Serie Edgeworth

La serie Gram-Charlier A (llamada así en honor a Jørgen Pedersen Gram y Carl Charlier ), y la serie Edgeworth (llamada así en honor a Francis Ysidro Edgeworth ) son series que se aproximan a una distribución de probabilidad en términos de sus cumulantes . ^[1] Las series son las mismas; pero la disposición de los términos (y, por tanto, la precisión al truncar la serie) difiere. ^[2] La idea clave de estas expansiones es escribir la función característica de la distribución cuya función de densidad de probabilidad f debe aproximarse en términos de la función característica de una distribución con propiedades conocidas y adecuadas, y recuperar f mediante el inverso de Fourier. transformar .

Serie Gram-Charlier A

Examinamos una variable aleatoria continua. Sea la función característica de su distribución cuya función de densidad es f , y sus cumulantes . Ampliamos en términos de una distribución conocida con función de densidad de probabilidad ψ , función característica y cumulantes . La densidad ψ generalmente se elige como la de la distribución normal , pero también son posibles otras opciones. Por la definición de los acumulantes, tenemos (ver Wallace, 1958) ^[3] ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle \kappa _{r}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}}$ ${\displaystyle \gamma _{r}}$

${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }\kappa _{r}{\frac {(it)^{r}}{r!}}\right]}$y

${\displaystyle {\hat {\psi }}(t)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }\gamma _{r}{\frac {(it)^{r}}{r!}}\right],}$

lo que da la siguiente identidad formal:

${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }(\kappa _{r}-\gamma _{r}){\frac {(it)^{r}}{r!}}\right]{\hat {\psi }}(t)\,.}$

Por las propiedades de la transformada de Fourier, es la transformada de Fourier de , donde D es el operador diferencial con respecto a x . Así, después de cambiar con en ambos lados de la ecuación, encontramos para f la expansión formal ${\displaystyle (it)^{r}{\hat {\psi }}(t)}$ ${\displaystyle (-1)^{r}[D^{r}\psi ](-x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$

${\displaystyle f(x)=\exp \left[\sum _{r=1}^{\infty }(\kappa _{r}-\gamma _{r}){\frac {(-D)^{r}}{r!}}\right]\psi (x)\,.}$

Si se elige ψ como densidad normal

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

con media y varianza dadas por f , es decir, media y varianza , entonces la expansión se convierte en ${\displaystyle \mu =\kappa _{1}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=\kappa _{2}}$

${\displaystyle f(x)=\exp \left[\sum _{r=3}^{\infty }\kappa _{r}{\frac {(-D)^{r}}{r!}}\right]\phi (x),}$

ya que para todo r > 2, los cumulantes superiores de la distribución normal son 0. Al expandir la exponencial y reunir los términos según el orden de las derivadas, llegamos a la serie A de Gram-Charlier. Tal expansión se puede escribir de forma compacta en términos de polinomios de Bell como ${\displaystyle \gamma _{r}=0}$

${\displaystyle \exp \left[\sum _{r=3}^{\infty }\kappa _{r}{\frac {(-D)^{r}}{r!}}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(0,0,\kappa _{3},\ldots ,\kappa _{n}){\frac {(-D)^{n}}{n!}}.}$

Dado que la n-ésima derivada de la función gaussiana está dada en términos del polinomio de Hermite como ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi ^{(n)}(x)={\frac {(-1)^{n}}{\sigma ^{n}}}He_{n}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\phi (x),}$

esto nos da la expresión final de la serie Gram-Charlier A como

${\displaystyle f(x)=\phi (x)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!\sigma ^{n}}}B_{n}(0,0,\kappa _{3},\ldots ,\kappa _{n})He_{n}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right).}$

La integración de la serie nos da la función de distribución acumulativa.

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)du=\Phi (x)-\phi (x)\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!\sigma ^{n-1}}}B_{n}(0,0,\kappa _{3},\ldots ,\kappa _{n})He_{n-1}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right),}$

¿Dónde está la CDF de la distribución normal? ${\displaystyle \Phi }$

Si incluimos sólo los dos primeros términos de corrección de la distribución normal, obtenemos

${\displaystyle f(x)\approx {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left[-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]\left[1+{\frac {\kappa _{3}}{3!\sigma ^{3}}}He_{3}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)+{\frac {\kappa _{4}}{4!\sigma ^{4}}}He_{4}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]\,,}$

con y . ${\displaystyle He_{3}(x)=x^{3}-3x}$ ${\displaystyle He_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3}$

Tenga en cuenta que no se garantiza que esta expresión sea positiva y, por lo tanto, no es una distribución de probabilidad válida. La serie Gram-Charlier A diverge en muchos casos de interés: converge sólo si cae más rápidamente que en el infinito (Cramér 1957). Cuando no converge, la serie tampoco es una verdadera expansión asintótica , porque no es posible estimar el error de la expansión. Por esta razón, generalmente se prefiere la serie de Edgeworth (consulte la siguiente sección) a la serie de Gram-Charlier A. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \exp(-(x^{2})/4)}$

La serie Edgeworth

Edgeworth desarrolló una expansión similar como mejora del teorema del límite central . ^[4] La ventaja de la serie de Edgeworth es que el error está controlado, por lo que es una verdadera expansión asintótica .

Sea una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media y varianza finitas , y sean sus sumas estandarizadas: ${\displaystyle \{Z_{i}\}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle X_{n}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Z_{i}-\mu }{\sigma }}.}$

Denotemos las funciones de distribución acumulativa de las variables . Entonces por el teorema del límite central, ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=\Phi (x)\equiv \int _{-\infty }^{x}{\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}q^{2}}dq}$

para cada , siempre que la media y la varianza sean finitas. ${\displaystyle x}$

La estandarización de garantiza que los dos primeros cumulantes de sean y Ahora supongamos que, además de tener media y varianza , las variables aleatorias iid tienen cumulantes más altos . De las propiedades de aditividad y homogeneidad de los cumulantes, los cumulantes de en términos de los cumulantes de son para , ${\displaystyle \{Z_{i}\}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \kappa _{1}^{F_{n}}=0}$ ${\displaystyle \kappa _{2}^{F_{n}}=1.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle \kappa _{r}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle r\geq 2}$

${\displaystyle \kappa _{r}^{F_{n}}={\frac {n\kappa _{r}}{\sigma ^{r}n^{r/2}}}={\frac {\lambda _{r}}{n^{r/2-1}}}\quad \mathrm {where} \quad \lambda _{r}={\frac {\kappa _{r}}{\sigma ^{r}}}.}$

Si ampliamos la expresión formal de la función característica de en términos de la distribución normal estándar, es decir, si establecemos ${\displaystyle {\hat {f}}_{n}(t)}$ ${\displaystyle F_{n}}$

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp(-{\tfrac {1}{2}}x^{2}),}$

entonces las diferencias acumuladas en la expansión son

${\displaystyle \kappa _{1}^{F_{n}}-\gamma _{1}=0,}$

${\displaystyle \kappa _{2}^{F_{n}}-\gamma _{2}=0,}$

${\displaystyle \kappa _{r}^{F_{n}}-\gamma _{r}={\frac {\lambda _{r}}{n^{r/2-1}}};\qquad r\geq 3.}$

La serie Gram-Charlier A para la función de densidad de ahora es ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle f_{n}(x)=\phi (x)\sum _{r=0}^{\infty }{\frac {1}{r!}}B_{r}\left(0,0,{\frac {\lambda _{3}}{n^{1/2}}},\ldots ,{\frac {\lambda _{r}}{n^{r/2-1}}}\right)He_{r}(x).}$

La serie Edgeworth se desarrolla de manera similar a la serie Gram-Charlier A, solo que ahora los términos se recopilan según potencias de . Los coeficientes del término n ^{− m /2} se pueden obtener recopilando los monomios de los polinomios de Bell correspondientes a las particiones enteras de m . Por tanto, tenemos la función característica como ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{n}(t)=\left[1+\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {P_{j}(it)}{n^{j/2}}}\right]\exp(-t^{2}/2)\,,}$

donde es un polinomio de grado . Nuevamente, después de la transformada inversa de Fourier, la función de densidad sigue como ${\displaystyle P_{j}(x)}$ ${\displaystyle 3j}$ ${\displaystyle f_{n}}$

${\displaystyle f_{n}(x)=\phi (x)+\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {P_{j}(-D)}{n^{j/2}}}\phi (x)\,.}$

Asimismo, integrando la serie obtenemos la función de distribución.

${\displaystyle F_{n}(x)=\Phi (x)+\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{j/2}}}{\frac {P_{j}(-D)}{D}}\phi (x)\,.}$

Podemos escribir explícitamente el polinomio como ${\displaystyle P_{m}(-D)}$

${\displaystyle P_{m}(-D)=\sum \prod _{i}{\frac {1}{k_{i}!}}\left({\frac {\lambda _{l_{i}}}{l_{i}!}}\right)^{k_{i}}(-D)^{s},}$

donde la sumatoria es sobre todas las particiones enteras de m tales que y y ${\displaystyle \sum _{i}ik_{i}=m}$ ${\displaystyle l_{i}=i+2}$ ${\displaystyle s=\sum _{i}k_{i}l_{i}.}$

Por ejemplo, si m = 3, entonces hay tres formas de dividir este número: 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 3. Como tal, debemos examinar tres casos:

• 1 + 1 + 1 = 1 · k ₁ , entonces tenemos k ₁ = 3, l ₁ = 3 y s = 9.
• 1 + 2 = 1 · k ₁ + 2 · k ₂ , entonces tenemos k ₁ = 1, k ₂ = 1, l ₁ = 3, l ₂ = 4 y s = 7.
• 3 = 3 · k ₃ , entonces tenemos k ₃ = 1, l ₃ = 5 y s = 5.

Por tanto, el polinomio requerido es

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}(-D)&={\frac {1}{3!}}\left({\frac {\lambda _{3}}{3!}}\right)^{3}(-D)^{9}+{\frac {1}{1!1!}}\left({\frac {\lambda _{3}}{3!}}\right)\left({\frac {\lambda _{4}}{4!}}\right)(-D)^{7}+{\frac {1}{1!}}\left({\frac {\lambda _{5}}{5!}}\right)(-D)^{5}\\&={\frac {\lambda _{3}^{3}}{1296}}(-D)^{9}+{\frac {\lambda _{3}\lambda _{4}}{144}}(-D)^{7}+{\frac {\lambda _{5}}{120}}(-D)^{5}.\end{aligned}}}$

Los primeros cinco términos de la expansión son ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{n}(x)&=\phi (x)\\&\quad -{\frac {1}{n^{\frac {1}{2}}}}\left({\tfrac {1}{6}}\lambda _{3}\,\phi ^{(3)}(x)\right)\\&\quad +{\frac {1}{n}}\left({\tfrac {1}{24}}\lambda _{4}\,\phi ^{(4)}(x)+{\tfrac {1}{72}}\lambda _{3}^{2}\,\phi ^{(6)}(x)\right)\\&\quad -{\frac {1}{n^{\frac {3}{2}}}}\left({\tfrac {1}{120}}\lambda _{5}\,\phi ^{(5)}(x)+{\tfrac {1}{144}}\lambda _{3}\lambda _{4}\,\phi ^{(7)}(x)+{\tfrac {1}{1296}}\lambda _{3}^{3}\,\phi ^{(9)}(x)\right)\\&\quad +{\frac {1}{n^{2}}}\left({\tfrac {1}{720}}\lambda _{6}\,\phi ^{(6)}(x)+\left({\tfrac {1}{1152}}\lambda _{4}^{2}+{\tfrac {1}{720}}\lambda _{3}\lambda _{5}\right)\phi ^{(8)}(x)+{\tfrac {1}{1728}}\lambda _{3}^{2}\lambda _{4}\,\phi ^{(10)}(x)+{\tfrac {1}{31104}}\lambda _{3}^{4}\,\phi ^{(12)}(x)\right)\\&\quad +O\left(n^{-{\frac {5}{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Aquí, φ ^{( j )} ( x ) es la j -ésima derivada de φ(·) en el punto x . Recordando que las derivadas de la densidad de la distribución normal están relacionadas con la densidad normal por , (donde está el polinomio de Hermite de orden n ), esto explica las representaciones alternativas en términos de la función de densidad. Blinnikov y Moessner (1998) han proporcionado un algoritmo simple para calcular términos de orden superior de la expansión. ${\displaystyle \phi ^{(n)}(x)=(-1)^{n}He_{n}(x)\phi (x)}$ ${\displaystyle He_{n}}$

Tenga en cuenta que en el caso de distribuciones reticulares (que tienen valores discretos), la expansión de Edgeworth debe ajustarse para tener en cuenta los saltos discontinuos entre puntos de la red. ^[6]

Ilustración: densidad de la media muestral de tres distribuciones χ²

Densidad de la media muestral de tres variables chi2. El gráfico compara la densidad real, la aproximación normal y dos expansiones de Edgeworth.

Tome y la media muestral . ${\displaystyle X_{i}\sim \chi ^{2}(k=2),\,i=1,2,3\,(n=3)}$ ${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{3}}\sum _{i=1}^{3}X_{i}}$

Podemos utilizar varias distribuciones para : ${\displaystyle {\bar {X}}}$

• La distribución exacta, que sigue una distribución gamma : . ${\displaystyle {\bar {X}}\sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha =n\cdot k/2,\theta =2/n\right)=\mathrm {Gamma} \left(\alpha =3,\theta =2/3\right)}$
• La distribución normal asintótica: . ${\displaystyle {\bar {X}}{\xrightarrow {n\to \infty }}N(k,2\cdot k/n)=N(2,4/3)}$
• Dos expansiones de Edgeworth, de grados 2 y 3.

Discusión de resultados

• Para muestras finitas, no se garantiza que una expansión de Edgeworth sea una distribución de probabilidad adecuada , ya que los valores de CDF en algunos puntos pueden ir más allá de . ${\displaystyle [0,1]}$
• Garantizan (asintóticamente) errores absolutos , pero los errores relativos se pueden evaluar fácilmente comparando el término principal de Edgeworth en el resto con el término principal general. ^[2]

Ver también

• Expansión de Cornualles-Fisher
• Árbol binomial de Edgeworth

Referencias

1. Stuart, A. y Kendall, MG (1968). La teoría avanzada de la estadística. Compañía editorial Hafner.
2. Kolassa, John E. (2006). Métodos de aproximación de series en estadística (3ª ed.). Saltador. ISBN 0387322272.
3. Wallace, DL (1958). "Aproximaciones asintóticas a las distribuciones". Anales de estadística matemática . 29 (3): 635–654. doi : 10.1214/aoms/1177706528 . JSTOR  2237255.
4. Salón, P. (2013). El bootstrap y la expansión de Edgeworth. Medios de ciencia y negocios de Springer.
5. Weisstein, Eric W. "Serie Edgeworth". MundoMatemático .
6. Kolassa, John E.; McCullagh, Peter (1990). "Serie Edgeworth para distribuciones reticulares". Anales de Estadística . 18 (2): 981–985. doi : 10.1214/aos/1176347637 . JSTOR  2242145.

Otras lecturas

• H. Cramér . (1957). Métodos matemáticos de estadística . Prensa de la Universidad de Princeton, Princeton.
• Wallace, DL (1958). "Aproximaciones asintóticas a distribuciones". Anales de estadística matemática . 29 (3): 635–654. doi : 10.1214/aoms/1177706528 .
• M. Kendall y A. Stuart. (1977), La teoría avanzada de la estadística , Vol 1: Teoría de la distribución, cuarta edición, Macmillan, Nueva York.
• P. McCullagh (1987). Métodos tensoriales en estadística . Chapman y Hall, Londres.
• DR Cox y OE Barndorff-Nielsen (1989). Técnicas asintóticas para su uso en estadística . Chapman y Hall, Londres.
• P. Hall (1992). La expansión Bootstrap y Edgeworth . Springer, Nueva York.
• "Serie Edgeworth", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Blinnikov, S.; Moessner, R. (1998). "Expansiones para distribuciones casi gaussianas" (PDF) . Serie de Suplementos de Astronomía y Astrofísica . 130 : 193-205. arXiv : astro-ph/9711239 . Código Bib : 1998A y AS..130..193B. doi :10.1051/aas:1998221.
• Martín, Douglas; Arora, Rohit (2017). "Ineficiencia y sesgo del valor en riesgo modificado y déficit esperado". Revista de Riesgo . 19 (6): 59–84. doi :10.21314/JOR.2017.365.
• JE Kolassa (2006). Métodos de aproximación de series en estadística (3ª ed.). (Notas de clase en Estadísticas #88). Springer, Nueva York.