribuye el mérito de ser la fuente del método dialéctico utilizado por Sócrates. [4]
Algunas de las nueve paradojas de Zenón que se conservan (conservadas en la Física de Aristóteles [5] [6] y el comentario de Simplicio al respecto) son esencialmente equivalentes entre sí. Aristóteles ofreció una respuesta a algunas de ellas. [5] La literatura popular a menudo tergiversa los argumentos de Zenón. Por ejemplo, se dice a menudo que Zenón argumentó que la suma de un número infinito de términos debe ser en sí misma infinita, con el resultado de que no sólo el tiempo, sino también la distancia a recorrer, se vuelven infinitos. [7] Sin embargo, en ninguna de las fuentes antiguas originales Zenón habla de la suma de una serie infinita. Simplicio hace que Zenón diga "es imposible atravesar un número infinito de cosas en un tiempo finito". Esto presenta el problema de Zenón no con encontrar la suma , sino más bien con terminar una tarea con un número infinito de pasos: ¿cómo se puede llegar de A a B, si se puede identificar un número infinito de eventos (no instantáneos) que necesitan ser identificados? preceder la llegada a B, y no se puede llegar ni siquiera al comienzo de un "último evento"? [8] [9] [10] [11]
A continuación se presentan en detalle tres de los más fuertes y famosos: el de Aquiles y la tortuga, el argumento de la dicotomía y el de una flecha en vuelo.
Lo que está en locomoción debe llegar a la mitad del camino antes de llegar a la meta.
— según lo relatado por Aristóteles , Física VI:9, 239b10
Supongamos que Atalanta desea caminar hasta el final de un camino. Antes de poder llegar allí, debe llegar a la mitad del camino. Antes de llegar a la mitad del camino, debe recorrer una cuarta parte del camino. Antes de viajar un cuarto, debe viajar un octavo; antes de un octavo, un decimosexto; etcétera.
La secuencia resultante se puede representar como:
Esta descripción requiere que uno complete un número infinito de tareas, lo que Zenón sostiene que es imposible. [12]
Esta secuencia también presenta un segundo problema, ya que no contiene una primera distancia que recorrer, ya que cualquier primera distancia posible (finita) podría dividirse por la mitad y, por lo tanto, no sería la primera después de todo. Por lo tanto, el viaje ni siquiera puede comenzar. La conclusión paradójica entonces sería que un viaje a través de cualquier distancia finita no puede completarse ni iniciarse, por lo que todo movimiento debe ser una ilusión . [13]
Este argumento se llama " dicotomía " porque implica dividir repetidamente una distancia en dos partes. Un ejemplo con el sentido original lo podemos encontrar en una asíntota . También se la conoce como la paradoja del hipódromo .
En una carrera, el corredor más rápido nunca puede adelantar al más lento, ya que el perseguidor debe llegar primero al punto de partida del perseguido, de modo que el más lento siempre debe llevar la delantera.
— según lo relatado por Aristóteles , Física VI:9, 239b15
En la paradoja de Aquiles y la tortuga , Aquiles está en una carrera con la tortuga. Aquiles permite a la tortuga una ventaja de 100 metros, por ejemplo. Supongamos que cada corredor comienza a correr a una velocidad constante, uno más rápido que el otro. Después de un tiempo determinado, Aquiles habrá corrido 100 metros hasta llegar al punto de partida de la tortuga. Durante este tiempo, la tortuga ha recorrido una distancia mucho más corta, digamos 2 metros. Entonces Aquiles necesitará algo más de tiempo para recorrer esa distancia, momento en el cual la tortuga habrá avanzado más; y luego aún más tiempo para llegar a este tercer punto, mientras la tortuga avanza. Por lo tanto, cada vez que Aquiles llega a algún lugar donde estuvo la tortuga, todavía le queda cierta distancia por recorrer antes de poder alcanzarla. Como señaló Aristóteles, este argumento es similar a la dicotomía. [14] Carece, sin embargo, de la aparente conclusión de la inmovilidad.
Si todo cuando ocupa un espacio igual está en reposo en ese instante de tiempo, y si lo que está en locomoción siempre está ocupando ese espacio en cualquier momento, la flecha voladora está por tanto inmóvil en ese instante de tiempo y en el instante siguiente. de tiempo pero si ambos instantes de tiempo se toman como el mismo instante o instante de tiempo continuo entonces está en movimiento. [15]
— según lo relatado por Aristóteles , Física VI:9, 239b5
En la paradoja de la flecha, Zenón afirma que para que se produzca movimiento, un objeto debe cambiar la posición que ocupa. Da un ejemplo de una flecha en vuelo. Afirma que en cualquier instante de tiempo (sin duración), la flecha no se mueve ni hacia donde está ni hacia donde no está. [16] No puede trasladarse a donde no está, porque no transcurre el tiempo para trasladarse allí; no puede moverse hacia donde está, porque ya está allí. En otras palabras, en cada instante de tiempo no se produce ningún movimiento. Si todo está inmóvil en cada instante y el tiempo está enteramente compuesto de instantes, entonces el movimiento es imposible.
Mientras que las dos primeras paradojas dividen el espacio, esta paradoja comienza dividiendo el tiempo, y no en segmentos, sino en puntos. [17]
Aristóteles plantea otras tres paradojas.
De Aristóteles:
Si todo lo que existe tiene un lugar, el lugar también tendrá un lugar, y así hasta el infinito . [18]
Descripción de la paradoja del Diccionario de Filosofía de Routledge :
El argumento es que un solo grano de mijo no emite ningún sonido al caer, pero mil granos sí lo hacen. De ahí que mil nadas se conviertan en algo, en una conclusión absurda. [19]
La respuesta de Aristóteles:
El razonamiento de Zenón es falso cuando sostiene que no hay parte del mijo que no emita un sonido: porque no hay razón por la que una parte de ese tipo no deje de mover en un período de tiempo el aire que mueve todo el bushel al caer. . De hecho, no mueve por sí mismo ni siquiera una cantidad de aire tal como lo haría si esta parte estuviera sola; pues ninguna parte existe siquiera de otro modo que potencialmente. [20]
Descripción de Nick Huggett:
Éste es un argumento parmenideo de que no se puede confiar en el sentido del oído. La respuesta de Aristóteles parece ser que incluso los sonidos inaudibles pueden contribuir a un sonido audible. [21]
De Aristóteles:
... con respecto a las dos filas de cuerpos, cada fila compuesta por un número igual de cuerpos de igual tamaño, que se cruzan entre sí en una pista de carreras mientras avanzan con igual velocidad en direcciones opuestas, ocupando originalmente la fila el espacio entre la meta y el punto medio del recorrido y la otra entre el punto medio y el poste de salida. Esto... implica la conclusión de que la mitad de un tiempo dado es igual al doble de ese tiempo. [22]
Para una explicación ampliada de los argumentos de Zenón tal como los presentó Aristóteles, véase el comentario de Simplicio Sobre la física de Aristóteles . [ se necesita cita completa ]
Según Simplicio , Diógenes el Cínico no dijo nada al escuchar los argumentos de Zenón, sino que se levantó y caminó, para demostrar la falsedad de las conclusiones de Zenón [ cita requerida ] (ver solvitur ambulando [¿ investigación original? ] ). Sin embargo, para resolver completamente cualquiera de las paradojas, es necesario mostrar qué está mal en el argumento, no sólo en las conclusiones. A lo largo de la historia se han propuesto varias soluciones, entre las primeras registradas se encuentran las de Aristóteles y Arquímedes.
Aristóteles (384 a. C.-322 a. C.) señaló que a medida que la distancia disminuye, el tiempo necesario para cubrir esas distancias también disminuye, de modo que el tiempo necesario también se vuelve cada vez más pequeño. [23] [ verificación fallida ] [24] Aristóteles también distinguió "cosas infinitas con respecto a la divisibilidad" (como una unidad de espacio que puede dividirse mentalmente en unidades cada vez más pequeñas sin dejar de ser espacialmente igual) de cosas (o distancias) que son de extensión infinita ("con respecto a sus extremidades"). [25] La objeción de Aristóteles a la paradoja de la flecha fue que "el tiempo no está compuesto de ahoras indivisibles, como tampoco cualquier otra magnitud está compuesta de indivisibles". [26] Tomás de Aquino , comentando la objeción de Aristóteles, escribió: "Los instantes no son partes del tiempo, porque el tiempo no se compone de instantes, como tampoco una magnitud está compuesta de puntos, como ya hemos demostrado. De ahí no se sigue que una cosa no está en movimiento en un tiempo dado, simplemente porque no está en movimiento en ningún instante de ese tiempo". [27] [ se necesita una mejor fuente ]
Algunos matemáticos e historiadores, como Carl Boyer , sostienen que las paradojas de Zenón son simplemente problemas matemáticos, para los cuales el cálculo moderno proporciona una solución matemática. [28] Los procesos infinitos siguieron siendo teóricamente problemáticos en matemáticas hasta finales del siglo XIX. Con la definición de límite épsilon-delta , Weierstrass y Cauchy desarrollaron una formulación rigurosa de la lógica y el cálculo involucrados. Estos trabajos resolvieron las matemáticas que involucran infinitos procesos. [29] [30]
Algunos filósofos , sin embargo, afirman que las paradojas de Zenón y sus variaciones (véase La lámpara de Thomson ) siguen siendo problemas metafísicos relevantes . [8] [9] [10] Si bien las matemáticas pueden calcular dónde y cuándo el Aquiles en movimiento alcanzará a la Tortuga de la paradoja de Zenón, filósofos como Kevin Brown [8] y Francis Moorcroft [9] sostienen que las matemáticas no abordan el punto central. en el argumento de Zenón, y que resolver las cuestiones matemáticas no resuelve todas las cuestiones que plantean las paradojas. Brown concluye: "Dada la historia de las 'resoluciones finales', desde Aristóteles en adelante, probablemente sea imprudente pensar que hemos llegado al final. Puede ser que los argumentos de Zenón sobre el movimiento, debido a su simplicidad y universalidad, siempre sirvan como una especie de de una ' imagen de Rorschach ' sobre la cual la gente puede proyectar sus preocupaciones fenomenológicas más fundamentales (si es que tienen alguna)". [8]
Una conclusión alternativa, propuesta por Henri Bergson en su libro Materia y memoria de 1896 , es que, si bien el camino es divisible, el movimiento no lo es. [31] [32]
En 2003, Peter Lynds argumentó que todas las paradojas del movimiento de Zenón se resuelven con la conclusión de que los instantes en el tiempo y las magnitudes instantáneas no existen físicamente. [33] [34] [35] Lynds sostiene que un objeto en movimiento relativo no puede tener una posición relativa instantánea o determinada (porque si la tuviera, no podría estar en movimiento) y, por lo tanto, no se puede diseccionar su movimiento fraccionariamente como si lo hace, como lo suponen las paradojas. Nick Huggett sostiene que Zenón está asumiendo la conclusión cuando dice que los objetos que ocupan el mismo espacio que en reposo deben estar en reposo. [17]
Basándose en el trabajo de Georg Cantor , [36] Bertrand Russell propuso una solución a las paradojas, lo que se conoce como la "teoría del movimiento at-at". Está de acuerdo en que no puede haber movimiento "durante" un instante sin duración, y sostiene que todo lo que se requiere para el movimiento es que la flecha esté en un punto en un momento, en otro punto en otro momento, y en puntos apropiados entre esos dos puntos. para tiempos intermedios. Desde este punto de vista, el movimiento es simplemente un cambio de posición a lo largo del tiempo. [37] [38]
Otra solución propuesta es cuestionar uno de los supuestos que Zenón utilizó en sus paradojas (particularmente la Dicotomía), que es que entre dos puntos diferentes en el espacio (o en el tiempo), siempre hay otro punto. Sin este supuesto sólo hay un número finito de distancias entre dos puntos, por lo que no hay una secuencia infinita de movimientos y la paradoja está resuelta. Según Hermann Weyl , la suposición de que el espacio está formado por unidades finitas y discretas está sujeta a un problema adicional, planteado por el " argumento de la teja " o "problema de la función de distancia". [39] [40] Según esto, la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo en el espacio discretizado es siempre igual a la longitud de uno de los dos lados, en contradicción con la geometría. Jean Paul Van Bendegem ha argumentado que el argumento del mosaico puede resolverse y que, por tanto, la discretización puede eliminar la paradoja. [28] [41]
En 1977, [42] los físicos EC George Sudarshan y B. Misra descubrieron que la evolución dinámica (movimiento) de un sistema cuántico puede verse obstaculizada (o incluso inhibida) mediante la observación del sistema. [43] Este efecto suele denominarse "efecto cuántico de Zenón", ya que recuerda mucho a la paradoja de la flecha de Zenón. Este efecto se teorizó por primera vez en 1958. [44]
En el campo de la verificación y diseño de sistemas temporizados e híbridos , el comportamiento del sistema se denomina Zeno si incluye un número infinito de pasos discretos en un tiempo finito. [45] Algunas técnicas de verificación formal excluyen estos comportamientos del análisis, si no son equivalentes a un comportamiento no Zenónico. [46] [47] En el diseño de sistemas, estos comportamientos a menudo también se excluirán de los modelos de sistemas, ya que no se pueden implementar con un controlador digital. [48]
Tom Stoppard ofrece una visión humorística en su obra Jumpers de 1972 , en la que el protagonista principal, el profesor de filosofía George Moore, sugiere que, según la paradoja de Zenón, San Sebastián , un santo cristiano del siglo III martirizado al recibir flechazos, murió de susto.
En 1969, The Firesign Theatre utilizó una versión de la paradoja de la dicotomía de Zeno cuando las señales de tráfico para una salida que se acercaba continuaban dividiéndose por la mitad, y el conductor nunca llegaba al destino, en su segundo LP, "How Can You Be In Two Places". a la vez, cuando no estás en ningún lugar."
Los músicos folclóricos Lou y Peter Berryman ofrecen una variación humorística de su canción "An Hour Away", en la que el conductor de un automóvil se encuentra una y otra vez con obras que requieren una velocidad más lenta, de modo que incluso mientras sigue conduciendo, su destino permanece a una hora de distancia y no pueden alcanzar su interés romántico.
Aproximadamente al mismo tiempo, durante el período de los Reinos Combatientes (475-221 a. C.), los antiguos filósofos chinos de la Escuela de los Nombres , una escuela de pensamiento igualmente preocupada por la lógica y la dialéctica, desarrollaron paradojas similares a las de Zenón. Las obras de la Escuela de Nombres se han perdido en gran medida, a excepción de partes del Gongsun Longzi . La segunda de las Diez Tesis de Hui Shi sugiere el conocimiento de los infinitesimales: Lo que no tiene espesor no se puede amontonar; sin embargo, tiene una dimensión de mil li. Entre los muchos acertijos suyos registrados en el Zhuangzi hay uno muy similar a la Dicotomía de Zenón:
"Si de un palo de un pie de largo tomas cada día la mitad, en muchos años no se agotará."
— Zhuangzi , capítulo 33 (traducción de Legge) [49]
El canon mohista parece proponer una solución a esta paradoja argumentando que al moverse a lo largo de una longitud medida, la distancia no se cubre en fracciones sucesivas de la longitud, sino en una etapa. Debido a la falta de obras supervivientes de la Escuela de Nombres, la mayoría de las demás paradojas enumeradas son difíciles de interpretar. [50]
" Lo que la tortuga le dijo a Aquiles ", [51] escrito en 1895 por Lewis Carroll , fue un intento de revelar una paradoja análoga en el ámbito de la lógica pura. Si el argumento de Carroll es válido, la implicación es que las paradojas del movimiento de Zenón no son esencialmente problemas de espacio y tiempo, sino que van directamente al corazón del razonamiento mismo. [ cita necesaria ] Douglas Hofstadter convirtió el artículo de Carroll en una pieza central de su libro Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid , escribiendo muchos más diálogos entre Aquiles y la Tortuga para dilucidar sus argumentos. Hofstadter conecta las paradojas de Zenón con el teorema de incompletitud de Gödel en un intento de demostrar que los problemas planteados por Zenón son omnipresentes y se manifiestan en la teoría de sistemas formales, la informática y la filosofía de la mente. [ cita necesaria ]
Sin embargo, el razonamiento de Zenón es falaz cuando dice que si todo lo que ocupa un espacio igual está en reposo, y si lo que está en movimiento ocupa siempre ese espacio en cualquier momento, la flecha que vuela está, por tanto, inmóvil.
Esto es falso, porque el tiempo no se compone de momentos indivisibles, como tampoco cualquier otra magnitud se compone de indivisibles.
Si las paradojas se expresan así en la terminología matemática precisa de variables continuas (...) las aparentes contradicciones se resuelven por sí solas.
{{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda ){{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )