Distribución chi no central

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución chi no central ^[1] es una generalización no central de la distribución chi . También se la conoce como distribución de Rayleigh generalizada.

Definición

Si hay k variables aleatorias independientes, distribuidas normalmente , con medias y varianzas , entonces la estadística ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$

${\displaystyle Z={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

se distribuye según la distribución chi no central. La distribución chi no central tiene dos parámetros: que especifica el número de grados de libertad (es decir, el número de ), y que está relacionado con la media de las variables aleatorias por: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}}$

Propiedades

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad (pdf) es

${\displaystyle f(x;k,\lambda )={\frac {e^{-(x^{2}+\lambda ^{2})/2}x^{k}\lambda }{(\lambda x)^{k/2}}}I_{k/2-1}(\lambda x)}$

donde es una función de Bessel modificada del primer tipo. ${\displaystyle I_{\nu }(z)}$

Momentos crudos

Los primeros momentos crudos son:

${\displaystyle \mu _{1}^{'}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{1/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle \mu _{2}^{'}=k+\lambda ^{2}}$

${\displaystyle \mu _{3}^{'}=3{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}L_{3/2}^{(k/2-1)}\left({\frac {-\lambda ^{2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle \mu _{4}^{'}=(k+\lambda ^{2})^{2}+2(k+2\lambda ^{2})}$

donde es una función de Laguerre . Nótese que el 2º momento es el mismo que el º momento de la distribución chi-cuadrado no central con siendo reemplazado por . ${\displaystyle L_{n}^{(a)}(z)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{2}}$

Distribución chi no central bivariada

Sea , un conjunto de n vectores aleatorios normales bivariados independientes e idénticamente distribuidos con distribuciones marginales , correlación , vector de media y matriz de covarianza ${\displaystyle X_{j}=(X_{1j},X_{2j}),j=1,2,\dots n}$ ${\displaystyle N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,2}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle E(X_{j})=\mu =(\mu _{1},\mu _{2})^{T},\qquad \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{2}&\rho \sigma _{1}\sigma _{2}\\\rho \sigma _{1}\sigma _{2}&\sigma _{2}^{2}\end{bmatrix}},}$

con definida positiva . Definir ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle U=\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {X_{1j}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\right]^{1/2},\qquad V=\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {X_{2j}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}\right]^{1/2}.}$

Entonces, la distribución conjunta de U , V es una distribución chi bivariada central o no central con n grados de libertad . ^{[2] [3]} Si una o ambas , la distribución es una distribución chi bivariada no central. ${\displaystyle \mu _{1}\neq 0}$ ${\displaystyle \mu _{2}\neq 0}$

Distribuciones relacionadas

• Si es una variable aleatoria con distribución chi no central, la variable aleatoria tendrá distribución chi-cuadrado no central . Allí se pueden ver otras distribuciones relacionadas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{2}}$
• Si la distribución chi es : entonces la distribución chi también es no central: . En otras palabras, la distribución chi es un caso especial de la distribución chi no central (es decir, con un parámetro de no centralidad de cero). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\sim \chi _{k}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\sim NC\chi _{k}(0)}$
• Una distribución chi no central con 2 grados de libertad es equivalente a una distribución de Rice con . ${\displaystyle \sigma =1}$
• Si X sigue una distribución chi no central con 1 grado de libertad y parámetro de no centralidad λ, entonces σ X sigue una distribución normal plegada cuyos parámetros son iguales a σλ y σ ² para cualquier valor de σ.

Referencias

1. JH Park (1961). "Momentos de la distribución de Rayleigh generalizada". Quarterly of Applied Mathematics . 19 (1): 45–49. doi : 10.1090/qam/119222 . JSTOR  43634840.
2. Marakatha Krishnan (1967). "La distribución Chi bivariada no central". SIAM Review . 9 (4): 708–714. Bibcode :1967SIAMR...9..708K. doi :10.1137/1009111.
3. PR Krishnaiah, P. Hagis, Jr. y L. Steinberg (1963). "Una nota sobre la distribución chi bivariada". SIAM Review . 5 (2): 140–144. Bibcode :1963SIAMR...5..140K. doi :10.1137/1005034. JSTOR  2027477.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)