Teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani

En matemáticas, el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani relaciona funcionales lineales en espacios de funciones continuas en un espacio localmente compacto con medidas en la teoría de la medida. El teorema lleva el nombre de Frigyes Riesz (1909), quien lo introdujo para funciones continuas en el intervalo unitario , Andrey Markov (1938), quien extendió el resultado a algunos espacios no compactos, y Shizuo Kakutani (1941), quien extendió el resultado al compacto Hausdorff. espacios .

Hay muchas variaciones del teorema estrechamente relacionadas, ya que las funcionales lineales pueden ser complejas, reales o positivas , el espacio en el que se definen puede ser el intervalo unitario o un espacio compacto o un espacio localmente compacto , las funciones continuas pueden estar desapareciendo. en el infinito o tienen soporte compacto , y las medidas pueden ser medidas de Baire o medidas de Borel regulares o medidas de Radón o medidas firmadas o medidas complejas .

El teorema de representación de funcionales lineales positivos enCc(X)

El enunciado del teorema para funcionales lineales positivos en $C c (X)$ , el espacio de funciones continuas de valores complejos soportados de forma compacta , es el siguiente:

Teorema Sea $X$ un espacio de Hausdorff localmente compacto y un funcional lineal positivo en $C$ $c$ $($ $X$ $)$ . Entonces existe una medida Borel positiva única en $X$ tal que ^[1] $\psi$ $\mu$

\psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x),\quad \forall f\in C_{c}(X),

que tiene las siguientes propiedades adicionales para algunos que contienen el álgebra σ de Borel en $X$ : $\Sigma$

$\mu (K)<\infty$ para cada compacto , $K\subconjunto X$
Regularidad exterior :válida para todos los conjuntos de Borel ; $\mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U{\mbox{ open}}\}$ $E\en \Sigma$
Regularidad interior :se mantiene cuandoestá abierto o cuandoestá Borel y; $\mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,K{\mbox{ compacto}}\}$ $E$ $E$ $\mu (E)<\infty$
$(X,\Sigma,\mu)$ es un espacio de medida completo

Como tal, si todos los conjuntos abiertos en $X$ son σ-compactos, entonces es una medida de radón . ^[2] $\mu$

Un enfoque para medir la teoría es comenzar con una medida de radón , definida como un funcional lineal positivo en $C c (X)$ . Éste es el camino adoptado por Bourbaki ; Por supuesto, supone que $X$ comienza su vida como un espacio topológico , en lugar de simplemente como un conjunto. Para espacios localmente compactos se recupera entonces una teoría de integración.

Sin la condición de regularidad, la medida de Borel no tiene por qué ser única. Por ejemplo, sea $X$ el conjunto de ordinales como máximo igual al primer ordinal incontable $Ω$ , con la topología generada por " intervalos abiertos ". El funcional lineal que toma una función continua hasta su valor en $Ω$ corresponde a la medida de Borel regular con una masa puntual en $Ω$ . Sin embargo, también corresponde a la medida de Borel (no regular) que asigna la medida $1$ a cualquier conjunto de Borel si hay un conjunto cerrado e ilimitado con y asigna la medida $0$ a otros conjuntos de Borel. (En particular, el singleton obtiene la medida $0$ , al contrario de la medida de masa puntual). $B\subseteq [0,\Omega]$ $C\subseteq [0,\Omega [$ $C\subseteq B$ $\{\Omega \}$

El teorema de representación para el dual continuo deC0(X)

La siguiente representación, también conocida como teorema de Riesz-Markov , da una realización concreta del espacio dual topológico de $C 0 (X)$ , el conjunto de funciones continuas en $X$ que desaparecen en el infinito .

Teorema Sea $X$ un espacio de Hausdorff localmente compacto. Para cualquier funcional lineal continuo en $C$ $0$ $($ $X$ $)$ , existe una medida de Borel regular de valor complejo única en $X$ tal que $\psi$ $\mu$

\psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x),\quad \forall f\in C_{0}(X).

Una medida de Borel de valor complejo se denomina regular si la medida positiva satisface las condiciones de regularidad definidas anteriormente. La norma de como funcional lineal es la variación total de , es decir $\mu$ $|\mu |$ $\psi$ $\mu$

\|\psi \|=|\mu |(X).

Finalmente, es positivo si y sólo si la medida es positiva. $\psi$ $\mu$

Se puede deducir esta afirmación sobre los funcionales lineales a partir de la afirmación sobre los funcionales lineales positivos mostrando primero que un funcional lineal acotado se puede escribir como una combinación lineal finita de positivos.

Observación histórica

En su forma original de Frigyes Riesz (1909), el teorema establece que cada funcional lineal continua $A$ en el espacio $C ([0, 1])$ de funciones continuas $f$ en el intervalo $[0, 1]$ se puede representar como

A[f(x)]=\int _ {0}^{1}f(x)\,d\alpha (x),

donde $α (x)$ es una función de variación acotada en el intervalo $[0, 1]$ , y la integral es una integral de Riemann-Stieltjes . Dado que existe una correspondencia uno a uno entre las medidas regulares de Borel en el intervalo y funciones de variación acotada (que asigna a cada función de variación acotada la correspondiente medida de Lebesgue-Stieltjes, y la integral con respecto a la medida de Lebesgue-Stieltjes concuerda con la integral de Riemann-Stieltjes para funciones continuas), el teorema mencionado anteriormente generaliza la afirmación original de F. Riesz. ^[3]

Notas

^ Rudin 1987, pag. 40.
^ Rudin 1987, pag. 48.
^ Gris 1984.

Referencias