Fórmula de Christoffel-Darboux

En matemáticas, la fórmula de Christoffel-Darboux o teorema de Christoffel-Darboux es una identidad para una secuencia de polinomios ortogonales , introducida por Elwin Bruno Christoffel  (1858) y Jean Gaston Darboux  (1878). Se afirma que

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {f_{j}(x)f_{j}(y)}{h_{j}}}={\frac {k_{n}}{h_{n}k_{n+1}}}{\frac {f_{n}(y)f_{n+1}(x)-f_{n+1}(y)f_{n}(x)}{x-y}}}$

donde f _j ( x ) es el jésimo término de un conjunto de polinomios ortogonales de norma al cuadrado h _j y coeficiente principal k _j .

También existe una "forma confluente" de esta identidad tomando límite: ${\displaystyle y\to x}$

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {f_{j}^{2}(x)}{h_{j}}}={\frac {k_{n}}{h_{n}k_{n+1}}}\left[f_{n+1}'(x)f_{n}(x)-f_{n}'(x)f_{n+1}(x)\right].}$$

Prueba

Sea una secuencia de polinomios ortonormales con respecto a una medida de probabilidad , y definamos ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle a_{n}=\langle xp_{n},p_{n+1}\rangle ,\qquad b_{n}=\langle xp_{n},p_{n}\rangle ,\qquad n\geq 0}$$

^[1]

$${\displaystyle {\begin{array}{l l}{p_{0}(x)=1,\qquad p_{1}(x)={\frac {x-b_{0}}{a_{0}}},}\\{xp_{n}(x)=a_{n}p_{n+1}(x)+b_{n}p_{n}(x)+a_{n-1}p_{n-1}(x),\qquad n\geq 1}\end{array}}}$$

Prueba: Por definición, entonces si , entonces es una combinación lineal de , y por lo tanto . Entonces, para construir , basta con realizar el proceso de Gram-Schmidt usando , lo que produce la recurrencia deseada. ${\displaystyle \langle xp_{n},p_{k}\rangle =\langle p_{n},xp_{k}\rangle }$ ${\displaystyle k\leq n-2}$ ${\displaystyle xp_{k}}$ ${\displaystyle p_{0},...,p_{n-1}}$ ${\displaystyle \langle xp_{n},p_{k}\rangle =0}$ ${\displaystyle p_{n+1}}$ ${\displaystyle xp_{n}}$ ${\displaystyle p_{n},p_{n-1}}$

Prueba de la fórmula de Christoffel-Darboux:

Dado que ambos lados no cambian al multiplicarlos por una constante, podemos escalar cada uno a . ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle p_{n}}$

Como es un polinomio de grados, es perpendicular a y así . Ahora la fórmula de Christoffel-Darboux se demuestra por inducción, utilizando la recurrencia de tres términos. ${\displaystyle {\frac {k_{n+1}}{k_{n}}}xp_{n}-p_{n+1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{n+1}}$ ${\displaystyle \langle {\frac {k_{n+1}}{k_{n}}}xp_{n},p_{n+1}\rangle =\langle p_{n+1},p_{n+1}\rangle =1}$

Casos específicos

Polinomios de Hermite :

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {H_{k}(x)H_{k}(y)}{k!2^{k}}}={\frac {1}{n!2^{n+1}}}\,{\frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)-H_{n}(x)H_{n+1}(y)}{x-y}}.}$$

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {He_{k}(x)He_{k}(y)}{k!}}={\frac {1}{n!}}\,{\frac {He_{n}(y)He_{n+1}(x)-He_{n}(x)He_{n+1}(y)}{x-y}}.}$$

Polinomios de Legendre asociados :

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mu -\mu ')\sum _{l=m}^{L}\,(2l+1){\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}\,P_{lm}(\mu )P_{lm}(\mu ')=\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\{\frac {(L-m+1)!}{(L+m)!}}{\big [}P_{L+1\,m}(\mu )P_{Lm}(\mu ')-P_{Lm}(\mu )P_{L+1\,m}(\mu '){\big ]}.\end{aligned}}}$

Ver también

• Las desigualdades de Turán
• Cadena de tormenta

Referencias

1. Świderski, Grzegorz; Troyano, Bartosz (1 de agosto de 2021). "Comportamiento asintótico del kernel de Christoffel-Darboux a través de la relación de recurrencia de tres términos I". Aproximación constructiva . 54 (1): 49-116. arXiv : 1909.09107 . doi : 10.1007/s00365-020-09519-w . ISSN  1432-0940. S2CID  202677666.

• Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Funciones especiales , Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones, vol. 71, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 978-0-521-62321-6, señor  1688958
• Christoffel, EB (1858), "Über die Gaußische Quadratur und eine Verallgemeinerung derselben.", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 55 : 61–82, doi :10.1515/crll.1858.55.61, ISSN  0075- 4102, S2CID  123118038
• Darboux, Gaston (1878), "Mémoire sur l'approximation des fonctions de très-grands nombres, et sur une classe étendue de développements en série", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (en francés), 4 : 5–56, 377 –416, JFM  10.0279.01
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1972), Manual de funciones matemáticas , Dover Publications, Inc., Nueva York, p. 785, ecuación. 22.12.1
• Olver, Frank WJ; Lozier, Daniel W.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (2010), "Manual de funciones matemáticas del NIST", Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press , p. 438, ecuaciones. 18.2.12 y 18.2.13, ISBN 978-0-521-19225-5(Tapa dura, ISBN 978-0-521-14063-8 Tapa blanda) 
• Simons, Frederik J.; Dahlen, FA; Wieczorek, Mark A. (2006), "Concentración espacioespectral en una esfera", SIAM Review , 48 (1): 504–536, arXiv : math/0408424 , Bibcode : 2006SIAMR..48..504S, doi : 10.1137/S0036144504445765 , S2CID  27519592