Expansión de Cornualles-Fisher

La expansión de Cornish-Fisher es una expansión asintótica que se utiliza para aproximar los cuantiles de una distribución de probabilidad basada en sus cumulantes . ^{[1] [2] [3] [4]}

Lleva el nombre de EA Cornish y RA Fisher , quienes describieron por primera vez la técnica en 1937. ^[1]

Definición

Para una variable aleatoria X con media μ, varianza σ² y acumuladores κ _n , su cuantil y _p en el orden de cuantil p se puede estimar como donde: ^[3] ${\displaystyle y_{p}\approx \mu +\sigma w_{p}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{p}&=&x&+\left[\gamma _{1}h_{1}(x)\right]\\&&&+\left[\gamma _{2}h_{2}(x)+\gamma _{1}^{2}h_{11}(x)\right]\\&&&+\left[\gamma _{3}h_{3}(x)+\gamma _{1}\gamma _{2}h_{12}(x)+\gamma _{1}^{3}h_{111}(x)\right]\\&&&+\cdots \\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\Phi ^{-1}(p)\\\gamma _{r-2}&={\frac {\kappa _{r}}{\kappa _{2}^{r/2}}};\;r\in \{3,4,\ldots \}\\h_{1}(x)&={\frac {\mathrm {He} _{2}(x)}{6}}\\h_{2}(x)&={\frac {\mathrm {He} _{3}(x)}{24}}\\h_{11}(x)&=-{\frac {\left[2\mathrm {He} _{3}(x)+\mathrm {He} _{1}(x)\right]}{36}}\\h_{3}(x)&={\frac {\mathrm {He} _{4}(x)}{120}}\\h_{12}(x)&=-{\frac {\left[\mathrm {He} _{4}(x)+\mathrm {He} _{2}(x)\right]}{24}}\\h_{111}(x)&={\frac {\left[12\mathrm {He} _{4}(x)+19\mathrm {He} _{2}(x)\right]}{324}}\end{aligned}}}$

donde He _n es el polinomio de Hermite de ^los probabilistas n . Los valores γ ₁ y γ _{2 son} la asimetría y la curtosis (exceso) de la variable aleatoria, respectivamente. Los valores en cada conjunto de corchetes son los términos para ese nivel de estimación polinómica, y todos deben calcularse y combinarse para que la expansión de Cornish-Fisher en ese nivel sea válida.

Ejemplo

Sea X una variable aleatoria con media 10, varianza 25, sesgo 5 y exceso de curtosis de 2. Podemos usar los dos primeros términos entre paréntesis anteriores, que dependen sólo del sesgo y la curtosis, para estimar cuantiles de esta variable aleatoria. Para el percentil 95, el valor para el cual la función de distribución acumulativa normal estándar es 0,95 es 1,644854, que será  x . El peso w se puede calcular como:

${\displaystyle {\begin{aligned}1.644854&+5\cdot {\frac {1.644854^{2}-1}{6}}\\&+2\cdot {\frac {1.644854^{3}-3\cdot 1.644854}{24}}-5^{2}{\frac {2\cdot 1.644854^{3}-5\cdot 1.644854}{36}}\end{aligned}}}$

o alrededor de 2,55621. Entonces, el percentil 95 estimado de X es 10 + 5×2,55621 o aproximadamente 22,781. A modo de comparación, el percentil 95 de una variable aleatoria normal con media 10 y varianza 25 sería aproximadamente 18,224; Tiene sentido que la variable aleatoria normal tenga un valor del percentil 95 más bajo, ya que la distribución normal no tiene sesgo ni exceso de curtosis y, por lo tanto, tiene una cola más delgada que la variable  aleatoria X.

Referencias

1. de Cornualles, EA; Pescador, Ronald A. (1938). «Momentos y Acumulantes en la Especificación de Distribuciones» (PDF) . Revue de l'Institut International de Statistique / Revista del Instituto Internacional de Estadística . 5 (4): 307–320. doi :10.2307/1400905. hdl : 2440/15229 . JSTOR  1400905.
2. Pescador, Ronald A .; De Cornualles, EA (1960). "Los puntos percentiles de las distribuciones con acumuladores conocidos" (PDF) . Tecnometría . 2 (2): 209–225. doi :10.2307/1266546. hdl : 2440/15277 . JSTOR  1266546.
3. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene (1964). "26. Funciones de probabilidad". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Publicaciones de Dover . pag. 935 . Consultado el 17 de septiembre de 2014 .
4. Martín, Douglas; Arora, Rohit (2017). "Ineficiencia y sesgo del valor en riesgo modificado y déficit esperado". Revista de Riesgo . 19 (6): 59–84. doi :10.21314/JOR.2017.365.