Cálculo funcional de Borel

Rama del análisis funcional

En el análisis funcional , una rama de las matemáticas , el cálculo funcional de Borel es un cálculo funcional (es decir, una asignación de operadores de álgebras conmutativas a funciones definidas en sus espectros ), que tiene un alcance particularmente amplio. ^{[1] [2]} Así, por ejemplo, si T es un operador, al aplicar la función de elevación al cuadrado s → s ² a T se obtiene el operador T ² . Usando el cálculo funcional para clases más grandes de funciones, podemos, por ejemplo, definir rigurosamente la "raíz cuadrada" del operador laplaciano (negativo) −Δ o el exponencial ${\displaystyle e^{it\Delta }.}$

El "alcance" aquí significa el tipo de función de un operador que está permitida. El cálculo funcional de Borel es más general que el cálculo funcional continuo y su enfoque es diferente al del cálculo funcional holomorfo .

Más precisamente, el cálculo funcional de Borel permite aplicar una función de Borel arbitraria a un operador autoadjunto , de una manera que generaliza la aplicación de una función polinómica .

Motivación

Si T es un operador autoadjunto en un espacio producto interno de dimensión finita H , entonces H tiene una base ortonormal { e ₁ ,..., e _ℓ } que consta de vectores propios de T , es decir

$${\displaystyle Te_{k}=\lambda _{k}e_{k},\qquad 1\leq k\leq \ell .}$$

Por lo tanto, para cualquier número entero positivo n ,

$${\displaystyle T^{n}e_{k}=\lambda _{k}^{n}e_{k}.}$$

Si solo se consideran polinomios en T , entonces se obtiene el cálculo funcional holomorfo . La relación también es válida para funciones más generales de T . Dada una función de Borel h , se puede definir un operador h ( T ) especificando su comportamiento sobre la base:

$${\displaystyle h(T)e_{k}=h(\lambda _{k})e_{k}.}$$

Generalmente, cualquier operador autoadjunto T es unitariamente equivalente a un operador de multiplicación; esto significa que para muchos propósitos, T puede considerarse como un operador

$${\displaystyle [T\psi ](x)=f(x)\psi (x)}$$

L ²espacio de medidaTL ²

$${\displaystyle [h(T)\psi ](x)=[h\circ f](x)\psi (x).}$$

Para muchos fines técnicos, la formulación anterior es suficiente. Sin embargo, es deseable formular el cálculo funcional de una manera que no dependa de la representación particular de T como operador de multiplicación. Eso es lo que hacemos en la siguiente sección.

El cálculo funcional acotado.

Formalmente, el cálculo funcional de Borel acotado de un operador autoadjunto T en el espacio de Hilbert H es un mapeo definido en el espacio de funciones de Borel acotadas de valores complejos f en la línea real,

$${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{T}:L^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})\\f\mapsto f(T)\end{cases}}}$$

• π _T es un homomorfismo que preserva la involución y la unidad del anillo de funciones medibles acotadas de valores complejos en R .
• Si ξ es un elemento de H , entonces
  $${\displaystyle \nu _{\xi }:E\mapsto \langle \pi _{T}(\mathbf {1} _{E})\xi ,\xi \rangle }$$
  es una medida contablemente aditiva en los conjuntos de Borel E de R . En la fórmula anterior 1 _E denota la función indicadora de E . Estas medidas ν _ξ se denominan medidas espectrales de T .
• Si η denota el mapeo z → z en C , entonces:
  $${\displaystyle \pi _{T}\left([\eta +i]^{-1}\right)=[T+i]^{-1}.}$$

Teorema  :  cualquier operador autoadjunto T tiene un cálculo funcional de Borel único.

Esto define el cálculo funcional para funciones acotadas aplicadas a operadores autoadjuntos posiblemente ilimitados . Utilizando el cálculo funcional acotado, se puede demostrar parte del teorema de Stone en grupos unitarios de un parámetro :

Teorema  :  si A es un operador autoadjunto, entonces

$${\displaystyle U_{t}=e^{itA},\qquad t\in \mathbb {R} }$$

es un grupo unitario fuertemente continuo de 1 parámetro cuyo generador infinitesimal es iA .

Como aplicación, consideramos la ecuación de Schrödinger , o de manera equivalente, la dinámica de un sistema mecánico cuántico. En mecánica cuántica no relativista , el operador hamiltoniano H modela la energía total observable de un sistema de mecánica cuántica S. El grupo unitario generado por iH corresponde a la evolución temporal de S.

También podemos utilizar el cálculo funcional de Borel para resolver de forma abstracta algunos problemas de valores iniciales lineales , como la ecuación del calor o las ecuaciones de Maxwell.

Existencia de un cálculo funcional

La existencia de una aplicación con las propiedades de un cálculo funcional requiere prueba. Para el caso de un operador autoadjunto acotado T , la existencia de un cálculo funcional de Borel se puede demostrar de forma elemental de la siguiente manera:

Primer paso del cálculo funcional polinómico al continuo utilizando el teorema de Stone-Weierstrass . El hecho crucial aquí es que, para un operador autoadjunto acotado T y un polinomio p ,

$${\displaystyle \|p(T)\|=\sup _{\lambda \in \sigma (T)}|p(\lambda )|.}$$

En consecuencia, el mapeo

$${\displaystyle p\mapsto p(T)}$$

fTfTteorema de Riesz-Markovlas medidas espectrales

Alternativamente, el cálculo continuo se puede obtener mediante la transformada de Gelfand , en el contexto de las álgebras conmutativas de Banach. La extensión a funciones medibles se logra aplicando Riesz-Markov, como se indicó anteriormente. En esta formulación, T puede ser un operador normal .

Dado un operador T , el rango del cálculo funcional continuo h → h ( T ) es el (abeliano) C*-álgebra C ( T ) generada por T . El cálculo funcional de Borel tiene un rango mayor, es decir, el cierre de C ( T ) en la topología del operador débil , un álgebra de von Neumann (aún abeliana) .

El calculo funcional general.

También podemos definir el cálculo funcional para funciones de Borel h no necesariamente acotadas ; el resultado es un operador que en general no está acotado. Usando el modelo de multiplicación por una función f de un operador autoadjunto dado por el teorema espectral, esta es la multiplicación por la composición de h con f .

Teorema  :  Sea T un operador autoadjunto en H , h una función de Borel de valor real en R. Existe un operador único S tal que

$${\displaystyle \operatorname {dom} S=\left\{\xi \in H:h\in L_{\nu _{\xi }}^{2}(\mathbb {R} )\right\}}$$

$${\displaystyle \langle S\xi ,\xi \rangle =\int _{\mathbb {R} }h(t)\ d\nu _{\xi }(t),\quad {\text{for}}\quad \xi \in \operatorname {dom} S}$$

El operador S del teorema anterior se denota h ( T ).

De manera más general, también existe un cálculo funcional de Borel para operadores normales (limitados).

Resolución de la identidad

Sea un operador autoadjunto. Si es un subconjunto de Borel de R y es la función indicadora de E , entonces es una proyección autoadjunta en H. Luego mapeando ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{E}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{E}(T)}$

$${\displaystyle \Omega _{T}:E\mapsto \mathbf {1} _{E}(T)}$$

medida valorada en proyecciónRH ${\textstyle \Omega _{T}}$

${\displaystyle I=\Omega _{T}([-\infty ,\infty ])=\int _{-\infty }^{\infty }d\Omega _{T}}$.

La fórmula de Stone ^[3] expresa la medida espectral en términos del resolutivo : ${\displaystyle \Omega _{T}}$ ${\displaystyle R_{T}(\lambda )\equiv \left(T-\lambda I\right)^{-1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{a}^{b}\left[R_{T}(\lambda +i\epsilon ))-R_{T}(\lambda -i\epsilon )\right]\,d\lambda =\Omega _{T}((a,b))+{\frac {1}{2}}\left[\Omega _{T}(\{a\})+\Omega _{T}(\{b\})\right].}$

Dependiendo de la fuente, la resolución de la identidad se define, ya sea como una medida valorada en proyección , ^[4] o como una familia de un parámetro de medidas valoradas en proyección con . ^[5] ${\displaystyle \Omega _{T}}$ ${\displaystyle \{\Sigma _{\lambda }\}}$ ${\displaystyle -\infty <\lambda <\infty }$

En el caso de una medida discreta (en particular, cuando H es de dimensión finita), se puede escribir como ${\textstyle I=\int 1\,d\Omega _{T}}$

$${\displaystyle I=\sum _{i}\left|i\right\rangle \left\langle i\right|}$$

T.H ${\displaystyle |i\rangle }$ ${\displaystyle \{|i\rangle \}}$

En la literatura de física, utilizando lo anterior como heurística, se pasa al caso en el que la medida espectral ya no es discreta y se escribe la resolución de la identidad como

$${\displaystyle I=\int \!\!di~|i\rangle \langle i|}$$

${\displaystyle \{|i\rangle \}}$

Referencias

1. Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1997). Fundamentos de la Teoría de Álgebras de Operadores: Vol 1 . Sociedad Matemática Amer. ISBN 0-8218-0819-2.
2. Caña, Michael; Simón, Barry (1981). Métodos de la Física Matemática Moderna . Prensa académica. ISBN 0-12-585050-6.
3. Takhtajan, León A. (2020). "Estudios del resolutivo". Encuestas matemáticas rusas . 75 (1): 147–186. arXiv : 2004.11950 . doi :10.1070/RM9917.
4. Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Boston, Mass.: McGraw-Hill Ciencias, Ingeniería y Matemáticas. págs. 316–317. ISBN 978-0-07-054236-5.
5. Akhiezer, Naum Ilich (1981). Teoría de Operadores Lineales en el Espacio de Hilbert . Boston: Pitman. pag. 213.ISBN​ 0-273-08496-8.