Distribución de Chi

Distribución de probabilidad

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución chi es una distribución de probabilidad continua sobre la línea real no negativa. Es la distribución de la raíz cuadrada positiva de una suma de variables aleatorias gaussianas independientes al cuadrado . De manera equivalente, es la distribución de la distancia euclidiana entre una variable aleatoria gaussiana multivariante y el origen. La distribución chi describe las raíces cuadradas positivas de una variable que obedece a una distribución chi-cuadrado .

Si son variables aleatorias independientes, distribuidas normalmente, con media 0 y desviación estándar 1, entonces la estadística ${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{k}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}}}}$

se distribuye según la distribución chi. La distribución chi tiene un parámetro entero positivo , que especifica los grados de libertad (es decir, el número de variables aleatorias ). ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Z_{i}}$

Los ejemplos más conocidos son la distribución de Rayleigh (distribución chi con dos grados de libertad ) y la distribución de Maxwell-Boltzmann de las velocidades moleculares en un gas ideal (distribución chi con tres grados de libertad).

Definiciones

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución chi es

${\displaystyle f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geq 0;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

¿Dónde está la función gamma ? ${\displaystyle \Gamma (z)}$

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa viene dada por:

${\displaystyle F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,}$

donde es la función gamma regularizada . ${\displaystyle P(k,x)}$

Funciones generadoras

La función generadora de momentos viene dada por:

${\displaystyle M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right),}$

donde es la función hipergeométrica confluente de Kummer . La función característica viene dada por: ${\displaystyle M(a,b,z)}$

${\displaystyle \varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {-t^{2}}{2}}\right).}$

Propiedades

Momentos

Los momentos brutos vienen dados entonces por:

${\displaystyle \mu _{j}=\int _{0}^{\infty }f(x;k)x^{j}\mathrm {d} x=2^{j/2}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+j)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}}$

donde es la función gamma . Por lo tanto, los primeros momentos en bruto son: ${\displaystyle \ \Gamma (z)\ }$

${\displaystyle \mu _{1}={\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+1)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}}$

${\displaystyle \mu _{2}=k\ ,}$

${\displaystyle \mu _{3}=2{\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+3)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}=(k+1)\ \mu _{1}\ ,}$

${\displaystyle \mu _{4}=(k)(k+2)\ ,}$

${\displaystyle \mu _{5}=4{\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k\!+\!5)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}=(k+1)(k+3)\ \mu _{1}\ ,}$

${\displaystyle \mu _{6}=(k)(k+2)(k+4)\ ,}$

donde las expresiones más a la derecha se derivan utilizando la relación de recurrencia para la función gamma:

${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\ \Gamma (x)~.}$

De estas expresiones podemos derivar las siguientes relaciones:

Media: que es cercana a para un k grande . ${\displaystyle \mu ={\sqrt {2\ }}\ {\frac {\ \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(k+1)\right)\ }{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}k\right)}}\ ,}$ ${\displaystyle {\sqrt {k-{\tfrac {1}{2}}\ }}\ }$

Varianza: que se aproxima a medida que k aumenta. ${\displaystyle V=k-\mu ^{2}\ ,}$ ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\ }$

Oblicuidad: ${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu }{\ \sigma ^{3}\ }}\left(1-2\sigma ^{2}\right)~.}$

Exceso de curtosis: ${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {2}{\ \sigma ^{2}\ }}\left(1-\mu \ \sigma \ \gamma _{1}-\sigma ^{2}\right)~.}$

Entropía

La entropía viene dada por:

${\displaystyle S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi ^{0}(k/2))}$

¿Dónde está la función poligamma ? ${\displaystyle \psi ^{0}(z)}$

Aproximación de n grande

Hallamos la gran aproximación n=k+1 de la media y la varianza de la distribución chi. Esto tiene aplicación, por ejemplo, para hallar la distribución de la desviación estándar de una muestra de una población con distribución normal, donde n es el tamaño de la muestra.

La media es entonces:

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma ((n-1)/2)}}}$

Usamos la fórmula de duplicación de Legendre para escribir:

${\displaystyle 2^{n-2}\,\Gamma ((n-1)/2)\cdot \Gamma (n/2)={\sqrt {\pi }}\Gamma (n-1)}$,

de modo que:

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {(\Gamma (n/2))^{2}}{\Gamma (n-1)}}}$

Utilizando la aproximación de Stirling para la función Gamma, obtenemos la siguiente expresión para la media:

${\displaystyle \mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {\left({\sqrt {2\pi }}(n/2-1)^{n/2-1+1/2}e^{-(n/2-1)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n/2-1)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]\right)^{2}}{{\sqrt {2\pi }}(n-2)^{n-2+1/2}e^{-(n-2)}\cdot [1+{\frac {1}{12(n-2)}}+O({\frac {1}{n^{2}}})]}}}$

${\displaystyle =(n-2)^{1/2}\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]={\sqrt {n-1}}\,(1-{\frac {1}{n-1}})^{1/2}\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

${\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{2n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

${\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}$

Y por lo tanto la varianza es:

${\displaystyle V=(n-1)-\mu ^{2}\,=(n-1)\cdot {\frac {1}{2n}}\,\cdot \left[1+O({\frac {1}{n}})\right]}$

Distribuciones relacionadas

• Si entonces ( distribución chi-cuadrado ) ${\displaystyle X\sim \chi _{k}}$ ${\displaystyle X^{2}\sim \chi _{k}^{2}}$
• ${\displaystyle \chi _{1}\sim \mathrm {HN} (1)\,}$( distribución seminormal ), es decir, si entonces , y si para cualquier entonces ${\displaystyle X\sim N(0,1)\,}$ ${\displaystyle |X|\sim \chi _{1}\,}$ ${\displaystyle Y\sim \mathrm {HN} (\sigma )\,}$ ${\displaystyle \sigma >0\,}$ ${\displaystyle {\tfrac {Y}{\sigma }}\sim \chi _{1}\,}$
• ${\displaystyle \chi _{2}\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,}$( Distribución de Rayleigh ) y si para cualquiera entonces ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )\,}$ ${\displaystyle \sigma >0\,}$ ${\displaystyle {\tfrac {Y}{\sigma }}\sim \chi _{2}\,}$
• ${\displaystyle \chi _{3}\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,}$( Distribución de Maxwell ) y si para cualquiera entonces ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Maxwell} (a)\,}$ ${\displaystyle a>0\,}$ ${\displaystyle {\tfrac {Y}{a}}\sim \chi _{3}\,}$
• ${\displaystyle \|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}{(0,1)}\|_{2}\sim \chi _{k}}$, la norma euclidiana de un vector aleatorio normal estándar de con dimensiones, se distribuye según una distribución chi con grados de libertad ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$
• La distribución chi es un caso especial de la distribución gamma generalizada o la distribución Nakagami o la distribución chi no central.
• ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}-\mu _{k}}{\sigma _{k}}}{\xrightarrow {d}}\ N(0,1)\,}$( Distribución normal )
• La media de la distribución chi (escalada por la raíz cuadrada de ) produce el factor de corrección en la estimación imparcial de la desviación estándar de la distribución normal . ${\displaystyle n-1}$

Véase también

• Distribución de Nakagami

Referencias

• Martha L. Abell, James P. Braselton, John Arthur Rafter, John A. Rafter, Estadística con Mathematica (1999), 237f.
• Jan W. Gooch, Diccionario enciclopédico de polímeros vol. 1 (2010), Apéndice E, pág. 972.

Enlaces externos

• http://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html