Función completa

Función holomorfa en todo el plano complejo.

En análisis complejo , una función completa , también llamada función integral, es una función de valores complejos que es holomorfa en todo el plano complejo . Ejemplos típicos de funciones completas son los polinomios y la función exponencial , y cualquier suma, producto y composición finita de estos, como las funciones trigonométricas seno y coseno y sus contrapartes hiperbólicas sinh y cosh , así como derivadas e integrales de funciones completas como la función de error . Si una función completa tiene una raíz en , entonces , tomando el valor límite en , es una función completa. Por otro lado, el logaritmo natural , la función recíproca y la raíz cuadrada no son funciones completas ni pueden continuar analíticamente hasta una función completa. ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle f(z)/(z-w)}$ ${\displaystyle w}$

Una función entera trascendental es una función entera que no es un polinomio.

Así como las funciones meromórficas pueden verse como una generalización de fracciones racionales, las funciones enteras pueden verse como una generalización de polinomios. En particular, si para funciones meromorfas se puede generalizar la factorización en fracciones simples (el teorema de Mittag-Leffler sobre la descomposición de una función meromorfa), entonces para funciones enteras existe una generalización de la factorización: el teorema de Weierstrass sobre funciones enteras.

Propiedades

Cada función completa se puede representar como una única serie de potencias. ${\displaystyle \ f(z)\ }$

$${\displaystyle \ f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\ }$$

convergeuniformemente en conjuntos compactosradio de convergencia

$${\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}=0\ }$$

^[a]

$${\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln |a_{n}|}{n}}=-\infty ~.}$$

Si (y sólo si) los coeficientes de la serie de potencias son todos reales, entonces la función evidentemente toma valores reales para argumentos reales, y el valor de la función en el conjugado complejo de será el conjugado complejo del valor en Tales funciones a veces son llamado autoconjugado (la función conjugada, dada por ). ^[1] ${\displaystyle \ z\ }$ ${\displaystyle \ z~.}$ ${\displaystyle \ F^{*}(z)\ ,}$ ${\displaystyle \ {\bar {F}}({\bar {z}})\ }$

Si se conoce la parte real de una función completa en las proximidades de un punto, entonces tanto la parte real como la imaginaria se conocen para todo el plano complejo, hasta una constante imaginaria. Por ejemplo, si la parte real se conoce en una vecindad de cero, entonces podemos encontrar los coeficientes de las siguientes derivadas con respecto a una variable real : ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \ r\ }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ a_{n}\ \right\}&={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\ \operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ f(r)\ \right\}&&\quad \mathrm {at} \quad r=0\\\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{\ a_{n}\ \right\}&={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\ \operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ f\left(r\ e^{-{\frac {i\pi }{2n}}}\right)\ \right\}&&\quad \mathrm {at} \quad r=0\end{aligned}}}$$

(Del mismo modo, si la parte imaginaria se conoce en una vecindad entonces la función se determina hasta una constante real.) De hecho, si la parte real se conoce sólo en un arco de círculo, entonces la función se determina hasta una constante real. constante. ^[b] } Tenga en cuenta, sin embargo, que una función completa no está determinada por su parte real en todas las curvas. En particular, si la parte real está dada en cualquier curva del plano complejo donde la parte real de alguna otra función completa es cero, entonces cualquier múltiplo de esa función se puede sumar a la función que estamos tratando de determinar. Por ejemplo, si la curva donde se conoce la parte real es la recta real, entonces podemos sumar por cualquier función autoconjugada. Si la curva forma un bucle, entonces está determinada por la parte real de la función en el bucle, ya que las únicas funciones cuya parte real es cero en la curva son aquellas que son iguales en todas partes a algún número imaginario. ${\displaystyle \ i\ }$

El teorema de factorización de Weierstrass afirma que cualquier función completa puede representarse mediante un producto que incluya sus ceros (o "raíces").

Todas las funciones en el plano complejo forman un dominio integral (de hecho, un dominio de Prüfer ). También forman un álgebra asociativa unital conmutativa sobre los números complejos .

El teorema de Liouville establece que cualquier función entera acotada debe ser constante. ^[C]

Como consecuencia del teorema de Liouville, cualquier función entera en toda la esfera de Riemann ^[d] es constante. Por tanto, cualquier función entera no constante debe tener una singularidad en el punto complejo del infinito , ya sea un polo para un polinomio o una singularidad esencial para una función entera trascendental . Específicamente, según el teorema de Casorati-Weierstrass , para cualquier función completa trascendental y cualquier complejo existe una secuencia tal que ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ w\ }$ ${\displaystyle \ (z_{m})_{m\in \mathbb {N} }\ }$

${\displaystyle \ \lim _{m\to \infty }|z_{m}|=\infty ,\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{m\to \infty }f(z_{m})=w~.}$

El pequeño teorema de Picard es un resultado mucho más sólido: cualquier función completa no constante toma cada número complejo como valor, posiblemente con una única excepción. Cuando existe una excepción, se denomina valor lagunar de la función. La posibilidad de un valor lagunar se ilustra con la función exponencial , que nunca toma el valor 0 . Se puede tomar una rama adecuada del logaritmo de una función completa que nunca llegue a 0 , de modo que también sea una función completa (según el teorema de factorización de Weierstrass ). El logaritmo alcanza todos los números complejos excepto posiblemente un número, lo que implica que la primera función alcanzará cualquier valor distinto de 0 un número infinito de veces. De manera similar, una función completa no constante que no alcanza un valor particular alcanzará todos los demás valores un número infinito de veces.

El teorema de Liouville es un caso especial del siguiente enunciado:

Teorema  :  suponga que son constantes positivas y que es un número entero no negativo. Una función completa que satisface la desigualdad para todos con es necesariamente un polinomio, de grado como máximo ^[e] De manera similar, una función completa que satisface la desigualdad para todos con es necesariamente un polinomio, de grado al menos . ${\displaystyle \ M\ ,}$ ${\displaystyle \ R\ }$ ${\displaystyle \ n\ }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ |f(z)|\leq M|z|^{n}\ }$ ${\displaystyle \ z\ }$ ${\displaystyle \ |z|\geq R\ ,}$ ${\displaystyle \ n~.}$ ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ M|z|^{n}\leq |f(z)|\ }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \ |z|\geq R\ ,}$ ${\displaystyle n}$

Crecimiento

Funciones enteras pueden crecer tan rápido como cualquier función creciente: para cualquier función creciente existe una función completa tal que para todos los reales . Una función de este tipo se puede encontrar fácilmente en la forma: ${\displaystyle g:[0,\infty )\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)>g(|x|)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(z)=c+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}\right)^{n_{k}}}$$

para una secuencia constante y estrictamente creciente de números enteros positivos . Cualquier secuencia de este tipo define una función completa , y si las potencias se eligen apropiadamente podemos satisfacer la desigualdad para todos los reales . (Por ejemplo, ciertamente se cumple si uno elige y, para cualquier número entero , elige un exponente par tal que ). ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(x)>g(|x|)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c:=g(2)}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle \left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n_{k}}\geq g(k+2)}$

Orden y tipo

El orden (en el infinito) de una función completa se define usando el límite superior como: ${\displaystyle f(z)}$

$${\displaystyle \rho =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \left(\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}\right)}{\ln r}},}$$

donde es el disco de radio y denota la norma suprema de on . El orden es un número real no negativo o infinito (excepto cuando para todos . En otras palabras, el orden de es el mínimo de todos tales que: ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \|f\|_{\infty ,B_{r}}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle f(z)=0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle f(z)=O\left(\exp \left(|z|^{m}\right)\right),\quad {\text{as }}z\to \infty .}$$

El ejemplo de muestra que esto no significa que esté en orden . ${\displaystyle f(z)=\exp(2z^{2})}$ ${\displaystyle f(z)=O(\exp(|z|^{m}))}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle m}$

Si también se puede definir el tipo : ${\displaystyle 0<\rho <\infty ,}$

$${\displaystyle \sigma =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}}{r^{\rho }}}.}$$

Si el orden es 1 y el tipo es , se dice que la función es "de tipo exponencial ". Si es de orden menor que 1 se dice que es de tipo exponencial 0. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

Si

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{-\ln |a_{n}|}}\\[6pt](e\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=\limsup _{n\to \infty }n^{\frac {1}{\rho }}|a_{n}|^{\frac {1}{n}}\end{aligned}}}$$

Denotemos la -ésima derivada de , luego podemos reformular estas fórmulas en términos de las derivadas en cualquier punto arbitrario : ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{n\ln n-\ln |f^{(n)}(z_{0})|}}=\left(1-\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln |f^{(n)}(z_{0})|}{n\ln n}}\right)^{-1}\\[6pt](\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=e^{1-{\frac {1}{\rho }}}\limsup _{n\to \infty }{\frac {|f^{(n)}(z_{0})|^{\frac {1}{n}}}{n^{1-{\frac {1}{\rho }}}}}\end{aligned}}}$$

El tipo puede ser infinito, como en el caso de la función gamma recíproca , o cero (ver ejemplo a continuación en el § Orden 1).

Otra forma de averiguar el orden y el tipo es el teorema de Matsaev .

Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos de funciones de varios órdenes:

Orden ρ

Para números positivos arbitrarios , se puede construir un ejemplo de una función completa de orden y tipo usando: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {e\rho \sigma }{n}}\right)^{\frac {n}{\rho }}z^{n}}$$

Orden 0

• Polinomios distintos de cero
• ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{-n^{2}}z^{n}}$

Orden 1/4

$${\displaystyle f({\sqrt[{4}]{z}})}$$

$${\displaystyle f(u)=\cos(u)+\cosh(u)}$$

Orden 1/3

$${\displaystyle f({\sqrt[{3}]{z}})}$$

$${\displaystyle f(u)=e^{u}+e^{\omega u}+e^{\omega ^{2}u}=e^{u}+2e^{-{\frac {u}{2}}}\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}u}{2}}\right),\quad {\text{with }}\omega {\text{ a complex cube root of 1}}.}$$

Orden 1/2

$${\displaystyle \cos \left(a{\sqrt {z}}\right)}$$

${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \sigma =|a|}$

Orden 1

• ${\displaystyle \exp(az)}$con ( ) ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \sigma =|a|}$
• ${\displaystyle \sin(z)}$
• ${\displaystyle \cosh(z)}$
• la función de Bessel ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle J_{0}(z)}$
• la función gamma recíproca ( es infinita) ${\displaystyle 1/\Gamma (z)}$ ${\displaystyle \sigma }$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n\ln n)^{n}}}.\quad (\sigma =0)}$

Orden 3/2

• Función aireada ${\displaystyle Ai(z)}$

Orden 2

• ${\displaystyle \exp(az^{2})}$con ( ) ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \sigma =|a|}$
• La función G de Barnes ( es infinita). ${\displaystyle \sigma }$

Orden infinito

• ${\displaystyle \exp(\exp(z))}$

Género

Funciones enteras de orden finito tienen la representación canónica de Hadamard ( teorema de factorización de Hadamard ):

$${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+\cdots +{\frac {1}{p}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p}\right),}$$

donde están aquellas raíces de que no son cero ( ), es el orden del cero de at ( entendiéndose el caso como ), un polinomio (cuyo grado llamaremos ), y es el menor entero no negativo tal que serie ${\displaystyle z_{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle f(0)\neq 0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|z_{n}|^{p+1}}}}$$

converge. El número entero no negativo se llama género de la función completa . ${\displaystyle g=\max\{p,q\}}$ ${\displaystyle f}$

Si el orden no es un número entero, entonces es la parte entera de . Si el orden es un número entero positivo, entonces hay dos posibilidades: o . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g=[\rho ]}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g=\rho -1}$ ${\displaystyle g=\rho }$

Por ejemplo, y son funciones completas del género . ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle g=\rho =1}$

Otros ejemplos

Según JE Littlewood , la función sigma de Weierstrass es una función completa "típica". Esta afirmación se puede precisar en la teoría de funciones enteras aleatorias: el comportamiento asintótico de casi todas las funciones enteras es similar al de la función sigma. Otros ejemplos incluyen las integrales de Fresnel , la función theta de Jacobi y la función Gamma recíproca . La función exponencial y la función de error son casos especiales de la función de Mittag-Leffler . Según el teorema fundamental de Paley y Wiener , las transformadas de Fourier de funciones (o distribuciones) con soporte acotado son funciones enteras de orden y tipo finito. ${\displaystyle 1}$

Otros ejemplos son soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes polinomiales. Si el coeficiente en la derivada más alta es constante, entonces todas las soluciones de tales ecuaciones son funciones completas. De esta forma surgen , por ejemplo, las funciones exponencial, seno, coseno, funciones de Airy y funciones de cilindro parabólico . La clase de funciones completas está cerrada con respecto a las composiciones. Esto hace posible estudiar la dinámica de funciones completas .

Una función entera de la raíz cuadrada de un número complejo es entera si la función original es par , por ejemplo . ${\displaystyle \cos({\sqrt {z}})}$

Si una secuencia de polinomios cuyas raíces son todas reales converge en una vecindad del origen a un límite que no es idénticamente igual a cero, entonces este límite es una función completa. Tales funciones completas forman la clase Laguerre-Pólya , que también se puede caracterizar en términos del producto de Hadamard, es decir, pertenece a esta clase si y sólo si en la representación de Hadamard todos son reales, y , donde y son reales, y . Por ejemplo, la secuencia de polinomios. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle \rho \leq 1}$ ${\displaystyle P(z)=a+bz+cz^{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c\leq 0}$

$${\displaystyle \left(1-{\frac {(z-d)^{2}}{n}}\right)^{n}}$$

converge, a medida que aumenta, a . los polinomios ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \exp(-(z-d)^{2})}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\left(1+{\frac {iz}{n}}\right)^{n}+\left(1-{\frac {iz}{n}}\right)^{n}\right)}$$

tienen todas raíces reales y convergen a . los polinomios ${\displaystyle \cos(z)}$

$${\displaystyle \prod _{m=1}^{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{\left(\left(m-{\frac {1}{2}}\right)\pi \right)^{2}}}\right)}$$

también convergen a , que muestra la acumulación del producto de Hadamard para el coseno. ${\displaystyle \cos(z)}$

Ver también

• la fórmula de jensen
• teorema de carlson
• tipo exponencial
• Teorema de Paley-Wiener
• Teoría de Wiman-Valiron

Notas

1. Si es necesario, se considera que el logaritmo de cero es igual a menos infinito.
2. Por ejemplo, si la parte real se conoce en parte del círculo unitario, entonces se conoce en todo el círculo unitario por extensión analítica , y luego los coeficientes de la serie infinita se determinan a partir de los coeficientes de la serie de Fourier para el círculo unitario real. parte del círculo unitario.
3. El teorema de Liouville se puede utilizar para demostrar con elegancia el teorema fundamental del álgebra .
4. La esfera de Riemann es todo el plano complejo aumentado con un solo punto en el infinito.
5. Lo contrario también es cierto, ya que para cualquier polinomio de grado la desigualdad es válida para cualquier ${\textstyle \ p(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}\ }$ ${\displaystyle \ n\ }$ ${\textstyle \ |p(z)|\leq \left(\ \sum _{k=0}^{n}|a_{k}|\ \right)|z|^{n}\ }$ ${\displaystyle \ |z|\geq 1~.}$

Referencias

1. Boas 1954, pag. 1.

Fuentes

• Boas, Ralph P. (1954). Funciones completas . Prensa académica . ISBN 9780080873138. OCLC  847696.
• Levin, B.Ya. (1980) [1964]. Distribución de Ceros de Funciones Enteras . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4505-9.
• Levin, B.Ya. (1996). Conferencias sobre funciones completas . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-0897-9.