tipo binomial

Tipo de secuencia polinomial

En matemáticas , una secuencia polinómica , es decir, una secuencia de polinomios indexados por números enteros no negativos en la que el índice de cada polinomio es igual a su grado , se dice que es de tipo binomial si satisface la secuencia de identidades. ${\textstyle \left\{0,1,2,3,\ldots \right\}}$

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,p_{k}(x)\,p_{n-k}(y).}$

Existen muchas secuencias de este tipo. El conjunto de todas estas secuencias forma un grupo de Lie bajo la operación de composición umbral , que se explica a continuación. Toda secuencia de tipo binomial puede expresarse en términos de polinomios de Bell . Cada secuencia de tipo binomial es una secuencia de Sheffer (pero la mayoría de las secuencias de Sheffer no son de tipo binomial). "Las secuencias polinomiales ponen una base firme en las vagas nociones de cálculo umbral del siglo XIX ".

Ejemplos

• Como consecuencia de esta definición, el teorema binomial se puede enunciar diciendo que la secuencia es de tipo binomial. ${\displaystyle \{x^{n}:n=0,1,2,\ldots \}}$
• La secuencia de " factoriales inferiores " está definida por
  $${\displaystyle (x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdot \cdots \cdot (x-n+1).}$$
  (En la teoría de funciones especiales , esta misma notación denota factoriales superiores , pero este uso actual es universal entre los combinatorialistas ). Se entiende que el producto es 1 si n = 0, ya que en ese caso es un producto vacío . Esta secuencia polinómica es de tipo binomial. ^[1]
• De manera similar, los " factoriales superiores "
  $${\displaystyle x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdot \cdots \cdot (x+n-1)}$$
  son una secuencia polinomial de tipo binomial.
• Los polinomios de Abel
  $${\displaystyle p_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}}$$
  son una secuencia polinomial de tipo binomial.
• Los polinomios de Touchard
  $${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}S(n,k)x^{k}}$$
  donde es el número de particiones de un conjunto de tamaño en subconjuntos disjuntos no vacíos , es una secuencia polinómica de tipo binomial. Eric Temple Bell los llamó "polinomios exponenciales" y ese término también se ve a veces en la literatura. Los coeficientes son " números de Stirling de segunda especie". Esta secuencia tiene una curiosa conexión con la distribución de Poisson : si es una variable aleatoria con una distribución de Poisson con valor esperado entonces . En particular, cuando vemos que el momento de la distribución de Poisson con valor esperado es el número de particiones de un conjunto de tamaño , llamado número de Bell . Este hecho sobre el momento décimo de esa particular distribución de Poisson es la " fórmula de Dobinski ". ${\displaystyle S(n,k)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S(n,k)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle E(X^{n})=p_{n}(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda =1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Caracterización por operadores delta.

Se puede demostrar que una secuencia polinómica { p _n (x) : n  = 0, 1, 2,… } es de tipo binomial si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

• La transformación lineal en el espacio de polinomios en x que se caracteriza por
  $${\displaystyle p_{n}(x)\mapsto np_{n-1}(x)}$$
  es equivalente al desplazamiento , y
• p ₀ ( x ) = 1 para todo x , y
• p _norte (0) = 0 para norte > 0.

(La afirmación de que este operador es equivariante por desplazamiento es lo mismo que decir que la secuencia polinómica es una secuencia de Sheffer ; el conjunto de secuencias de tipo binomial está incluido propiamente dentro del conjunto de secuencias de Sheffer.)

Operadores delta

Esa transformación lineal es claramente un operador delta , es decir, una transformación lineal equivalente a desplazamiento en el espacio de polinomios en x que reduce los grados de los polinomios en 1. Los ejemplos más obvios de operadores delta son los operadores de diferencia ^[1] y diferenciación . Se puede demostrar que cada operador delta se puede escribir como una serie de potencias de la forma

${\displaystyle Q=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}D^{n}}$

donde D es diferenciación (tenga en cuenta que el límite inferior de la suma es 1). Cada operador delta Q tiene una secuencia única de "polinomios básicos", es decir, una secuencia de polinomios que satisface

1. ${\displaystyle p_{0}(x)=1,}$
2. ${\displaystyle p_{n}(0)=0\quad {\rm {for\ }}n\geq 1,{\rm {\ and}}}$
3. ${\displaystyle Qp_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

Rota , Kahaner y Odlyzko demostraron en 1973 que una secuencia polinómica es de tipo binomial si y sólo si es la secuencia de polinomios básicos de algún operador delta. Por lo tanto, este párrafo equivale a una receta para generar tantas secuencias polinomiales de tipo binomial como se desee.

Caracterización por polinomios de Bell

Para cualquier secuencia a ₁ , a ₂ , a ₃ ,… de escalares , sea

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}}$

donde B _{n , k} ( a ₁ , …, a _{n − k +1} ) es el polinomio de Bell . Entonces esta secuencia polinomial es de tipo binomial. Tenga en cuenta que para cada n ≥ 1,

${\displaystyle p_{n}'(0)=a_{n}.}$

Aquí está el resultado principal de esta sección:

Teorema: Todas las secuencias polinómicas de tipo binomial tienen esta forma.

Un resultado en Mullin y Rota, repetido en Rota, Kahaner y Odlyzko (ver Referencias a continuación) establece que toda secuencia polinómica {  p _n ( x ) } _n de tipo binomial está determinada por la secuencia {  p _n ′(0) } _n , pero esas fuentes no mencionan los polinomios de Bell.

Esta secuencia de escalares también está relacionada con el operador delta. Dejar

${\displaystyle P(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}t^{n}.}$

Entonces

${\displaystyle P^{-1}\left({d \over dx}\right),}$

donde , es el operador delta de esta secuencia. ${\displaystyle P^{-1}(P(x))=P(P^{-1}(x))=1}$

Caracterización por una identidad de convolución.

Para secuencias a _n , b _n , n = 0, 1, 2,…, defina una especie de convolución por

${\displaystyle (a{\mathbin {\diamondsuit }}b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}a_{j}b_{n-j}.}$

Sea el enésimo término de la secuencia. ${\displaystyle a_{n}^{k\diamondsuit }}$

${\displaystyle \underbrace {a\mathbin {\diamondsuit } \cdots \mathbin {\diamondsuit } a} _{k{\text{ factors}}}.}$

Entonces para cualquier secuencia a _i , i = 0, 1, 2, ..., con a ₀ = 0, la secuencia definida por p ₀ ( x ) = 1 y

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}{a_{n}^{k\diamondsuit }x^{k} \over k!}\,}$

para n ≥ 1, es de tipo binomial, y toda secuencia de tipo binomial es de esta forma.

Caracterización por funciones generadoras.

Las sucesiones polinómicas de tipo binomial son precisamente aquellas cuyas funciones generadoras son series de potencias formales (no necesariamente convergentes ) de la forma

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{xf(t)}}$

donde f ( t ) es una serie de potencias formal cuyo término constante es cero y cuyo término de primer grado no es cero. ^[2] Se puede demostrar mediante el uso de la versión en series de potencias de la fórmula de Faà di Bruno que

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{p_{n}\,'(0) \over n!}t^{n}.}$

El operador delta de la secuencia es la inversa composicional , de modo que ${\displaystyle f^{-1}(D)}$

${\displaystyle f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

Una forma de pensar en estas funciones generadoras.

Los coeficientes en el producto de dos series de potencias formales.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a_{n} \over n!}t^{n}}$

y

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{b_{n} \over n!}t^{n}}$

son

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a_{k}b_{n-k}}$

(ver también producto Cauchy ). Si pensamos en x como un parámetro que indexa una familia de tales series de potencias, entonces la identidad binomial dice en efecto que la serie de potencias indexada por x + y es el producto de aquellas indexadas por x y por y . Por lo tanto, x es el argumento de una función que asigna sumas a productos: una función exponencial

${\displaystyle g(t)^{x}=e^{xf(t)}}$

donde f ( t ) tiene la forma dada anteriormente.

Composición umbral de secuencias polinomiales.

El conjunto de todas las secuencias polinomiales de tipo binomial es un grupo en el que la operación de grupo es "composición umbral" de secuencias polinomiales. Esa operación se define de la siguiente manera. Supongamos que { p _n ( x ) : n = 0, 1, 2, 3, ... } y { q _n ( x ) : n = 0, 1, 2, 3, ... } son secuencias polinómicas, y

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}\,x^{k}.}$

Entonces la composición umbral p o q es la secuencia polinómica cuyo n ésimo término es

${\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}\,q_{k}(x)}$

(el subíndice n aparece en p _n , ya que este es el n término de esa secuencia, pero no en q , ya que se refiere a la secuencia como un todo y no a uno de sus términos).

Con el operador delta definido por una serie de potencias en D como anteriormente, la biyección natural entre operadores delta y secuencias polinomiales de tipo binomial, también definidas anteriormente, es un isomorfismo de grupo , en el que la operación de grupo en series de potencias es una composición formal de potencia formal. serie.

Acumulantes y momentos

La secuencia κ _n de coeficientes de los términos de primer grado en una secuencia polinómica de tipo binomial puede denominarse cumulantes de la secuencia polinómica. Se puede demostrar que toda la secuencia polinómica de tipo binomial está determinada por sus cumulantes, de una manera comentada en el artículo titulado cumulante . De este modo

${\displaystyle p_{n}'(0)=\kappa _{n}=}$el enésimo cumulante

y

${\displaystyle p_{n}(1)=\mu _{n}'=}$el enésimo momento.

Estos son cumulantes "formales" y momentos "formales" , a diferencia de los cumulantes de una distribución de probabilidad y los momentos de una distribución de probabilidad.

Dejar

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}}{n!}}t^{n}}$

sea ​​la función generadora de acumuladores (formal). Entonces

${\displaystyle f^{-1}(D)}$

es el operador delta asociado con la secuencia polinómica, es decir, tenemos

${\displaystyle f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

Aplicaciones

El concepto de tipo binomial tiene aplicaciones en combinatoria , probabilidad , estadística y una variedad de otros campos.

Ver también

• Lista de temas factoriales y binomiales
• Binomial-QMF (filtros wavelet de Daubechies)

Referencias

• G.-C. Rota , D. Kahaner y A. Odlyzko , "Finite Operador Calculus", Journal of Mathematical Analysis and its Applications , vol. 42, núm. 3, junio de 1973. Reimpreso en el libro del mismo título, Academic Press, Nueva York, 1975.
• R. Mullin y G.-C. Rota, "Sobre los fundamentos de la teoría combinatoria III: Teoría de la enumeración binomial", en Teoría de grafos y sus aplicaciones , editado por Bernard Harris, Academic Press, Nueva York, 1970.
• Romano, Stephen (2008). Álgebra lineal avanzada . Textos de Posgrado en Matemáticas (Tercera ed.). Saltador. ISBN 978-0-387-72828-5.

Como sugiere el título, el segundo de los anteriores trata explícitamente de aplicaciones a la enumeración combinatoria .

• di Bucchianico, Alessandro. Aspectos probabilísticos y analíticos del cálculo umbral , Amsterdam, CWI , 1997.
• Weisstein, Eric W. "Secuencia de tipo binomial". MundoMatemático .

1. Romano 2008, pag. 488-489, cap. 19.
2. Romano 2008, pag. 482-483, cap. 19.