Polinomios de Hermite

Secuencia polinomial

En matemáticas , los polinomios de Hermite son una secuencia polinomial ortogonal clásica .

Los polinomios surgen en:

• procesamiento de señales como ondas hermitianas para análisis de transformadas de ondas
• probabilidad , como la serie de Edgeworth , así como en relación con el movimiento browniano ;
• combinatoria , como ejemplo de secuencia de Appell , que obedece al cálculo umbral ;
• análisis numérico como cuadratura gaussiana ;
• física , donde dan lugar a los estados propios del oscilador armónico cuántico ; y también ocurren en algunos casos de la ecuación del calor (cuando el término está presente); ${\displaystyle {\begin{aligned}xu_{x}\end{aligned}}}$
• Teoría de sistemas en relación con operaciones no lineales sobre ruido gaussiano .
• Teoría de matrices aleatorias en conjuntos gaussianos .

Los polinomios de Hermite fueron definidos por Pierre-Simon Laplace en 1810, ^{[1] [2]} aunque en una forma apenas reconocible, y estudiados en detalle por Pafnuty Chebyshev en 1859. ^[3] El trabajo de Chebyshev fue pasado por alto y más tarde recibieron el nombre de Charles Hermite. , quien escribió sobre los polinomios en 1864, describiéndolos como nuevos. ^[4] En consecuencia, no eran nuevos, aunque Hermite fue el primero en definir los polinomios multidimensionales.

Definición

Al igual que los otros polinomios ortogonales clásicos , los polinomios de Hermite se pueden definir desde varios puntos de partida diferentes. Teniendo en cuenta desde el principio que existen dos estandarizaciones diferentes de uso común, un método conveniente es el siguiente:

• Los "polinomios de Hermite del probabilista" están dados por
  $${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$$
• mientras que los "polinomios de Hermite del físico" están dados por
  $${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.}$$

Estas ecuaciones tienen la forma de una fórmula de Rodrigues y también se pueden escribir como,

$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1,\quad H_{n}(x)=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}$$

Las dos definiciones no son exactamente idénticas; cada uno es una reescalada del otro:

$${\displaystyle H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right),\quad {\mathit {He}}_{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}$$

Estas son secuencias polinómicas de Hermite de diferentes varianzas; consulte el material sobre variaciones a continuación.

La notación He y H es la utilizada en las referencias estándar. ^[5] Los polinomios He _n a veces se denotan por H _n , especialmente en la teoría de la probabilidad, porque

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$$

función de densidad de probabilidaddistribución normalvalor esperadodesviación estándar

Los primeros seis polinomios de Hermite del probabilismo He _n ( x )

Los primeros seis polinomios de Hermite (de físico) H _n ( x )

• Los primeros once polinomios de Hermite del probabilismo son:
  $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{0}(x)&=1,\\{\mathit {He}}_{1}(x)&=x,\\{\mathit {He}}_{2}(x)&=x^{2}-1,\\{\mathit {He}}_{3}(x)&=x^{3}-3x,\\{\mathit {He}}_{4}(x)&=x^{4}-6x^{2}+3,\\{\mathit {He}}_{5}(x)&=x^{5}-10x^{3}+15x,\\{\mathit {He}}_{6}(x)&=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15,\\{\mathit {He}}_{7}(x)&=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x,\\{\mathit {He}}_{8}(x)&=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105,\\{\mathit {He}}_{9}(x)&=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x,\\{\mathit {He}}_{10}(x)&=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945.\end{aligned}}}$$
• Los primeros once polinomios de Hermite del físico son:
  $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(x)&=1,\\H_{1}(x)&=2x,\\H_{2}(x)&=4x^{2}-2,\\H_{3}(x)&=8x^{3}-12x,\\H_{4}(x)&=16x^{4}-48x^{2}+12,\\H_{5}(x)&=32x^{5}-160x^{3}+120x,\\H_{6}(x)&=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120,\\H_{7}(x)&=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x,\\H_{8}(x)&=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680,\\H_{9}(x)&=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x,\\H_{10}(x)&=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240.\end{aligned}}}$$

Propiedades

El polinomio de Hermite de orden n es un polinomio de grado n . La versión del probabilista He _n tiene un coeficiente principal 1, mientras que la versión del físico H _n tiene un coeficiente principal 2 ⁿ .

Simetría

De las fórmulas de Rodrigues dadas anteriormente, podemos ver que H _n ( x ) y He _n ( x ) son funciones pares o impares dependiendo de n :

$${\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x),\quad {\mathit {He}}_{n}(-x)=(-1)^{n}{\mathit {He}}_{n}(x).}$$

Ortogonalidad

H _n ( x ) y He _n ( x ) sonpolinomios de n ésimo grado para n = 0, 1, 2, 3,... . Estos polinomios son ortogonales con respecto a la función de peso ( medida )

$${\displaystyle w(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\quad ({\text{for }}{\mathit {He}})}$$

$${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\quad ({\text{for }}H),}$$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,dx=0\quad {\text{for all }}m\neq n.}$$

Además,

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},}$$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\mathit {He}}_{m}(x){\mathit {He}}_{n}(x)\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},}$$

delta del Kronecker ${\displaystyle \delta _{nm}}$

Los polinomios probabilistas son, por tanto, ortogonales con respecto a la función de densidad de probabilidad normal estándar.

Lo completo

Los polinomios de Hermite (probabilistas o físicos) forman una base ortogonal del espacio de funciones de Hilbert que satisface

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,w(x)\,dx<\infty ,}$$

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,dx}$$

gaussiana w ( x )

Una base ortogonal para L ² ( R , w ( x ) dx ) es un sistema ortogonal completo . Para un sistema ortogonal, la completitud es equivalente al hecho de que la función 0 es la única función f ∈ L ² ( R , w ( x ) dx ) ortogonal a todas las funciones del sistema.

Dado que el intervalo lineal de los polinomios de Hermite es el espacio de todos los polinomios, hay que demostrar (en el caso físico) que si f satisface

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$$

norte ≥ 0f = 0

Una forma posible de hacer esto es apreciar que toda la función

$${\displaystyle F(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{zx-x^{2}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\int f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0}$$

F ( it ) = 0 para cada ttransformada de Fourierf ( x ) e ^{− x 2}f

En el caso de Hermite, también es posible probar una identidad explícita que implica integridad (ver la sección sobre la relación de integridad a continuación).

Una formulación equivalente del hecho de que los polinomios de Hermite son una base ortogonal para L ² ( R , w ( x ) dx ) consiste en introducir funciones de Hermite (ver más abajo) y decir que las funciones de Hermite son una base ortonormal para L ² ( R ) .

Ecuación diferencial de Hermite

Los polinomios de Hermite del probabilista son soluciones de la ecuación diferencial.

$${\displaystyle \left(e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u'\right)'+\lambda e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u=0,}$$

λuλ ${\displaystyle u(x)=C_{1}He_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle C_{1}}$

Reescribiendo la ecuación diferencial como un problema de valores propios

$${\displaystyle L[u]=u''-xu'=-\lambda u,}$$

funciones propiasecuación de Hermite ${\displaystyle He_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle L[u]}$

$${\displaystyle u''-2xu'=-2\lambda u.}$$

u ${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle C_{1}}$

Las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales de segundo orden anteriores son, de hecho, combinaciones lineales de polinomios de Hermite y funciones hipergeométricas confluentes del primer tipo. Por ejemplo, para la ecuación de Hermite del físico

$${\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0,}$$

$${\displaystyle u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)+C_{2}h_{\lambda }(x),}$$

las funciones hipergeométricas confluentes del primer tipo ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle H_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle h_{\lambda }(x)}$ ${\displaystyle h_{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-{\tfrac {\lambda }{2}};{\tfrac {1}{2}};x^{2})}$ ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$

Con condiciones de contorno más generales , los polinomios de Hermite se pueden generalizar para obtener funciones analíticas más generales para λ de valores complejos . También es posible una fórmula explícita de los polinomios de Hermite en términos de integrales de contorno (Courant & Hilbert 1989).

Relación de recurrencia

La secuencia de polinomios de Hermite del probabilista también satisface la relación de recurrencia

$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n+1}(x)=x{\mathit {He}}_{n}(x)-{\mathit {He}}_{n}'(x).}$$

$${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-(k+1)a_{n,k+1}&k=0,\\a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$$

un _0,0 = 1un _1,0 = 0un _1,1 = 1

Para los polinomios del físico, suponiendo

$${\displaystyle H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k},}$$

$${\displaystyle H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).}$$

$${\displaystyle a_{n+1,k}={\begin{cases}-a_{n,k+1}&k=0,\\2a_{n,k-1}-(k+1)a_{n,k+1}&k>0,\end{cases}}}$$

un _0,0 = 1un _1,0 = 0un _1,1 = 2

Los polinomios de Hermite constituyen una secuencia de Appell , es decir, son una secuencia polinomial que satisface la identidad

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}'(x)&=n{\mathit {He}}_{n-1}(x),\\H_{n}'(x)&=2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

Una recurrencia integral que se deduce y demuestra en ^[6] es la siguiente:

$${\displaystyle He_{n+1}(x)=(n+1)\int _{0}^{x}He_{n}(t)dt-He'_{n}(0),}$$

$${\displaystyle H_{n+1}(x)=2(n+1)\int _{0}^{x}H_{n}(t)dt-H'_{n}(0).}$$

De manera equivalente, mediante la expansión de Taylor ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}{\mathit {He}}_{k}(y)&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right){\mathit {He}}_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right),\\H_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{k}(x)(2y)^{(n-k)}&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{n-k}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right).\end{aligned}}}$$

umbral

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x)&=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},\\H_{n}(x)&=2^{n}e^{-{\frac {D^{2}}{4}}}x^{n}.\end{aligned}}}$$

En consecuencia, para las derivadas m -ésimas se cumplen las siguientes relaciones:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}^{(m)}(x)&={\frac {n!}{(n-m)!}}{\mathit {He}}_{n-m}(x)&&=m!{\binom {n}{m}}{\mathit {He}}_{n-m}(x),\\H_{n}^{(m)}(x)&=2^{m}{\frac {n!}{(n-m)!}}H_{n-m}(x)&&=2^{m}m!{\binom {n}{m}}H_{n-m}(x).\end{aligned}}}$$

De ello se deduce que los polinomios de Hermite también satisfacen la relación de recurrencia

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n+1}(x)&=x{\mathit {He}}_{n}(x)-n{\mathit {He}}_{n-1}(x),\\H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

Estas últimas relaciones, junto con los polinomios iniciales H ₀ ( x ) y H ₁ ( x ) , se pueden utilizar en la práctica para calcular los polinomios rápidamente.

Las desigualdades de Turán son

$${\displaystyle {\mathit {H}}_{n}(x)^{2}-{\mathit {H}}_{n-1}(x){\mathit {H}}_{n+1}(x)=(n-1)!\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}{\mathit {H}}_{i}(x)^{2}>0.}$$

Además, se cumple el siguiente teorema de la multiplicación :

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}H_{n-2i}(x),\\{\mathit {He}}_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}2^{-i}{\mathit {He}}_{n-2i}(x).\end{aligned}}}$$

expresión explícita

Los polinomios de Hermite del físico se pueden escribir explícitamente como

$${\displaystyle H_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n}{2}}{\frac {(-1)^{{\tfrac {n}{2}}-l}}{(2l)!\left({\tfrac {n}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l}&{\text{for even }}n,\\\displaystyle n!\sum _{l=0}^{\frac {n-1}{2}}{\frac {(-1)^{{\frac {n-1}{2}}-l}}{(2l+1)!\left({\frac {n-1}{2}}-l\right)!}}(2x)^{2l+1}&{\text{for odd }}n.\end{cases}}}$$

Estas dos ecuaciones se pueden combinar en una usando la función suelo :

$${\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}.}$$

Los polinomios de Hermite del probabilista tienen fórmulas similares, que se pueden obtener a partir de éstas reemplazando la potencia de 2 x con la potencia correspondiente de √ 2  x y multiplicando la suma completa por 2 ^−norte/2:

$${\displaystyle He_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}{\frac {x^{n-2m}}{2^{m}}}.}$$

Expresión explícita inversa

La inversa de las expresiones explícitas anteriores, es decir, aquellas para monomios en términos de polinomios de Hermite probabilísticos , son

$${\displaystyle x^{n}=n!\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{2^{m}m!(n-2m)!}}He_{n-2m}(x).}$$

Las expresiones correspondientes para los polinomios de Hermite H del físico siguen directamente escalando adecuadamente esto: ^[7]

$${\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\sum _{m=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {1}{m!(n-2m)!}}H_{n-2m}(x).}$$

función generadora

Los polinomios de Hermite están dados por la función generadora exponencial.

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{xt-{\frac {1}{2}}t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathit {He}}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},\\e^{2xt-t^{2}}&=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}$$

Esta igualdad es válida para todos los valores complejos de x y t , y se puede obtener escribiendo la expansión de Taylor en x de toda la función z → e ^{− z 2} (en el caso del físico). También se puede derivar la función generadora (de los físicos) utilizando la fórmula integral de Cauchy para escribir los polinomios de Hermite como

$${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {e^{-z^{2}}}{(z-x)^{n+1}}}\,dz.}$$

Usando esto en la suma

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}},}$$

Valores esperados

Si X es una variable aleatoria con distribución normal con desviación estándar 1 y valor esperado μ , entonces

$${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[{\mathit {He}}_{n}(X)\right]=\mu ^{n}.}$$

Los momentos de la normal estándar (con valor esperado cero) se pueden leer directamente de la relación para índices pares:

$${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } \left[X^{2n}\right]=(-1)^{n}{\mathit {He}}_{2n}(0)=(2n-1)!!,}$$

(2 norte − 1)!!doble factorial

$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(x+iy)^{n}e^{-{\frac {y^{2}}{2}}}\,dy.}$$

Expansión asintótica

Asintóticamente, como n → ∞ , la expansión ^[8]

$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)}$$

$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}={\frac {2\Gamma (n)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}},}$$

la aproximación de Stirling

$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$$

Esta expansión es necesaria para resolver la función de onda de un oscilador armónico cuántico de manera que concuerde con la aproximación clásica en el límite del principio de correspondencia .

Una mejor aproximación, que tiene en cuenta la variación de la frecuencia, viene dada por

$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)\sim \left({\frac {2n}{e}}\right)^{\frac {n}{2}}{\sqrt {2}}\cos \left(x{\sqrt {2n+1-{\frac {x^{2}}{3}}}}-{\frac {n\pi }{2}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2n+1}}\right)^{-{\frac {1}{4}}}.}$$

Una aproximación más fina, ^[9] que tiene en cuenta el espaciado desigual de los ceros cerca de los bordes, utiliza la sustitución

$${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cos(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \pi -\varepsilon ,}$$

$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sin \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot \left(\sin \left({\frac {3\pi }{4}}+\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(\sin 2\varphi -2\varphi \right)\right)+O\left(n^{-1}\right)\right).}$$

Aproximaciones similares son válidas para las regiones monótonas y de transición. Específicamente, si

$${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}\cosh(\varphi ),\quad 0<\varepsilon \leq \varphi \leq \omega <\infty ,}$$

$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=2^{{\frac {n}{2}}-{\frac {3}{4}}}{\sqrt {n!}}(\pi n)^{-{\frac {1}{4}}}(\sinh \varphi )^{-{\frac {1}{2}}}\cdot e^{\left({\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}\right)\left(2\varphi -\sinh 2\varphi \right)}\left(1+O\left(n^{-1}\right)\right),}$$

$${\displaystyle x={\sqrt {2n+1}}+t}$$

t

$${\displaystyle e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\cdot H_{n}(x)=\pi ^{\frac {1}{4}}2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {1}{4}}}{\sqrt {n!}}\,n^{-{\frac {1}{12}}}\left(\operatorname {Ai} \left(2^{\frac {1}{2}}n^{\frac {1}{6}}t\right)+O\left(n^{-{\frac {2}{3}}}\right)\right),}$$

Aifunción Airy

Valores especiales

Los polinomios de Hermite del físico evaluados con argumento cero H _n (0) se denominan números de Hermite .

$${\displaystyle H_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-2)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n,\end{cases}}}$$

H _n (0) = −2( n − 1) H _{n − 2} (0)

En términos de los polinomios del probabilista, esto se traduce en

$${\displaystyle He_{n}(0)={\begin{cases}0&{\text{for odd }}n,\\(-1)^{\frac {n}{2}}(n-1)!!&{\text{for even }}n.\end{cases}}}$$

Relaciones con otras funciones

Polinomios de Laguerre

Los polinomios de Hermite se pueden expresar como un caso especial de los polinomios de Laguerre :

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-4)^{n}n!L_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k}}{k!}},\\H_{2n+1}(x)&=2(-4)^{n}n!xL_{n}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}(x^{2})&&=2\cdot 4^{n}n!\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n-k}}{\frac {x^{2k+1}}{k!}}.\end{aligned}}}$$

Relación con funciones hipergeométricas confluentes

Los polinomios de Hermite del físico se pueden expresar como un caso especial de las funciones del cilindro parabólico :

$${\displaystyle H_{n}(x)=2^{n}U\left(-{\tfrac {1}{2}}n,{\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)}$$

semiplano derechoU ( a , b , z )la función hipergeométrica confluente de Tricomi

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}}\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {1}{2}};x^{2}{\big )},\\H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}{\frac {(2n+1)!}{n!}}\,2x\,_{1}F_{1}{\big (}-n,{\tfrac {3}{2}};x^{2}{\big )},\end{aligned}}}$$

₁ F ₁ ( a , b ; z ) = M ( a , b ; z )la función hipergeométrica confluente de Kummer

Expansión del polinomio de Hermite

De manera similar a la expansión de Taylor, algunas funciones se pueden expresar como una suma infinita de polinomios de Hermite. Específicamente, si , entonces tiene una expansión en los polinomios de Hermite del físico. ^[10] ${\displaystyle \int e^{-x^{2}}f(x)^{2}dx<\infty }$

Dado esto , las sumas parciales de la expansión de Hermite convergen en la norma si y sólo si . ^[11] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 4/3<p<4}$

$${\displaystyle x^{n}={\frac {n!}{2^{n}}}\,\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {1}{k!\,(n-2k)!}}\,H_{n-2k}(x)=n!\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }{\frac {1}{k!\,2^{k}\,(n-2k)!}}\,He_{n-2k}(x),\qquad n\in \mathbb {Z} _{+}.}$$

$${\displaystyle e^{ax}=e^{a^{2}/4}\sum _{n\geq 0}{\frac {a^{n}}{n!\,2^{n}}}\,H_{n}(x),\qquad a\in \mathbb {C} ,\quad x\in \mathbb {R} .}$$

$${\displaystyle e^{-a^{2}x^{2}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}a^{2n}}{n!\left(1+a^{2}\right)^{n+1/2}2^{2n}}}\,H_{2n}(x).}$$

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\mathrm {~d} t={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{k!(2k+1)2^{3k}}}H_{2k}(x).}$$

$${\displaystyle \cosh(2x)=e\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{(2k)!}}\,H_{2k}(x),\qquad \sinh(2x)=e\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{(2k+1)!}}\,H_{2k+1}(x).}$$

$${\displaystyle \cos(x)=e^{-1/4}\,\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{2^{2k}\,(2k)!}}\,H_{2k}(x)\quad \sin(x)=e^{-1/4}\,\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\,H_{2k+1}(x)}$$

Representación del operador diferencial

Los polinomios de Hermite del probabilista satisfacen la identidad

$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n},}$$

Dxexponencialserie de potencias

Dado que los coeficientes de la serie de potencias del exponencial son bien conocidos y las derivadas de orden superior del monomio x ⁿ pueden escribirse explícitamente, esta representación del operador diferencial da lugar a una fórmula concreta para los coeficientes de H _n que puede usarse para calcular rápidamente estos polinomios.

Dado que la expresión formal para la transformada de Weierstrass W es e ^{D 2} , vemos que la transformada de Weierstrass de ( √ 2 ) ⁿ He _n (X/√ 2) es xn .^​ Básicamente, la transformada de Weierstrass convierte una serie de polinomios de Hermite en una serie de Maclaurin correspondiente .

La existencia de alguna serie de potencias formal g ( D ) con coeficiente constante distinto de cero, tal que He _n ( x ) = g ( D ) x ⁿ , es otro equivalente a la afirmación de que estos polinomios forman una secuencia de Appell . Dado que son una secuencia de Appell, son a fortiori una secuencia de Sheffer .

Representación integral del contorno

De la representación de la función generadora anterior, vemos que los polinomios de Hermite tienen una representación en términos de una integral de contorno , como

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{tx-{\frac {t^{2}}{2}}}}{t^{n+1}}}\,dt,\\H_{n}(x)&={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{2tx-t^{2}}}{t^{n+1}}}\,dt,\end{aligned}}}$$

Generalizaciones

Los polinomios de Hermite del probabilista definidos anteriormente son ortogonales con respecto a la distribución de probabilidad normal estándar, cuya función de densidad es

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},}$$

Al escalar, se puede hablar de forma análoga de polinomios de Hermite generalizados ^[12]

$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)}$$

αα

$${\displaystyle (2\pi \alpha )^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\alpha }}}.}$$

$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)=\alpha ^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {\alpha }}}\right)=\left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{\frac {n}{2}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2\alpha }}}\right)=e^{-{\frac {\alpha D^{2}}{2}}}\left(x^{n}\right).}$$

Ahora si

$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)=\sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}x^{k},}$$

n

$${\displaystyle \left({\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}\circ {\mathit {He}}^{[\beta ]}\right)(x)\equiv \sum _{k=0}^{n}h_{n,k}^{[\alpha ]}\,{\mathit {He}}_{k}^{[\beta ]}(x)}$$

composición umbral

$${\displaystyle \left({\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}\circ {\mathit {He}}^{[\beta ]}\right)(x)={\mathit {He}}_{n}^{[\alpha +\beta ]}(x)}$$

$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha +\beta ]}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{k}^{[\alpha ]}(x){\mathit {He}}_{n-k}^{[\beta ]}(y).}$$

familia parametrizadade tipo binomial , para α = β =1/2

"Varianza negativa"

Dado que las secuencias polinómicas forman un grupo bajo la operación de composición umbral , se puede denotar por

$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[-\alpha ]}(x)}$$

α > 0 ${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[-\alpha ]}(x)}$ ${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}^{[\alpha ]}(x)}$

Estos surgen como momentos de distribuciones de probabilidad normales: El enésimo momento de la distribución normal con valor esperado μ y varianza σ ² es

$${\displaystyle E[X^{n}]={\mathit {He}}_{n}^{[-\sigma ^{2}]}(\mu ),}$$

X

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{k}^{[\alpha ]}(x){\mathit {He}}_{n-k}^{[-\alpha ]}(y)={\mathit {He}}_{n}^{[0]}(x+y)=(x+y)^{n}.}$$

Funciones de Hermite

Definición

Se pueden definir las funciones de Hermite (a menudo llamadas funciones de Hermite-Gaussianas) a partir de los polinomios del físico:

$${\displaystyle \psi _{n}(x)=\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}H_{n}(x)=(-1)^{n}\left(2^{n}n!{\sqrt {\pi }}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}.}$$

$${\displaystyle {\sqrt {2(n+1)}}~~\psi _{n+1}(x)=\left(x-{d \over dx}\right)\psi _{n}(x).}$$

Dado que estas funciones contienen la raíz cuadrada de la función de peso y se han escalado adecuadamente, son ortonormales :

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{m}(x)\,dx=\delta _{nm},}$$

L ² ( R )

Las funciones de Hermite están estrechamente relacionadas con la función de Whittaker (Whittaker & Watson 1996) D _n ( z ) :

$${\displaystyle D_{n}(z)=\left(n!{\sqrt {\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\psi _{n}\left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)=(-1)^{n}e^{\frac {z^{2}}{4}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}e^{\frac {-z^{2}}{2}}}$$

funciones del cilindro parabólico

Las funciones de Hermite satisfacen la ecuación diferencial.

$${\displaystyle \psi _{n}''(x)+\left(2n+1-x^{2}\right)\psi _{n}(x)=0.}$$

ecuación de Schrödingerfunciones propias

Funciones de Hermite: 0 (azul, sólido), 1 (naranja, discontinuo), 2 (verde, punteado y discontinuo), 3 (rojo, punteado), 4 (morado, sólido) y 5 (marrón, discontinuo)

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}(x)&=\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{1}(x)&={\sqrt {2}}\,\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\,x\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{2}(x)&=\left({\sqrt {2}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{2}-1\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{3}(x)&=\left({\sqrt {3}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(2x^{3}-3x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{4}(x)&=\left(2{\sqrt {6}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{4}-12x^{2}+3\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},\\\psi _{5}(x)&=\left(2{\sqrt {15}}\,\pi ^{\frac {1}{4}}\right)^{-1}\,\left(4x^{5}-20x^{3}+15x\right)\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.\end{aligned}}}$$

Funciones de Hermite: 0 (azul, sólido), 2 (naranja, discontinuo), 4 (verde, punteado y discontinuo) y 50 (rojo, sólido)

Relación recursiva

Siguiendo las relaciones de recursividad de los polinomios de Hermite, las funciones de Hermite obedecen

$${\displaystyle \psi _{n}'(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)-{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x)}$$

$${\displaystyle x\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {n}{2}}}\,\psi _{n-1}(x)+{\sqrt {\frac {n+1}{2}}}\psi _{n+1}(x).}$$

Extender la primera relación a las m -ésimas derivadas arbitrarias para cualquier entero positivo m conduce a

$${\displaystyle \psi _{n}^{(m)}(x)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{k}2^{\frac {m-k}{2}}{\sqrt {\frac {n!}{(n-m+k)!}}}\psi _{n-m+k}(x){\mathit {He}}_{k}(x).}$$

Esta fórmula se puede utilizar en relación con las relaciones de recurrencia de He _n y ψ _n para calcular cualquier derivada de las funciones de Hermite de manera eficiente.

La desigualdad de Cramér

Para x real , las funciones de Hermite satisfacen el siguiente límite debido a Harald Cramér ^{[13] [14]} y Jack Indritz: ^[15]

$${\displaystyle {\bigl |}\psi _{n}(x){\bigr |}\leq \pi ^{-{\frac {1}{4}}}.}$$

Funciones de Hermite como funciones propias de la transformada de Fourier

Las funciones de Hermite ψ _n ( x ) son un conjunto de funciones propias de la transformada continua de Fourier F . Para ver esto, tome la versión física de la función generadora y multiplíquela por e ^-1/2x2 .^​ Esto da

$${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$$

La transformada de Fourier del lado izquierdo viene dada por

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\right\}(k)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ixk}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}+2xt-t^{2}}\,dx\\&=e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}-2kit+t^{2}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k){\frac {(-it)^{n}}{n!}}.\end{aligned}}}$$

La transformada de Fourier del lado derecho viene dada por

$${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}{\frac {t^{n}}{n!}}.}$$

Al equiparar potencias semejantes de t en las versiones transformadas de los lados izquierdo y derecho, finalmente se obtiene

$${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}H_{n}(x)\right\}=(-i)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}k^{2}}H_{n}(k).}$$

Las funciones de Hermite ψ _n ( x ) son, por tanto, una base ortonormal de L ² ( R ) , que diagonaliza el operador de transformada de Fourier . ^[dieciséis]

Distribuciones de Wigner de funciones de Hermite

La función de distribución de Wigner de la función de Hermite de orden n está relacionada con el polinomio de Laguerre de orden n . Los polinomios de Laguerre son

$${\displaystyle L_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k},}$$

$${\displaystyle l_{n}(x):=e^{-{\frac {x}{2}}}L_{n}(x).}$$

n^[17]

$${\displaystyle W_{\psi _{n}}(t,f)=(-1)^{n}l_{n}{\big (}4\pi (t^{2}+f^{2}){\big )},}$$

x ∈ L ² ( R , C )

$${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\,x\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{*}\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$$

oscilador armónico cuánticoHip Groenewold^[18]la mecánica cuántica en el espacio de fases

Existen más relaciones entre las dos familias de polinomios.

Interpretación combinatoria de coeficientes.

En el polinomio de Hermite He _n ( x ) de varianza 1, el valor absoluto del coeficiente de x ^k es el número de particiones (desordenadas) de un n -elemento conjunto en k singletons ynorte - k/2pares (desordenados). De manera equivalente, es el número de involuciones de un conjunto de n elementos con precisamente k puntos fijos, o en otras palabras, el número de coincidencias en el gráfico completo en n vértices que dejan k vértices descubiertos (de hecho, los polinomios de Hermite son los polinomios de Hermite) . polinomios de estas gráficas). La suma de los valores absolutos de los coeficientes da el número total de particiones en singletons y pares, los llamados números de teléfono .

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496,... (secuencia A000085 en el OEIS ).

Esta interpretación combinatoria se puede relacionar con polinomios de Bell exponenciales completos como

$${\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,\ldots ,0),}$$

x _i = 0i > 2

Estos números también pueden expresarse como un valor especial de los polinomios de Hermite: ^[19]

$${\displaystyle T(n)={\frac {{\mathit {He}}_{n}(i)}{i^{n}}}.}$$

Relación de integridad

La fórmula de Christoffel-Darboux para los polinomios de Hermite dice:

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {H_{k}(x)H_{k}(y)}{k!2^{k}}}={\frac {1}{n!2^{n+1}}}\,{\frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)-H_{n}(x)H_{n+1}(y)}{x-y}}.}$$

Además, la siguiente identidad de completitud para las funciones de Hermite anteriores se cumple en el sentido de las distribuciones :

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)=\delta (x-y),}$$

δfunción delta de Diracψ _nδ ( x − y )medida de Lebesguey = xR ²

Esta identidad distribucional sigue a Wiener (1958) al tomar u → 1 en la fórmula de Mehler , válida cuando −1 < u < 1 :

$${\displaystyle E(x,y;u):=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\,\psi _{n}(x)\,\psi _{n}(y)={\frac {1}{\sqrt {\pi (1-u^{2})}}}\,\exp \left(-{\frac {1-u}{1+u}}\,{\frac {(x+y)^{2}}{4}}-{\frac {1+u}{1-u}}\,{\frac {(x-y)^{2}}{4}}\right),}$$

^{[20] [21]}

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)H_{n}(y)}{n!}}\left({\frac {u}{2}}\right)^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}e^{{\frac {2u}{1+u}}xy-{\frac {u^{2}}{1-u^{2}}}(x-y)^{2}}.}$$

La función ( x , y ) → E ( x , y ; u ) es la densidad de probabilidad gaussiana bivariada en R ² , que es, cuando u está cerca de 1, muy concentrada alrededor de la recta y = x , y muy dispersa en esa linea. Resulta que

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\langle f,\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n},g\rangle =\iint E(x,y;u)f(x){\overline {g(y)}}\,dx\,dy\to \int f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\langle f,g\rangle }$$

fg

Esto produce que f puede expresarse en funciones de Hermite como la suma de una serie de vectores en L ² ( R ) , es decir,

$${\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }\langle f,\psi _{n}\rangle \psi _{n}.}$$

Para demostrar la igualdad anterior para E ( x , y ; u ) , la transformada de Fourier de funciones gaussianas se utiliza repetidamente:

$${\displaystyle \rho {\sqrt {\pi }}e^{-{\frac {\rho ^{2}x^{2}}{4}}}=\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{\rho ^{2}}}}\,ds\quad {\text{for }}\rho >0.}$$

El polinomio de Hermite se representa entonces como

$${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left({\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds\right)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int (is)^{n}e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds.}$$

Con esta representación para H _n ( x ) y H _n ( y ) , es evidente que

$${\displaystyle {\begin{aligned}E(x,y;u)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}\,H_{n}(x)H_{n}(y)e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint \left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n!}}(-ust)^{n}\right)e^{isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint e^{-{\frac {ust}{2}}}\,e^{isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle s={\frac {\sigma +\tau }{\sqrt {2}}},\quad t={\frac {\sigma -\tau }{\sqrt {2}}}.}$$

Ver también

• Transformación de Hermita
• Polinomios de Legendre
• Núcleo de Mehler
• Función de cilindro parabólico
• Polinomios de Romanovski
• Las desigualdades de Turán

Notas

1. Laplace (1811). "Mémoire sur les intégrales définies et leur application aux probabilités, et spécialement a la recherche du milieu qu'il faut choisir entre les resultats des observes" [Memoria sobre integrales definidas y su aplicación a las probabilidades, y especialmente a la búsqueda de la media que debe ser elegido entre los resultados de las observaciones]. Mémoires de la Classe des Sciences Mathématiques et Physiques de l'Institut Impérial de France (en francés). 11 : 297–347.
2. Laplace, P.-S. (1812), Théorie analytique des probabilités [ Teoría analítica de la probabilidad ], vol. 2, págs. 194-203Recogido en Œuvres complètes VII.
3. Tchébychef, P. (1860). "Sur le développement des fonctions à une seule variable" [Sobre el desarrollo de funciones de una sola variable]. Bulletin de l'Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg (en francés). 1 : 193–200.Recopilado en Œuvres I, 501–508.
4. Hermita, C. (1864). "Sur un nouveau développement en série de fonctions" [Sobre un nuevo desarrollo en serie de funciones]. CR Acad. Ciencia. París (en francés). 58 : 93–100, 266–273.Recopilado en Œuvres II , 293–308.
5. Tom H. Koornwinder, Roderick SC Wong y Roelof Koekoek et al. (2010) y Abramowitz y Stegun .
6. Hurtado Benavides, Miguel Ángel. (2020). De las sumas de potencias a las sucesiones de Appell y su caracterización a través de funcionales. [Tesis de maestría]. Universidad Sergio Arboleda.
7. "18. Polinomios ortogonales, polinomios ortogonales clásicos, sumas". Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología . Consultado el 30 de enero de 2015 .
8. Abramowitz y Stegun 1983, pág. 508–510, 13.6.38 y 13.5.16.
9. Szegő 1955, pág. 201
10. "Tutorial de MATHEMATICA, parte 2.5: expansión de Hermite". www.cfm.brown.edu . Consultado el 24 de diciembre de 2023 .
11. Askey, Richard; Wainger, Stephen (1965). "Convergencia media de expansiones en series de Laguerre y Hermite". Revista Estadounidense de Matemáticas . 87 (3): 695–708. doi :10.2307/2373069. ISSN  0002-9327.
12. Roman, Steven (1984), The Umbral Calculus , Pure and Applied Mathematics, vol. 111 (1ª ed.), Academic Press, págs. 87–93, ISBN 978-0-12-594380-2
13. Erdélyi y col. 1955, pág. 207.
14. Szegő 1955.
15. Indritz, Jack (1961), "Una desigualdad para los polinomios de Hermite", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 12 (6): 981–983, doi : 10.1090/S0002-9939-1961-0132852-2 , SEÑOR  0132852
16. En este caso, utilizamos la versión unitaria de la transformada de Fourier, por lo que los valores propios son (− i ) ⁿ . La resolución resultante de la identidad sirve entonces para definir potencias, incluidas las fraccionarias, de la transformada de Fourier, a saber, una generalización de la transformada fraccionaria de Fourier , en efecto, un núcleo de Mehler .
17. Folland, GB (1989), Análisis armónico en el espacio de fases , Annals of Mathematics Studies, vol. 122, Prensa de la Universidad de Princeton, ISBN 978-0-691-08528-9
18. Groenewold, HJ (1946). "Sobre los principios de la mecánica cuántica elemental". Física . 12 (7): 405–460. Código bibliográfico : 1946Phy....12..405G. doi :10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
19. Banderier, Cirilo; Bousquet-Mélou, Mireille ; Denise, Alain; Flajolet, Philippe ; Gardy, Danièle; Gouyou-Beauchamps, Dominique (2002), "Generación de funciones para generar árboles", Matemáticas discretas , 246 (1–3): 29–55, arXiv : math/0411250 , doi :10.1016/S0012-365X(01)00250-3 , SEÑOR  1884885, S2CID  14804110
20. Mehler, FG (1866), "Ueber die Entwicklung einer Function von beliebig vielen Variabeln nach Laplaceschen Functionen höherer Ordnung" [Sobre el desarrollo de una función de muchas variables arbitrarias según funciones de Laplace de orden superior], Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán) (66): 161–176, ISSN  0075-4102, ERAM  066.1720cj. Ver pág. 174, ecuación. (18) y pág. 173, ecuación. (13).
21. Erdélyi y col. 1955, pág. 194, 10.13 (22).

Referencias

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• Courant, Ricardo ; Hilbert, David (1989) [1953], Métodos de física matemática , vol. 1, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-50447-4
• Erdélyi, Arthur ; Magnus, Guillermo ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1955), Funciones trascendentales superiores (PDF) , vol. II, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-019546-2
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• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Polinomios ortogonales", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.
• Laplace, PS (1810), "Mémoire sur les intégrales définies et leur application aux probabilités, et spécialement a la recherche du milieu qu'il faut choisir entre les résultats des observes", Mémoires de l'Académie des Sciences : 279–347Oeuvres complètes 12, pp.357-412, traducción al inglés Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
• Shohat, JA; Hille, Einar; Walsh, Joseph L. (1940), Bibliografía sobre polinomios ortogonales , Boletín del Consejo Nacional de Investigaciones, Washington DC: Academia Nacional de Ciencias- 2000 referencias de Bibliografía sobre polinomios de Hermite.
• Suetin, PK (2001) [1994], "Polinomios de Hermite", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Szegő, Gábor (1955) [1939], Polinomios ortogonales , Publicaciones del Coloquio, vol. 23 (4ª ed.), Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-1023-1
• Temme, Nico (1996), Funciones especiales: una introducción a las funciones clásicas de la física matemática , Nueva York: Wiley, ISBN 978-0-471-11313-3
• Wiener, Norbert (1958) [1933], La integral de Fourier y algunas de sus aplicaciones (edición revisada), Nueva York: Dover Publications, ISBN 0-486-60272-9
• Whittaker, et al ; Watson, GN (1996) [1927], Un curso de análisis moderno (4ª ed.), Londres: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2

enlaces externos

• Medios relacionados con los polinomios de Hermite en Wikimedia Commons
• Weisstein, Eric W. "Polinomio de Hermite". MundoMatemático .
• Biblioteca científica GNU: incluye la versión C de los polinomios, funciones, sus derivadas y ceros de Hermite (consulte también la Biblioteca científica GNU )