Coordenadas parabólicas

En verde, parábolas confocales que se abren hacia arriba, En rojo, parábolas confocales que se abren hacia abajo, ${\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$ ${\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

Las coordenadas parabólicas son un sistema de coordenadas ortogonales bidimensionales en el que las líneas de coordenadas son parábolas confocales . Se obtiene una versión tridimensional de las coordenadas parabólicas girando el sistema bidimensional alrededor del eje de simetría de las parábolas.

Las coordenadas parabólicas han encontrado muchas aplicaciones, por ejemplo, el tratamiento del efecto Stark y la teoría potencial de las aristas.

Coordenadas parabólicas bidimensionales

Las coordenadas parabólicas bidimensionales están definidas por las ecuaciones, en términos de coordenadas cartesianas: ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

${\displaystyle x=\sigma \tau }$

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}$

Las curvas de parábolas confocales de forma constante. ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

que se abren hacia arriba (es decir, hacia ), mientras que las curvas de constante forman parábolas confocales ${\displaystyle +y}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

que se abren hacia abajo (es decir, hacia ). Los focos de todas estas parábolas se encuentran en el origen. ${\displaystyle -y}$

Las coordenadas cartesianas se pueden convertir a coordenadas parabólicas mediante: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \sigma =\operatorname {sign} (x){\sqrt {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-y}}}$

${\displaystyle \tau ={\sqrt {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+y}}}$

Factores de escala bidimensionales

Los factores de escala para las coordenadas parabólicas son iguales. ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$

Por tanto, el elemento infinitesimal del área es

${\displaystyle dA=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau }$

y el laplaciano es igual

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)}$

Otros operadores diferenciales como y se pueden expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

Coordenadas parabólicas tridimensionales.

Superficies de coordenadas de las coordenadas parabólicas tridimensionales. El paraboloide rojo corresponde a τ=2, el paraboloide azul corresponde a σ=1 y el semiplano amarillo corresponde a φ=-60°. Las tres superficies se cruzan en el punto P (que se muestra como una esfera negra) con coordenadas cartesianas aproximadamente (1,0, -1,732, 1,5).

Las coordenadas parabólicas bidimensionales forman la base de dos conjuntos de coordenadas ortogonales tridimensionales . Las coordenadas cilíndricas parabólicas se obtienen proyectando en la dirección -. La rotación alrededor del eje de simetría de las parábolas produce un conjunto de paraboloides confocales, el sistema de coordenadas de coordenadas parabólicas tridimensionales. Expresado en términos de coordenadas cartesianas: ${\displaystyle z}$

${\displaystyle x=\sigma \tau \cos \varphi }$

${\displaystyle y=\sigma \tau \sin \varphi }$

${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}$

donde las parábolas ahora están alineadas con el eje alrededor del cual se realizó la rotación. Por tanto, el ángulo azimutal está definido ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {y}{x}}}$

Las superficies de paraboloides confocales de forma constante. ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle 2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

que se abren hacia arriba (es decir, hacia ) mientras que las superficies de paraboloides confocales de forma constante ${\displaystyle +z}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle 2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

que se abren hacia abajo (es decir, hacia ). Los focos de todos estos paraboloides se encuentran en el origen. ${\displaystyle -z}$

El tensor métrico de Riemann asociado con este sistema de coordenadas es

${\displaystyle g_{ij}={\begin{bmatrix}\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0&0\\0&\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0\\0&0&\sigma ^{2}\tau ^{2}\end{bmatrix}}}$

Factores de escala tridimensionales

Los factores de escala tridimensionales son:

${\displaystyle h_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$

${\displaystyle h_{\varphi }=\sigma \tau }$

Se ve que los factores de escala y son los mismos que en el caso bidimensional. El elemento de volumen infinitesimal es entonces ${\displaystyle h_{\sigma }}$ ${\displaystyle h_{\tau }}$

${\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi =\sigma \tau \left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi }$

y el laplaciano está dado por

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}}$

Otros operadores diferenciales como y se pueden expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$

Ver también

• Coordenadas cilíndricas parabólicas
• Sistema de coordenadas ortogonales
• Coordenadas curvilíneas

Bibliografía

• Morse PM , Feshbach H (1953). Métodos de Física Teórica, Parte I. Nueva York: McGraw-Hill. pag. 660.ISBN​ 0-07-043316-X. LCCN  52011515.
• Margenau H , Murphy GM (1956). Las Matemáticas de la Física y la Química . Nueva York: D. van Nostrand. págs. 185-186. LCCN  55010911.
• Korn GA, Korn TM (1961). Manual de matemáticas para científicos e ingenieros . Nueva York: McGraw-Hill. pag. 180. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nueva York: Springer Verlag. pag. 96.LCCN 67025285  .
• Zwillinger D (1992). Manual de Integración . Boston, MA: Jones y Bartlett. pag. 114.ISBN​ 0-86720-293-9. Igual que Morse y Feshbach (1953), sustituyendo u _k por ξ _k .
• Luna P, Spencer DE (1988). "Coordenadas parabólicas (μ, ν, ψ)". Manual de teoría de campos, incluidos sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (segunda edición corregida, tercera edición impresa). Nueva York: Springer-Verlag. Págs. 34-36 (Tabla 1.08). ISBN 978-0-387-18430-2.

enlaces externos

• "Coordenadas parabólicas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Descripción de MathWorld de coordenadas parabólicas