Distribución gaussiana de Kaniadakis

Continuous probability distribution

La distribución gaussiana de Kaniadakis (también conocida como distribución κ -gaussiana) es una distribución de probabilidad que surge como una generalización de la distribución gaussiana a partir de la maximización de la entropía de Kaniadakis bajo restricciones apropiadas. Es un ejemplo de una distribución κ de Kaniadakis . La distribución κ-gaussiana se ha aplicado con éxito para describir varios sistemas complejos en economía, ^[1] geofísica, ^[2] astrofísica, entre muchos otros.

La distribución κ-Gaussiana es un caso particular de la distribución κ-Gamma Generalizada . ^[3]

Definiciones

Función de densidad de probabilidad

La forma general de la función de densidad de probabilidad κ -Gaussiana centrada de Kaniadakis es: ^[3]

${\displaystyle f_{_{\kappa }}(x)=Z_{\kappa }\exp _{\kappa }(-\beta x^{2})}$

donde es el índice entrópico asociado con la entropía de Kaniadakis , es el parámetro de escala, y ${\displaystyle |\kappa |<1}$ ${\displaystyle \beta >0}$

${\displaystyle Z_{\kappa }={\sqrt {\frac {2\beta \kappa }{\pi }}}{\Bigg (}1+{\frac {1}{2}}\kappa {\Bigg )}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {1}{4}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {1}{4}}{\Big )}}}}$

es la constante de normalización.

La distribución Normal estándar se recupera en el límite ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0.}$

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa de la distribución κ -gaussiana está dada por

${\displaystyle F_{\kappa }(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\textrm {erf}}_{\kappa }{\big (}{\sqrt {\beta }}x{\big )}}$

dónde

${\displaystyle {\textrm {erf}}_{\kappa }(x)={\Big (}2+\kappa {\Big )}{\sqrt {\frac {2\kappa }{\pi }}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {1}{4}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {1}{4}}{\Big )}}}\int _{0}^{x}\exp _{\kappa }(-t^{2})dt}$

es la función κ -Error de Kaniadakis, que es una generalización de la función Error ordinaria como . ${\displaystyle {\textrm {erf}}(x)}$ ${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$

Propiedades

Momentos, media y varianza

La distribución κ -Gaussiana centrada tiene un momento de orden impar igual a cero, incluida la media.

La varianza es finita para y viene dada por: ${\displaystyle \kappa <2/3}$

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\sigma _{\kappa }^{2}={\frac {1}{\beta }}{\frac {2+\kappa }{2-\kappa }}{\frac {4\kappa }{4-9\kappa ^{2}}}\left[{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {1}{4}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {1}{4}}\right)}}\right]^{2}}$

Curtosis

La curtosis de la distribución κ -gaussiana centrada se puede calcular mediante:

${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[{\frac {X^{4}}{\sigma _{\kappa }^{4}}}\right]}$

que puede escribirse como

${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {2Z_{\kappa }}{\sigma _{\kappa }^{4}}}\int _{0}^{\infty }x^{4}\,\exp _{\kappa }\left(-\beta x^{2}\right)dx}$

Por lo tanto, la curtosis de la distribución κ -gaussiana centrada viene dada por:

${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {3{\sqrt {\pi }}Z_{\kappa }}{2\beta ^{2/3}\sigma _{\kappa }^{4}}}{\frac {|2\kappa |^{-5/2}}{1+{\frac {5}{2}}|\kappa |}}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{|2\kappa |}}-{\frac {5}{4}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{|2\kappa |}}+{\frac {5}{4}}\right)}}}$

o

${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {3\beta ^{11/6}{\sqrt {2\kappa }}}{2}}{\frac {|2\kappa |^{-5/2}}{1+{\frac {5}{2}}|\kappa |}}{\Bigg (}1+{\frac {1}{2}}\kappa {\Bigg )}\left({\frac {2-\kappa }{2+\kappa }}\right)^{2}\left({\frac {4-9\kappa ^{2}}{4\kappa }}\right)^{2}\left[{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {1}{4}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {1}{4}}{\Big )}}}\right]^{3}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{|2\kappa |}}-{\frac {5}{4}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{|2\kappa |}}+{\frac {5}{4}}\right)}}}$

Función κ-Error

La función κ -Error de Kaniadakis (o función κ -Error ) es una generalización de un parámetro de la función de error ordinaria definida como: ^[3]

${\displaystyle \operatorname {erf} _{\kappa }(x)={\Big (}2+\kappa {\Big )}{\sqrt {\frac {2\kappa }{\pi }}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {1}{4}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {1}{4}}{\Big )}}}\int _{0}^{x}\exp _{\kappa }(-t^{2})dt}$

Aunque la función de error no puede expresarse en términos de funciones elementales, comúnmente se emplean aproximaciones numéricas.

Para una variable aleatoria X distribuida según una distribución κ-Gaussiana con media 0 y desviación estándar , la función κ-Error significa la probabilidad de que X caiga en el intervalo . ${\displaystyle {\sqrt {\beta }}}$ ${\displaystyle [-x,\,x]}$

Aplicaciones

La distribución κ -Gaussiana se ha aplicado en varias áreas, tales como:

• En economía , la distribución κ-Gaussiana se ha aplicado en el análisis de modelos financieros , representando con precisión la dinámica de los procesos de cambios extremos en los precios de las acciones . ^[4]
• En problemas inversos , las leyes de error en estadísticas extremas están representadas de manera robusta por distribuciones κ-gaussianas. ^{[2] [5] [6]}
• En astrofísica , los datos de velocidad radial residual estelar tienen una distribución estadística de tipo gaussiano, en la que el índice K presenta una fuerte relación con las edades de los cúmulos estelares. ^{[7] [8]}
• En física nuclear , el estudio de la función de ensanchamiento Doppler en reactores nucleares está bien descrito por una distribución κ-Gaussiana para analizar la interacción neutrón-núcleo. ^{[9] [10]}
• En cosmología , para interpretar la evolución dinámica del Universo Friedmann-Robertson-Walker .
• En física de plasmas , para analizar la distribución de electrones en capas dobles electroacústicas ^[11] y la dispersión de ondas de Langmuir . ^[12]

Véase también

• Giorgio Kaniadakis
• Estadísticas de Kaniadakis
• Distribución de Kaniadakis
• Distribución exponencial κ de Kaniadakis
• Distribución Kaniadakis κ-Gamma
• Distribución de Kaniadakis κ-Weibull
• Distribución κ-Logística de Kaniadakis
• Distribución de Kaniadakis κ-Erlang

Referencias

1. Moretto, Enrico; Pasquali, Sara; Trivellato, Barbara (2017). "Un modelo de valoración de opciones no gaussiano basado en la deformación exponencial de Kaniadakis". The European Physical Journal B . 90 (10): 179. Bibcode :2017EPJB...90..179M. doi :10.1140/epjb/e2017-80112-x. ISSN  1434-6028. S2CID  254116243.
2. da Silva, Sérgio Luiz EF; Carvalho, Pedro Tiago C.; de Araújo, João M.; Corso, Gilberto (27 de mayo de 2020). "Inversión de forma de onda completa basada en estadísticas de Kaniadakis". Revisión física E. 101 (5): 053311. Código bibliográfico : 2020PhRvE.101e3311D. doi : 10.1103/PhysRevE.101.053311. ISSN  2470-0045. PMID  32575242. S2CID  219746493.
3. Kaniadakis, G. (1 de enero de 2021). "Nuevas distribuciones con cola de ley de potencia emergentes en κ-estadísticas (a)". Europhysics Letters . 133 (1): 10002. arXiv : 2203.01743 . Bibcode :2021EL....13310002K. doi :10.1209/0295-5075/133/10002. ISSN  0295-5075. S2CID  234144356.
4. Moretto, Enrico; Pasquali, Sara; Trivellato, Barbara (2017). "Un modelo de valoración de opciones no gaussiano basado en la deformación exponencial de Kaniadakis". The European Physical Journal B . 90 (10): 179. Bibcode :2017EPJB...90..179M. doi :10.1140/epjb/e2017-80112-x. ISSN  1434-6028. S2CID  254116243.
5. Wada, Tatsuaki; Suyari, Hiroki (2006). "κ-generalización de la ley del error de Gauss". Letras de Física A. 348 (3–6): 89–93. arXiv : cond-mat/0505313 . Código bibliográfico : 2006PhLA..348...89W. doi :10.1016/j.physleta.2005.08.086. S2CID  119003351.
6. da Silva, Sérgio Luiz EF; Silva, R.; dos Santos Lima, Gustavo Z.; de Araújo, João M.; Corso, Gilberto (2022). "Un enfoque κ-generalizado resistente a valores atípicos para la estimación robusta de parámetros físicos". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 600 : 127554. arXiv : 2111.09921 . Código Bibliográfico :2022PhyA..60027554D. doi :10.1016/j.physa.2022.127554. S2CID  248803855.
7. Carvalho, JC; Silva, R.; do Nascimento jr., JD; Soares, BB; De Medeiros, JR (1 de septiembre de 2010). "Medición observacional de cúmulos estelares abiertos: una prueba de las estadísticas de Kaniadakis y Tsallis". EPL (Europhysics Letters) . 91 (6): 69002. Bibcode :2010EL.....9169002C. doi :10.1209/0295-5075/91/69002. ISSN  0295-5075. S2CID  120902898.
8. Carvalho, JC; Silva, R.; do Nascimento jr., JD; De Medeiros, JR (2008). "Estadísticas de la ley de potencia y velocidades rotacionales estelares en las Pléyades". EPL (Europhysics Letters) . 84 (5): 59001. arXiv : 0903.0836 . Bibcode :2008EL.....8459001C. doi :10.1209/0295-5075/84/59001. ISSN  0295-5075. S2CID  7123391.
9. Guedes, Guilherme; Gonçalves, Alessandro C.; Palma, Daniel AP (2017). "La función de ensanchamiento Doppler utilizando la distribución Kaniadakis". Anales de energía nuclear . 110 : 453–458. doi :10.1016/j.anucene.2017.06.057.
10. de Abreu, Willian V.; Gonçalves, Alessandro C.; Martinez, Aquilino S. (2019). "Solución analítica para la función de ensanchamiento Doppler utilizando la distribución Kaniadakis". Anales de Energía Nuclear . 126 : 262–268. doi :10.1016/j.anucene.2018.11.023. S2CID  125724227.
11. Gougam, Leila Ait; Tribeche, Mouloud (2016). "Ondas electroacústicas en un plasma con una distribución de electrones de Kaniadakis κ-deformada". Física de plasmas . 23 (1): 014501. Bibcode :2016PhPl...23a4501G. doi :10.1063/1.4939477. ISSN  1070-664X.
12. Chen, H.; Zhang, SX; Liu, SQ (2017). "Los modos de plasmas longitudinales de plasmas distribuidos de Kaniadakis κ-deformados". Física de plasmas . 24 (2): 022125. Bibcode :2017PhPl...24b2125C. doi :10.1063/1.4976992. ISSN  1070-664X.

Enlaces externos

• Estadísticas de Kaniadakis en arXiv.org