Función de cilindro parabólico

Superficies de coordenadas de coordenadas cilíndricas parabólicas. Las funciones del cilindro parabólico ocurren cuando se usa la separación de variables en la ecuación de Laplace en estas coordenadas

Gráfica de la función del cilindro parabólico D v(z) con v=5 en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

En matemáticas , las funciones del cilindro parabólico son funciones especiales definidas como soluciones de la ecuación diferencial.

Esta ecuación se encuentra cuando se utiliza la técnica de separación de variables sobre la ecuación de Laplace cuando se expresa en coordenadas cilíndricas parabólicas .

La ecuación anterior se puede llevar a dos formas distintas (A) y (B) completando el cuadrado y reescalando z , llamadas ecuaciones de HF Weber : ^[1]

y

Si

$${\displaystyle f(a,z)}$$

$${\displaystyle f(a,-z),f(-a,iz){\text{ and }}f(-a,-iz).}$$

Si

$${\displaystyle f(a,z)\,}$$

A

$${\displaystyle f(-ia,ze^{(1/4)\pi i})}$$

B

$${\displaystyle f(-ia,-ze^{(1/4)\pi i}),f(ia,-ze^{-(1/4)\pi i}){\text{ and }}f(ia,ze^{-(1/4)\pi i})}$$

B

Soluciones

Hay soluciones independientes pares e impares de la forma ( A ). Estos vienen dados por (siguiendo la notación de Abramowitz y Stegun (1965)): ^[2]

$${\displaystyle y_{1}(a;z)=\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {1}{4}};\;{\tfrac {1}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {even} )}$$

$${\displaystyle y_{2}(a;z)=z\exp(-z^{2}/4)\;_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a+{\tfrac {3}{4}};\;{\tfrac {3}{2}}\;;\;{\frac {z^{2}}{2}}\right)\,\,\,\,\,\,(\mathrm {odd} )}$$

función hipergeométrica confluente ${\displaystyle \;_{1}F_{1}(a;b;z)=M(a;b;z)}$

Se pueden formar otros pares de soluciones independientes a partir de combinaciones lineales de las soluciones anteriores. ^[2] Uno de esos pares se basa en su comportamiento en el infinito:

$${\displaystyle U(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}}}\left[\cos(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)-{\sqrt {2}}\sin(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\right]}$$

$${\displaystyle V(a,z)={\frac {1}{2^{\xi }{\sqrt {\pi }}\Gamma [1/2-a]}}\left[\sin(\xi \pi )\Gamma (1/2-\xi )\,y_{1}(a,z)+{\sqrt {2}}\cos(\xi \pi )\Gamma (1-\xi )\,y_{2}(a,z)\right]}$$

$${\displaystyle \xi ={\frac {1}{2}}a+{\frac {1}{4}}.}$$

La función U ( a , z ) tiende a cero para valores grandes de z   y |arg( z )| < π /2 , mientras que V ( a , z ) diverge para valores grandes de z real positivo  .

$${\displaystyle \lim _{z\to \infty }U(a,z)/\left(e^{-z^{2}/4}z^{-a-1/2}\right)=1\,\,\,\,({\text{for}}\,\left|\arg(z)\right|<\pi /2)}$$

$${\displaystyle \lim _{z\to \infty }V(a,z)/\left({\sqrt {\frac {2}{\pi }}}e^{z^{2}/4}z^{a-1/2}\right)=1\,\,\,\,({\text{for}}\,\arg(z)=0).}$$

Para valores semienteros de a , estos (es decir, U y V ) pueden reexpresarse en términos de polinomios de Hermite ; alternativamente, también se pueden expresar en términos de funciones de Bessel .

Las funciones U y V también se pueden relacionar con las funciones D _p ( x ) (una notación que se remonta a Whittaker (1902)) ^[3] que a veces se denominan funciones de cilindro parabólico: ^[2]

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(a,x)&=D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(x),\\V(a,x)&={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+a)}{\pi }}[\sin(\pi a)D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(x)+D_{-a-{\tfrac {1}{2}}}(-x)].\end{aligned}}}$$

_La función Da ( z ) fue introducida por Whittaker y Watson como una solución de la ecuación ~ ( 1 ) con acotado en . ^[4] Puede expresarse en términos de funciones hipergeométricas confluentes como ${\textstyle {\tilde {a}}=-{\frac {1}{4}},{\tilde {b}}=0,{\tilde {c}}=a+{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle +\infty }$

${\displaystyle D_{a}(z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{2^{a/2}e^{-{\frac {z^{2}}{4}}}\left(\cos \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {a+1}{2}}\right)\,_{1}F_{1}\left(-{\frac {a}{2}};{\frac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{2}}\right)+{\sqrt {2}}z\sin \left({\frac {\pi a}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {a}{2}}+1\right)\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2}};{\frac {3}{2}};{\frac {z^{2}}{2}}\right)\right)}.}$

Abadir (1993) obtuvo las series de potencias para esta función. ^[5]

Referencias

1. Weber, HF (1869), "Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung ", Matemáticas. Ana. , vol. 1, págs. 1–36 ${\displaystyle \partial ^{2}u/\partial x^{2}+\partial ^{2}u/\partial y^{2}+k^{2}u=0}$
2. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 19". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 686.ISBN​  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253.
3. Whittaker, ET (1902) "Sobre las funciones asociadas al cilindro parabólico en el análisis armónico" Proc. Matemáticas de Londres. Soc. , 35, 417–427.
4. Whittaker, ET y Watson, GN (1990) "La función del cilindro parabólico". §16.5 en Un curso de análisis moderno, 4ª ed. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press, págs. 347-348.
5. Abadir, KM (1993) "Expansiones para algunas funciones hipergeométricas confluentes". Revista de Física A , 26, 4059-4066.