Transformada fraccionaria de Fourier

Transformada de Fourier de enésima potencia

En matemáticas , en el área del análisis armónico , la transformada fraccionaria de Fourier ( FRFT ) es una familia de transformaciones lineales que generalizan la transformada de Fourier . Se puede considerar como la transformada de Fourier a la enésima potencia, donde n no necesita ser un número entero ; por lo tanto, puede transformar una función a cualquier dominio intermedio entre el tiempo y la frecuencia . Sus aplicaciones van desde el diseño de filtros y el análisis de señales hasta la recuperación de fases y el reconocimiento de patrones .

La FRFT se puede utilizar para definir convolución fraccionaria , correlación y otras operaciones, y también se puede generalizar aún más en la transformación canónica lineal (LCT). Condon ^[1] introdujo una definición temprana de FRFT resolviendo la función de Green para las rotaciones del espacio de fases, y también Namias, ^[2] generalizando el trabajo de Wiener ^[3] sobre polinomios de Hermite .

Sin embargo, no fue ampliamente reconocido en el procesamiento de señales hasta que varios grupos lo reintrodujeron de forma independiente alrededor de 1993. ^[4] Desde entonces, ha habido un gran interés en ampliar el teorema de muestreo de Shannon ^{[5] [6]} para señales con banda limitada en el dominio fraccional de Fourier.

^{Bailey y Swartztrauber [7]} introdujeron un significado completamente diferente para "transformada fraccional de Fourier" como esencialmente otro nombre para una transformada z , y en particular para el caso que corresponde a una transformada de Fourier discreta desplazada una cantidad fraccionaria en el espacio de frecuencia. (multiplicando la entrada por un chirrido lineal ) y evaluando en un conjunto fraccionario de puntos de frecuencia (por ejemplo, considerando sólo una pequeña porción del espectro). (Dichas transformaciones pueden evaluarse eficientemente mediante el algoritmo FFT de Bluestein ). Sin embargo, esta terminología ha caído en desuso en la mayor parte de la literatura técnica, con preferencia a la FRFT. El resto de este artículo describe la FRFT.

Introducción

La transformada continua de Fourier de una función es un operador unitario del espacio que asigna la función a su versión frecuencial (todas las expresiones se toman en el sentido, en lugar de puntualmente): ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {C} }$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} x}$$

y está determinado por la transformada inversa ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\,,}$

$${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi i\xi x}\,\mathrm {d} \xi \,.}$$

Estudiemos su n -ésima iterada definida por y cuando n es un entero no negativo, y . Su secuencia es finita ya que es un automorfismo de 4 periodos : para cada función ,. ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{n}[f]={\mathcal {F}}[{\mathcal {F}}^{n-1}[f]]}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-n}=({\mathcal {F}}^{-1})^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{0}[f]=f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}[f]=f}$

Más precisamente, introduzcamos el operador de paridad que invierte ,. Entonces se cumplen las siguientes propiedades: ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}[f]\colon x\mapsto f(-x)}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{0}=\mathrm {Id} ,\qquad {\mathcal {F}}^{1}={\mathcal {F}},\qquad {\mathcal {F}}^{2}={\mathcal {P}},\qquad {\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {Id} }$$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{3}={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}}.}$$

La FRFT proporciona una familia de transformaciones lineales que amplía aún más esta definición para manejar potencias no enteras de la FT. ${\displaystyle n=2\alpha /\pi }$

Definición

Nota: algunos autores escriben la transformación en términos del "orden a " en lugar del "ángulo α ", en cuyo caso α suele ser a multiplicado por π /2 . Aunque estas dos formas son equivalentes, hay que tener cuidado con la definición que utiliza el autor.

Para cualquier α real , la transformada fraccionaria de Fourier del ángulo α de una función ƒ se denota y se define por ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(u)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }[f](u)={\sqrt {1-i\cot(\alpha )}}e^{i\pi \cot(\alpha )u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi i\left(\csc(\alpha )ux-{\frac {\cot(\alpha )}{2}}x^{2}\right)}f(x)\,\mathrm {d} x}$

Formalmente, esta fórmula sólo es válida cuando la función de entrada está en un espacio suficientemente agradable (como L1 o el espacio de Schwartz ), y se define mediante un argumento de densidad, de forma similar a la de la transformada de Fourier ordinaria (ver artículo), en el caso general. ^[8]

Si α es un múltiplo entero de π, entonces las funciones cotangente y cosecante anteriores divergen. Sin embargo, esto se puede manejar tomando el límite y conduce a una función delta de Dirac en el integrando. Más directamente, desde debe ser simplemente f ( t ) o f (− t ) para α un múltiplo par o impar de π respectivamente. ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}(f)=f(-t)~,~~{\mathcal {F}}_{\alpha }~(f)}$

Para α = π /2 , esta se convierte precisamente en la definición de la transformada continua de Fourier, y para α = − π /2 es la definición de la transformada continua inversa de Fourier.

El argumento FRFT u no es espacial x ni de frecuencia ξ . Veremos por qué se puede interpretar como combinación lineal de ambas coordenadas ( x , ξ ) . Cuando queramos distinguir el dominio fraccionario angular α , denotaremos el argumento de . ${\displaystyle x_{a}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }}$

Observación: con la convención de frecuencia angular ω en lugar de la de frecuencia, la fórmula FRFT es el núcleo de Mehler ,

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(f)(\omega )={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}e^{i\cot(\alpha )\omega ^{2}/2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\csc(\alpha )\omega t+i\cot(\alpha )t^{2}/2}f(t)\,dt~.}$$

Propiedades

El operador de transformada fraccionaria de Fourier de orden α , tiene las propiedades: ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }}$

Aditividad

Para cualquier ángulo real α, β ,

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha +\beta }={\mathcal {F}}_{\alpha }\circ {\mathcal {F}}_{\beta }={\mathcal {F}}_{\beta }\circ {\mathcal {F}}_{\alpha }.}$$

Linealidad

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }\left[\sum \nolimits _{k}b_{k}f_{k}(u)\right]=\sum \nolimits _{k}b_{k}{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[f_{k}(u)\right]}$$

Órdenes enteras

Si α es un múltiplo entero de , entonces: ${\displaystyle \pi /2}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }={\mathcal {F}}_{k\pi /2}={\mathcal {F}}^{k}=({\mathcal {F}})^{k}}$$

Además, tiene la siguiente relación

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}}&&{\mathcal {P}}[f(u)]=f(-u)\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}=({\mathcal {F}})^{-1}\\{\mathcal {F}}^{4}&={\mathcal {F}}^{0}={\mathcal {I}}\\{\mathcal {F}}^{i}&={\mathcal {F}}^{j}&&i\equiv j\mod 4\end{aligned}}}$$

Inverso

$${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{\alpha })^{-1}={\mathcal {F}}_{-\alpha }}$$

Conmutatividad

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}}$$

asociatividad

$${\displaystyle \left({\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}\right){\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}\left({\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}\right)}$$

Unitaridad

$${\displaystyle \int f(u)g^{*}(u)du=\int f_{\alpha }(u)g_{\alpha }^{*}(u)du}$$

Inversión del tiempo

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }{\mathcal {P}}={\mathcal {P}}{\mathcal {F}}_{\alpha }}$$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }[f(-u)]=f_{\alpha }(-u)}$$

Transformada de una función desplazada

Defina los operadores de cambio y de cambio de fase de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {SH}}(u_{0})[f(u)]&=f(u+u_{0})\\{\mathcal {PH}}(v_{0})[f(u)]&=e^{j2\pi v_{0}u}f(u)\end{aligned}}}$$

Entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{\alpha }{\mathcal {SH}}(u_{0})&=e^{j\pi u_{0}^{2}\sin \alpha \cos \alpha }{\mathcal {PH}}(u_{0}\sin \alpha ){\mathcal {SH}}(u_{0}\cos \alpha ){\mathcal {F}}_{\alpha },\end{aligned}}}$$

eso es,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{\alpha }[f(u+u_{0})]&=e^{j\pi u_{0}^{2}\sin \alpha \cos \alpha }e^{j2\pi uu_{0}\sin \alpha }f_{\alpha }(u+u_{0}\cos \alpha )\end{aligned}}}$$

Transformada de una función escalada

Defina los operadores de multiplicación de escala y chirrido de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}M(M)[f(u)]&=|M|^{-{\frac {1}{2}}}f\left({\tfrac {u}{M}}\right)\\Q(q)[f(u)]&=e^{-j\pi qu^{2}}f(u)\end{aligned}}}$$

Entonces,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{\alpha }M(M)&=Q\left(-\cot \left({\frac {1-\cos ^{2}\alpha '}{\cos ^{2}\alpha }}\alpha \right)\right)\times M\left({\frac {\sin \alpha }{M\sin \alpha '}}\right){\mathcal {F}}_{\alpha '}\\[6pt]{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[|M|^{-{\frac {1}{2}}}f\left({\tfrac {u}{M}}\right)\right]&={\sqrt {\frac {1-j\cot \alpha }{1-jM^{2}\cot \alpha }}}e^{j\pi u^{2}\cot \left({\frac {1-\cos ^{2}\alpha '}{\cos ^{2}\alpha }}\alpha \right)}\times f_{a}\left({\frac {Mu\sin \alpha '}{\sin \alpha }}\right)\end{aligned}}}$$

Observe que la transformada fraccionaria de Fourier de no se puede expresar como una versión escalada de . Más bien, la transformada fraccionaria de Fourier resulta ser una versión escalada y modulada con chirrido de donde hay un orden diferente. ${\displaystyle f(u/M)}$ ${\displaystyle f_{\alpha }(u)}$ ${\displaystyle f(u/M)}$ ${\displaystyle f_{\alpha '}(u)}$ ${\displaystyle \alpha \neq \alpha '}$

núcleo fraccionario

La FRFT es una transformada integral.

$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }f(u)=\int K_{\alpha }(u,x)f(x)\,\mathrm {d} x}$$

$${\displaystyle K_{\alpha }(u,x)={\begin{cases}{\sqrt {1-i\cot(\alpha )}}\exp \left(i\pi (\cot(\alpha )(x^{2}+u^{2})-2\csc(\alpha )ux)\right)&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is not a multiple of }}\pi ,\\\delta (u-x)&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is a multiple of }}2\pi ,\\\delta (u+x)&{\mbox{if }}\alpha +\pi {\mbox{ is a multiple of }}2\pi ,\\\end{cases}}}$$

Aquí nuevamente los casos especiales son consistentes con el comportamiento límite cuando α se aproxima a un múltiplo de π .

El FRFT tiene las mismas propiedades que sus núcleos:

• simetría: ${\displaystyle K_{\alpha }~(u,u')=K_{\alpha }~(u',u)}$
• inverso: ${\displaystyle K_{\alpha }^{-1}(u,u')=K_{\alpha }^{*}(u,u')=K_{-\alpha }(u',u)}$
• aditividad: ${\displaystyle K_{\alpha +\beta }(u,u')=\int K_{\alpha }(u,u'')K_{\beta }(u'',u')\,\mathrm {d} u''.}$

Transformaciones relacionadas

También existen generalizaciones fraccionarias relacionadas de transformadas similares, como la transformada discreta de Fourier .

• La transformada fraccionaria discreta de Fourier está definida por Zeev Zalevsky . ^{[9] [10]} Somma describe un algoritmo cuántico para implementar una versión de la transformada fraccionaria discreta de Fourier en tiempo subpolinomial. ^[11]
• La transformada wavelet fraccional (FRWT) es una generalización de la transformada wavelet clásica en los dominios de la transformada wavelet fraccionaria. ^[12]
• La transformada chirplet para una generalización relacionada de la transformada wavelet .

Generalizaciones

La transformada de Fourier es esencialmente bosónica ; Funciona porque es consistente con el principio de superposición y los patrones de interferencia relacionados. También existe una transformada fermiónica de Fourier. ^[13] Estos se han generalizado en una FRFT supersimétrica y una transformada de radón supersimétrica . ^[13] También hay una transformada de radón fraccionada, una FRFT simpléctica y una transformada wavelet simpléctica . ^[14] Debido a que los circuitos cuánticos se basan en operaciones unitarias , son útiles para calcular transformaciones integrales , ya que estas últimas son operadores unitarios en un espacio funcional . Se ha diseñado un circuito cuántico que implementa la FRFT. ^[15]

Interpretación

Una función rect se convierte en una función sinc cuando el orden de la transformada fraccionaria de Fourier se vuelve 1

La interpretación habitual de la transformada de Fourier es como una transformación de una señal en el dominio del tiempo en una señal en el dominio de la frecuencia. Por otro lado, la interpretación de la transformada de Fourier inversa es como una transformación de una señal en el dominio de la frecuencia en una señal en el dominio del tiempo. Las transformadas fraccionarias de Fourier transforman una señal (ya sea en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia) en el dominio entre el tiempo y la frecuencia: es una rotación en el dominio del tiempo-frecuencia . Esta perspectiva se generaliza mediante la transformación canónica lineal , que generaliza la transformada fraccionaria de Fourier y permite transformaciones lineales del dominio tiempo-frecuencia distintas de la rotación.

Tome la siguiente figura como ejemplo. Si la señal en el dominio del tiempo es rectangular (como se muestra a continuación), se convierte en una función sinc en el dominio de la frecuencia. Pero si se aplica la transformada fraccionaria de Fourier a la señal rectangular, la salida de la transformación estará en el dominio entre el tiempo y la frecuencia.

Transformada fraccionaria de Fourier

La transformada fraccionaria de Fourier es una operación de rotación en una distribución tiempo-frecuencia . Según la definición anterior, para α  = 0, no habrá cambios después de aplicar la transformada fraccionaria de Fourier, mientras que para α  =  π /2, la transformada fraccionaria de Fourier se convierte en una transformada de Fourier simple, que rota la distribución tiempo-frecuencia con  π / 2. Para otros valores de  α , la transformada fraccionaria de Fourier rota la distribución tiempo-frecuencia según α. La siguiente figura muestra los resultados de la transformada fraccionaria de Fourier con diferentes valores de  α .

Distribución tiempo/frecuencia de la transformada fraccionaria de Fourier

Solicitud

La transformada fraccional de Fourier se puede utilizar en análisis de frecuencia de tiempo y DSP . ^[16] Es útil filtrar el ruido, pero con la condición de que no se superponga con la señal deseada en el dominio tiempo-frecuencia. Considere el siguiente ejemplo. No podemos aplicar un filtro directamente para eliminar el ruido, pero con la ayuda de la transformada fraccionaria de Fourier, podemos rotar la señal (incluyendo la señal y el ruido deseados) primero. Luego aplicamos un filtro específico, que dejará pasar sólo la señal deseada. De esta forma el ruido se eliminará por completo. Luego usamos la transformada fraccionaria de Fourier nuevamente para rotar la señal hacia atrás y podemos obtener la señal deseada.

Transformada fraccionaria de Fourier en DSP

Por lo tanto, utilizando simplemente truncamiento en el dominio del tiempo, o filtros de paso bajo equivalentes en el dominio de la frecuencia, se puede eliminar cualquier conjunto convexo en el espacio tiempo-frecuencia. Por el contrario, el uso de herramientas en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia sin una transformada fraccionaria de Fourier solo permitiría cortar rectángulos paralelos a los ejes.

Las transformadas fraccionarias de Fourier también tienen aplicaciones en física cuántica. Por ejemplo, se utilizan para formular relaciones de incertidumbre entrópica, ^[17] en esquemas de distribución de claves cuánticas de alta dimensión con fotones individuales, ^[18] y en la observación del entrelazamiento espacial de pares de fotones. ^[19]

También son útiles en el diseño de sistemas ópticos y para optimizar la eficiencia del almacenamiento holográfico. ^[20]

Ver también

• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• calculo fraccionario
• Núcleo de Mehler

Otras transformaciones tiempo-frecuencia:

• Transformación canónica lineal
• Transformada de Fourier de corto tiempo
• transformada wavelet
• Transformación de chirplets
• Función de distribución en forma de cono
• Transformada cuadrática de Fourier

Referencias

1. Condon, Edward U. (1937). "Inmersión de la transformada de Fourier en un grupo continuo de transformaciones funcionales". Proc. Nacional. Acad. Ciencia. EE.UU . 23 (3): 158–164. Código bibliográfico : 1937PNAS...23..158C. doi : 10.1073/pnas.23.3.158 . PMC  1076889 . PMID  16588141.
2. Namías, V. (1980). "La transformada de Fourier de orden fraccionario y su aplicación a la mecánica cuántica". Revista IMA de Matemática Aplicada . 25 (3): 241–265. doi :10.1093/imamat/25.3.241.
3. Wiener, N. (abril de 1929). "Polinomios hermitianos y análisis de Fourier". Revista de Matemáticas y Física . 8 (1–4): 70–73. doi : 10.1002/sapm19298170.
4. Almeida, Luis B. (1994). "La transformada fraccionaria de Fourier y las representaciones tiempo-frecuencia". Traducción IEEE. Proceso de señal . 42 (11): 3084–3091. Código bibliográfico : 1994ITSP...42.3084A. doi : 10.1109/78.330368. S2CID  29757211.
5. Tao, corrió; Deng, Bing; Zhang, Wei-Qiang; Wang, Yue (2008). "Muestreo y conversión de frecuencia de muestreo de señales de banda limitada en el dominio de la transformada fraccionaria de Fourier". Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 56 (1): 158-171. Código Bib : 2008ITSP...56..158T. doi :10.1109/TSP.2007.901666. S2CID  7001222.
6. Bhandari, A.; Marziliano, P. (2010). "Muestreo y reconstrucción de señales dispersas en dominio fraccionario de Fourier". Cartas de procesamiento de señales IEEE . 17 (3): 221–224. Código Bib : 2010ISPL...17..221B. doi :10.1109/LSP.2009.2035242. hdl : 10356/92280 . S2CID  11959415.
7. Bailey, DH; Swarztrauber, PN (1991). "La transformada fraccionaria de Fourier y sus aplicaciones". Revisión SIAM . 33 (3): 389–404. doi :10.1137/1033097.(Tenga en cuenta que este artículo se refiere a la variante de transformación chirp-z, no a FRFT).
8. Missbauer, Andreas (2012). Marcos de Gabor y la transformada fraccionaria de Fourier (PDF) (Maestría). Universidad de Viena . Archivado desde el original (PDF) el 3 de noviembre de 2018 . Consultado el 3 de noviembre de 2018 .
9. Candan, Kutay y Ozaktas 2000.
10. Ozaktas, Zalevsky y Kutay 2001, capítulo 6.
11. Somma, Rolando D. (2016). "Simulaciones cuánticas de sistemas cuánticos unidimensionales". Información y Computación Cuántica . 16 : 1125-1168. arXiv : 1503.06319v2 .
12. Shi, junio; Zhang, NaiTong; Liu, Xiaoping (junio de 2012). "Una novedosa transformada wavelet fraccionaria y sus aplicaciones". Ciencia. Inf. China. Ciencia . 55 (6): 1270-1279. doi :10.1007/s11432-011-4320-x. S2CID  3772011.
13. De Bie, Hendrik (1 de septiembre de 2008). "Transformada de Fourier y transformaciones integrales relacionadas en el superespacio". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 345 (1): 147–164. arXiv : 0805.1918 . Código Bib : 2008JMAA..345..147D. doi :10.1016/j.jmaa.2008.03.047. S2CID  17066592.
14. Fan, Hong-yi; Hu, Li-yun (2009). "Transformación óptica de chirplet a núcleo de transformación fraccionada de Fourier". Revista de Óptica Moderna . 56 (11): 1227-1229. arXiv : 0902.1800 . Código Bib : 2009JMOp...56.1227F. doi :10.1080/09500340903033690. S2CID  118463188.
15. Klappenecker, Andreas; Roetteler, Martín (enero de 2002). "Ingeniería de algoritmos cuánticos funcionales". Revisión física A. 67 (1): 010302. arXiv : quant-ph/0208130 . doi :10.1103/PhysRevA.67.010302. S2CID  14501861.
16. Sejdic, Ervin; Djurović, Igor; Stanković, LJubiša (junio de 2011). "La transformada fraccional de Fourier como herramienta de procesamiento de señales: una descripción general de los desarrollos recientes". Procesamiento de la señal . 91 (6): 1351-1369. doi :10.1016/j.sigpro.2010.10.008. S2CID  14203403.
17. Huang, Yichen (24 de mayo de 2011). "Relaciones de incertidumbre entrópica en espacios multidimensionales de posición y momento". Revisión física A. 83 (5): 052124. arXiv : 1101.2944 . Código Bib : 2011PhRvA..83e2124H. doi : 10.1103/PhysRevA.83.052124. S2CID  119243096.
18. Walborn, SP; Lemelle, DS; Tasca, DS; Souto Ribeiro, PH (13 de junio de 2008). "Esquemas para la distribución de claves cuánticas con alfabetos de orden superior utilizando óptica de Fourier fraccional de fotón único". Revisión física A. 77 (6): 062323. doi : 10.1103/PhysRevA.77.062323.
19. Tasca, DS; Walborn, SP; Souto Ribeiro, PH; Toscano, F (8 de julio de 2008). "Detección de entrelazamiento transversal en el espacio de fases". Revisión física A. 78 (1): 010304(R). arXiv : 0806.3044 . doi : 10.1103/PhysRevA.78.010304. S2CID  118607762.
20. Pegard, Nicolas C.; Fleischer, Jason W. (2011). "Optimización del almacenamiento de datos holográficos mediante una transformada fraccionada de Fourier". Letras de Óptica . 36 (13): 2551–2553. Código Bib : 2011OptL...36.2551P. doi :10.1364/OL.36.002551. PMID  21725476.

Bibliografía

• Candán, C.; Kutay, MA; Ozaktas, HM (mayo de 2000). "La transformada de Fourier fraccionaria discreta" (PDF) . Transacciones IEEE sobre procesamiento de señales . 48 (5): 1329-1337. Código bibliográfico : 2000ITSP...48.1329C. doi : 10.1109/78.839980. hdl : 11693/11130 .
• Ding, Jian-Jiun (2007). Análisis de frecuencia temporal y transformada wavelet (Apuntes de clase). Taipei, Taiwán: Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad Nacional de Taiwán (NTU).
• Lohmann, AW (1993). "Rotación de imagen, rotación de Wigner y transformada fraccionaria de Fourier". J. Optar. Soc. Soy . R (10): 2181–2186. Código Bib : 1993JOSAA..10.2181L. doi :10.1364/JOSAA.10.002181.
• Ozaktas, Haldun M .; Zalevsky, Zeev; Kutay, M. Alper (2001). La transformada fraccionaria de Fourier con aplicaciones en óptica y procesamiento de señales. Serie en Óptica Pura y Aplicada. John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-96346-2.
• Pei, Soo-Chang; Ding, Jian-Jiun (2001). "Relaciones entre operaciones fraccionarias y distribuciones tiempo-frecuencia, y sus aplicaciones". Traducción IEEE. Proceso de señal . 49 (8): 1638-1655. Código Bib : 2001ITSP...49.1638P. doi : 10.1109/78.934134.
• Saxena, Rajiv; Singh, Kulbir (enero-febrero de 2005). "Transformada fraccional de Fourier: una nueva herramienta para el procesamiento de señales" (PDF) . J. Instituto Indio. Ciencia . 85 : 11-26. Archivado desde el original (PDF) el 16 de julio de 2011.

enlaces externos

• DiscreteTFDs: software para calcular la transformada fraccionaria de Fourier y las distribuciones tiempo-frecuencia
• “Transformada Fraccionada de Fourier” de Enrique Zeleny, El Proyecto de Demostraciones Wolfram .
• Páginas web FRFT (Transformada fraccional de Fourier) del Dr. YangQuan Chen
• LTFAT: una caja de herramientas gratuita (GPL) de Matlab/Octave. Contiene varias versiones de la transformada fraccionaria de Fourier.