Coordenadas cilíndricas parabólicas

Superficies de coordenadas de coordenadas cilíndricas parabólicas. El cilindro parabólico rojo corresponde a σ=2, mientras que el cilindro parabólico amarillo corresponde a τ=1. El plano azul corresponde a z =2. Estas superficies se cruzan en el punto P (que se muestra como una esfera negra), que tiene coordenadas cartesianas aproximadamente (2, -1,5, 2).

En matemáticas , las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales que resulta de proyectar el sistema de coordenadas parabólicas bidimensionales en la dirección perpendicular. Por tanto, las superficies de coordenadas son cilindros parabólicos confocales . Las coordenadas cilíndricas parabólicas han encontrado muchas aplicaciones, por ejemplo, la teoría potencial de las aristas. ${\displaystyle z}$

Definición básica

Sistema de coordenadas parabólicas que muestra curvas de constantes σ y τ, los ejes horizontal y vertical son las coordenadas xey respectivamente. Estas coordenadas se proyectan a lo largo del eje z, por lo que este diagrama será válido para cualquier valor de la coordenada z.

Las coordenadas cilíndricas parabólicas ( σ , τ , z ) se definen en términos de las coordenadas cartesianas ( x , y , z ) por:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sigma \tau \\y&={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}}$

Las superficies de σ constante forman cilindros parabólicos confocales.

${\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

que se abren hacia + y , mientras que las superficies de τ constante forman cilindros parabólicos confocales

${\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

que se abren en dirección opuesta, es decir, hacia − y . Los focos de todos estos cilindros parabólicos se encuentran a lo largo de la línea definida por x = y = 0 . El radio r también tiene una fórmula simple

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}$

eso resulta útil para resolver la ecuación de Hamilton-Jacobi en coordenadas parabólicas para el problema de fuerza central del cuadrado inverso de la mecánica ; para obtener más detalles, consulte el artículo sobre vectores de Laplace-Runge-Lenz .

Factores de escala

Los factores de escala para las coordenadas cilíndricas parabólicas σ y τ son:

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\sigma }&=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\\h_{z}&=1\end{aligned}}}$

Elementos diferenciales

El elemento infinitesimal del volumen es

${\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{z}d\sigma d\tau dz=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})d\sigma \,d\tau \,dz}$

El desplazamiento diferencial viene dado por:

${\displaystyle d\mathbf {l} ={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\sigma \,{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+dz\,\mathbf {\hat {z}} }$

El área normal diferencial viene dada por:

${\displaystyle d\mathbf {S} ={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,dz{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\sigma \,dz{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \mathbf {\hat {z}} }$

Del

Sea f un campo escalar. El gradiente está dado por

${\displaystyle \nabla f={\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\partial f \over \partial \sigma }{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\partial f \over \partial \tau }{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {\hat {z}} }$

El laplaciano viene dado por

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$

Sea A un campo vectorial de la forma:

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{\sigma }{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+A_{\tau }{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}} }$

La divergencia está dada por

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\partial ({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\sigma }) \over \partial \sigma }+{\partial ({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\tau }) \over \partial \tau }\right)+{\partial A_{z} \over \partial z}}$

El rizo viene dado por

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\left({\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \tau }}-{\frac {\partial A_{\tau }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\sigma }}}-\left({\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial A_{\sigma }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\tau }}}+{\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial \left({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\tau }\right)}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial \left({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\sigma }\right)}{\partial \tau }}\right)\mathbf {\hat {z}} }$

Otros operadores diferenciales se pueden expresar en las coordenadas ( σ , τ ) sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales .

Relación con otros sistemas de coordenadas

Relación con coordenadas cilíndricas ( ρ , φ , z ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \cos \varphi &=\sigma \tau \\\rho \sin \varphi &={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}}$

Vectores unitarios parabólicos expresados ​​en términos de vectores unitarios cartesianos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}&={\frac {\tau {\hat {\mathbf {x} }}-\sigma {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\{\boldsymbol {\hat {\tau }}}&={\frac {\sigma {\hat {\mathbf {x} }}+\tau {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\\mathbf {\hat {z}} &=\mathbf {\hat {z}} \end{aligned}}}$

Armónicos del cilindro parabólico

Dado que todas las superficies de constantes σ , τ yz son conicoides , la ecuación de Laplace es separable en coordenadas cilíndricas parabólicas. Utilizando la técnica de la separación de variables , se puede escribir una solución separada de la ecuación de Laplace:

${\displaystyle V=S(\sigma )T(\tau )Z(z)}$

y la ecuación de Laplace, dividida por V , se escribe:

${\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0}$

Como la ecuación Z está separada del resto, podemos escribir

${\displaystyle {\frac {\ddot {Z}}{Z}}=-m^{2}}$

donde m es constante. Z ( z ) tiene la solución:

${\displaystyle Z_{m}(z)=A_{1}\,e^{imz}+A_{2}\,e^{-imz}}$

Sustituyendo − m ² por , la ecuación de Laplace ahora se puede escribir: ${\displaystyle {\ddot {Z}}/Z}$

${\displaystyle \left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]=m^{2}(\sigma ^{2}+\tau ^{2})}$

Ahora podemos separar las funciones S y T e introducir otra constante n ² para obtener:

${\displaystyle {\ddot {S}}-(m^{2}\sigma ^{2}+n^{2})S=0}$

${\displaystyle {\ddot {T}}-(m^{2}\tau ^{2}-n^{2})T=0}$

Las soluciones de estas ecuaciones son las funciones del cilindro parabólico.

${\displaystyle S_{mn}(\sigma )=A_{3}y_{1}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})+A_{4}y_{2}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})}$

${\displaystyle T_{mn}(\tau )=A_{5}y_{1}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})+A_{6}y_{2}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})}$

Los armónicos del cilindro parabólico para ( m , n ) son ahora el producto de las soluciones. La combinación reducirá el número de constantes y la solución general de la ecuación de Laplace se puede escribir:

${\displaystyle V(\sigma ,\tau ,z)=\sum _{m,n}A_{mn}S_{mn}T_{mn}Z_{m}}$

Aplicaciones

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas cilíndricas parabólicas son la resolución de ecuaciones diferenciales parciales , por ejemplo, la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz , para las cuales dichas coordenadas permiten una separación de variables . Un ejemplo típico sería el campo eléctrico que rodea una placa conductora plana semiinfinita.

Ver también

• Coordenadas parabólicas
• Sistema de coordenadas ortogonales
• Coordenadas curvilíneas

Bibliografía

• Morse PM , Feshbach H (1953). Métodos de Física Teórica, Parte I. Nueva York: McGraw-Hill. pag. 658.ISBN​ 0-07-043316-X. LCCN  52011515.
• Margenau H , Murphy GM (1956). Las Matemáticas de la Física y la Química . Nueva York: D. van Nostrand. págs. 186-187. LCCN  55010911.
• Korn GA, Korn TM (1961). Manual de matemáticas para científicos e ingenieros . Nueva York: McGraw-Hill. pag. 181. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nueva York: Springer Verlag. pag. 96.LCCN 67025285  .
• Zwillinger D (1992). Manual de Integración . Boston, MA: Jones y Bartlett. pag. 114.ISBN​ 0-86720-293-9. Igual que Morse y Feshbach (1953), sustituyendo u _k por ξ _k .
• Luna P, Spencer DE (1988). "Coordenadas del cilindro parabólico (μ, ν, z)". Manual de teoría de campos, incluidos sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (segunda edición corregida, tercera edición impresa). Nueva York: Springer-Verlag. Págs. 21-24 (Tabla 1.04). ISBN 978-0-387-18430-2.

enlaces externos

• Descripción de MathWorld de coordenadas cilíndricas parabólicas