Distribución de Irwin-Hall

Distribución de probabilidad

En probabilidad y estadística , la distribución de Irwin-Hall , llamada así en honor a Joseph Oscar Irwin y Philip Hall , es una distribución de probabilidad para una variable aleatoria definida como la suma de un número de variables aleatorias independientes , cada una con una distribución uniforme . ^[1] Por esta razón, también se la conoce como distribución de suma uniforme .

La generación de números pseudoaleatorios que tienen una distribución aproximadamente normal se logra a veces calculando la suma de una serie de números pseudoaleatorios que tienen una distribución uniforme; generalmente, para simplificar la programación. El reescalado de la distribución de Irwin-Hall proporciona la distribución exacta de las variables aleatorias que se generan.

Esta distribución a veces se confunde con la distribución de Bates , que es la media (no la suma ) de n variables aleatorias independientes distribuidas uniformemente de 0 a 1.

Definición

La distribución de Irwin-Hall es la distribución de probabilidad continua para la suma de n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas U (0, 1) :

${\displaystyle X=\sum _{k=1}^{n}U_{k}.}$

La función de densidad de probabilidad (pdf) para está dada por ${\displaystyle 0\leq x\leq n}$

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x-k)_{+}^{n-1}}$

donde denota la parte positiva de la expresión: ${\displaystyle (x-k)_{+}}$

${\displaystyle (x-k)_{+}={\begin{cases}x-k&x-k\geq 0\\0&x-k<0.\end{cases}}}$

Por lo tanto, la función de densidad de probabilidad es una spline (función polinómica por partes) de grado n  − 1 sobre los nudos 0, 1, ..., n . De hecho, para x entre los nudos ubicados en k y k + 1, la función de densidad de probabilidad es igual a

${\displaystyle f_{X}(x;n)={\frac {1}{(n-1)!}}\sum _{j=0}^{n-1}a_{j}(k,n)x^{j}}$

donde los coeficientes a _j ( k , n ) pueden encontrarse a partir de una relación de recurrencia sobre k

${\displaystyle a_{j}(k,n)={\begin{cases}1&k=0,j=n-1\\0&k=0,j<n-1\\a_{j}(k-1,n)+(-1)^{n+k-j-1}{n \choose k}{{n-1} \choose j}k^{n-j-1}&k>0\end{cases}}}$

Los coeficientes también son A188816 en OEIS . Los coeficientes para la distribución acumulativa son A188668.

La media y la varianza son n /2 y n /12, respectivamente.

Casos especiales

• Para n = 1, X sigue una distribución uniforme :

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}1&0\leq x\leq 1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

• Para n = 2, X sigue una distribución triangular :

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}x&0\leq x\leq 1\\2-x&1\leq x\leq 2\end{cases}}}$

• Para n = 3,

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}x^{2}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{2}}(-2x^{2}+6x-3)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{2}}(3-x)^{2}&2\leq x\leq 3\end{cases}}}$

• Para n = 4,

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{6}}x^{3}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{6}}(-3x^{3}+12x^{2}-12x+4)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{6}}(3x^{3}-24x^{2}+60x-44)&2\leq x\leq 3\\{\frac {1}{6}}(4-x)^{3}&3\leq x\leq 4\end{cases}}}$

• Para n = 5,

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{24}}x^{4}&0\leq x\leq 1\\{\frac {1}{24}}(-4x^{4}+20x^{3}-30x^{2}+20x-5)&1\leq x\leq 2\\{\frac {1}{24}}(6x^{4}-60x^{3}+210x^{2}-300x+155)&2\leq x\leq 3\\{\frac {1}{24}}(-4x^{4}+60x^{3}-330x^{2}+780x-655)&3\leq x\leq 4\\{\frac {1}{24}}(5-x)^{4}&4\leq x\leq 5\end{cases}}}$

Aproximación de una distribución normal

Según el teorema del límite central , a medida que n aumenta, la distribución de Irwin-Hall se aproxima cada vez más a una distribución normal con media y varianza . Para aproximarse a la distribución normal estándar , la distribución de Irwin-Hall se puede centrar desplazándola por su media de n/2 y escalando el resultado por la raíz cuadrada de su varianza: ${\displaystyle \mu =n/2}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=n/12}$ ${\displaystyle \phi (x)={\mathcal {N}}(\mu =0,\sigma ^{2}=1)}$

${\displaystyle \phi (x){\overset {n\gg 0}{\approx }}{\sqrt {\frac {n}{12}}}f_{X}\left(x{\sqrt {\frac {n}{12}}}+{\frac {n}{2}};n\right)}$

Esta derivación conduce a una heurística computacionalmente simple que elimina la raíz cuadrada, con lo que una distribución normal estándar se puede aproximar con la suma de 12 valores uniformes U(0,1) de la siguiente manera:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{12}U_{k}-6\sim f_{X}(x+6;12)\mathrel {\dot {\sim }} \phi (x)}$

Distribuciones similares y relacionadas

La distribución Irwin-Hall es similar a la distribución Bates , pero sigue teniendo como parámetro únicamente números enteros. Es posible ampliarla a parámetros de valor real añadiendo también una variable aleatoria uniforme con N − trunc( N ) como ancho.

Ampliaciones de la distribución Irwin-Hall

Al utilizar la ecuación de Irwin-Hall para ajustar datos, un problema es que la ecuación de Irwin-Hall no es muy flexible porque el parámetro n debe ser un número entero. Sin embargo, en lugar de sumar n distribuciones uniformes iguales, también podríamos agregar, por ejemplo, U + 0,5 U para abordar también el caso n = 1,5 (lo que da una distribución trapezoidal ).

La distribución de Irwin-Hall tiene una aplicación en la formación de haces y la síntesis de patrones en la Figura 1 de referencia ^{[2] [3]}

Véase también

• Distribución de Bates
• Distribución normal
• Teorema del límite central
• Distribución uniforme (continua)
• Distribución triangular

Notas

1. Johnson, NL; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1995) Distribuciones univariadas continuas , volumen 2, 2.ª edición, Wiley ISBN  0-471-58494-0 (sección 26.9)
2. "Comportamiento de los lóbulos laterales y características del ancho de banda de los conjuntos de antenas distribuidas". Enero de 2018. págs. 1–2.
3. https://www.usnc-ursi-archive.org/nrsm/2018/papers/B15-9.pdf ^{[ URL básica PDF ]}

Referencias

• Hall, Philip . (1927) "La distribución de medias para muestras de tamaño N extraídas de una población en la que la variable toma valores entre 0 y 1, siendo todos esos valores igualmente probables". Biometrika , vol. 19, núm. 3/4, págs. 240–245. doi :10.1093/biomet/19.3-4.240 JSTOR  2331961
• Irwin, JO (1927) "Sobre la distribución de frecuencias de las medias de muestras de una población que tiene una ley de frecuencia con momentos finitos, con especial referencia al tipo II de Pearson". Biometrika , vol. 19, núm. 3/4, págs. 225–239. doi :10.1093/biomet/19.3-4.225 JSTOR  2331960