Medida regular de borel

Tipo de medida en espacios euclidianos

En matemáticas , una medida exterior μ en un espacio euclidiano n - dimensional R ⁿ se denomina medida regular de Borel si se cumplen las dos condiciones siguientes:

• Todo conjunto de Borel B  ⊆  R ⁿ es μ -medible en el sentido del criterio de Carathéodory : para cada A  ⊆  R ⁿ ,

${\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cap B)+\mu (A\setminus B).}$

• Para cada conjunto A  ⊆  R ⁿ existe un conjunto de Borel B  ⊆  R ⁿ tal que A  ⊆  B y μ ( A ) =  μ ( B ).

Obsérvese que el conjunto A no necesita ser μ -medible: μ ( A ) está bien definido, ya que μ es una medida externa. Una medida externa que satisface solo el primero de estos dos requisitos se denomina medida de Borel , mientras que una medida externa que satisface solo el segundo requisito (con el conjunto de Borel B reemplazado por un conjunto medible B) se denomina medida regular .

La medida exterior de Lebesgue en R ⁿ es un ejemplo de una medida regular de Borel.

Se puede demostrar que una medida regular de Borel, aunque introducida aquí como una medida externa (sólo contablemente subaditiva ), se convierte en una medida completa ( contablemente aditiva ) si se restringe a los conjuntos de Borel .

Referencias

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Teoría de la medida y propiedades finas de funciones . CRC Press. ISBN 0-8493-7157-0.
• Taylor, Angus E. (1985). Teoría general de funciones e integración . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-64988-1.
• Fonseca, Irene ; Gangbo, Wilfrid (1995). Teoría de grados en análisis y aplicaciones . Oxford University Press. ISBN 0-19-851196-5.