Recuperación de fase

Determinación algorítmica de partes del ciclo de onda.

La recuperación de fase es el proceso de encontrar algorítmicamente soluciones al problema de fase . Dada una señal compleja , de amplitud y fase : ${\displaystyle F(k)}$ ${\displaystyle |F(k)|}$ ${\displaystyle \psi (k)}$

${\displaystyle F(k)=|F(k)|e^{i\psi (k)}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ik\cdot x}\,dx}$

donde x es una coordenada espacial de M dimensiones y k es una coordenada de frecuencia espacial de M dimensiones. La recuperación de fase consiste en encontrar la fase que satisface un conjunto de restricciones para una amplitud medida. Las aplicaciones importantes de la recuperación de fase incluyen la cristalografía de rayos X , la microscopía electrónica de transmisión y la obtención de imágenes difractivas coherentes , para las cuales . ^[1] Klibanov y sus colaboradores demostraron los teoremas de unicidad para los casos 1-D y 2-D del problema de recuperación de fase, incluido el problema de dispersión inversa 1-D sin fase (ver Referencias). ${\displaystyle M=2}$

Formulación del problema

Aquí consideramos el problema de recuperación de fase de la transformada discreta de Fourier (DFT) 1-D. La DFT de una señal compleja viene dada por ${\displaystyle f[n]}$

${\displaystyle F[k]=\sum _{n=0}^{N-1}f[n]e^{-j2\pi {\frac {kn}{N}},}=|F[k]|\cdot e^{j\psi [k]}\quad k=0,1,\ldots ,N-1}$,

y el DFT sobremuestreado de está dado por ${\displaystyle x}$

${\displaystyle F[k]=\sum _{n=0}^{N-1}f[n]e^{-j2\pi {\frac {kn}{M}},}\quad k=0,1,\ldots ,M-1}$,

dónde . ${\displaystyle M>N}$

Dado que el operador DFT es biyectivo, esto equivale a recuperar la fase . Es común recuperar una señal de su secuencia de autocorrelación en lugar de su magnitud de Fourier. Es decir, denotar por el vector después de rellenar con ceros. La secuencia de autocorrelación de se define entonces como ${\displaystyle \psi [k]}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle g[m]=\sum _{i=\max\{1,m+1\}}^{N}{\hat {f}}_{i}{\overline {{\hat {f}}_{i-m}}},\quad m=-(N-1),\ldots ,N-1}$,

y el DFT de , denotado por , satisface . ${\displaystyle g[m]}$ ${\displaystyle G[k]}$ ${\displaystyle G[k]=|F[k]|^{2}}$

Métodos

Algoritmo de reducción de errores

Vista esquemática del algoritmo de reducción de errores para la recuperación de fase.

La reducción de errores es una generalización del algoritmo de Gerchberg-Saxton . Resuelve a partir de mediciones iterando un proceso de cuatro pasos. Para la iteración, los pasos son los siguientes: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle |F(u)|}$ ${\displaystyle k}$

Paso (1): , y son estimaciones de, respectivamente , y . En el primer paso calculamos la transformada de Fourier de : ${\displaystyle G_{k}(u)}$ ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle g_{k}(x)}$ ${\displaystyle F(u)}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g_{k}(x)}$

${\displaystyle G_{k}(u)=|G_{k}(u)|e^{i\phi _{k}(u)}={\mathcal {F}}(g_{k}(x)).}$

Paso (2): El valor experimental de , calculado a partir del patrón de difracción mediante la ecuación de la señal ^{[ se necesita aclaración ]} , luego se sustituye por , dando una estimación de la transformada de Fourier: ${\displaystyle |F(u)|}$ ${\displaystyle |G_{k}(u)|}$

${\displaystyle G'_{k}(u)=|F(u)|e^{i\phi _{k}(u)},}$

donde ' denota un resultado intermedio que se descartará más adelante.

Paso (3): la estimación de la transformada de Fourier se transforma entonces en inversa: ${\displaystyle G'_{k}(u)}$

${\displaystyle g'_{k}(x)=|g'_{k}(x)|e^{i\theta '_{k}(x)}={\mathcal {F}}^{-1}(G'_{k}(u)).}$

Paso (4): luego debe cambiarse para que la nueva estimación del objeto, satisfaga las restricciones del objeto ^{[ aclaración necesaria ]} . por lo tanto se define por partes como: ${\displaystyle g'_{k}(x)}$ ${\displaystyle g_{k+1}(x)}$ ${\displaystyle g_{k+1}(x)}$

${\displaystyle g_{k+1}(x)\equiv {\begin{cases}g'_{k}(x),&x\notin \gamma ,\\0,&x\in \gamma ,\end{cases}}}$

¿Dónde está el dominio en el que no se satisfacen las restricciones del objeto? Se obtiene una nueva estimación y se repite el proceso de cuatro pasos. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle g'_{k}(x)}$ ${\displaystyle g_{k+1}(x)}$

Este proceso continúa hasta que se satisfacen tanto la restricción de Fourier como la restricción del objeto. Teóricamente, el proceso siempre conducirá a una convergencia , ^[1] pero el gran número de iteraciones necesarias para producir una imagen satisfactoria (generalmente >2000) da como resultado que el algoritmo de reducción de errores por sí solo no sea adecuado para aplicaciones prácticas.

Algoritmo híbrido de entrada-salida

El algoritmo híbrido de entrada y salida es una modificación del algoritmo de reducción de errores: las tres primeras etapas son idénticas. Sin embargo, ya no actúa como una estimación de , sino que es la función de entrada correspondiente a la función de salida , que es una estimación de . ^[1] En el cuarto paso, cuando la función viola las restricciones del objeto, el valor de se fuerza hacia cero, pero óptimamente no hacia cero. La principal ventaja del algoritmo híbrido de entrada-salida es que la función contiene información de retroalimentación sobre iteraciones anteriores, lo que reduce la probabilidad de estancamiento. Se ha demostrado que el algoritmo híbrido de entrada-salida converge a una solución significativamente más rápido que el algoritmo de reducción de errores. Su tasa de convergencia se puede mejorar aún más mediante algoritmos de optimización del tamaño de paso. ^[2] ${\displaystyle g_{k}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g'_{k}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g'_{k}(x)}$ ${\displaystyle g_{k+1}(x)}$ ${\displaystyle g_{k}(x)}$

${\displaystyle g_{k+1}(x)\equiv {\begin{cases}g'_{k}(x),&x\notin \gamma ,\\g_{k}(x)-\beta {g'_{k}(x)},&x\in \gamma .\end{cases}}}$

Aquí hay un parámetro de retroalimentación que puede tomar un valor entre 0 y 1. Para la mayoría de las aplicaciones, proporciona resultados óptimos. {Scientific Reports volumen 8, número de artículo: 6436 (2018)} ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta \approx 0.9}$

Envoltura retráctil

Para un problema de recuperación de fase bidimensional, existe una degeneración de soluciones ya que y su conjugado tienen el mismo módulo de Fourier. Esto conduce a un "hermanamiento de imágenes" en el que el algoritmo de recuperación de fase se estanca produciendo una imagen con características tanto del objeto como de su conjugado . ^[3] La técnica de envoltura retráctil actualiza periódicamente la estimación del soporte mediante un filtrado de paso bajo de la estimación actual de la amplitud del objeto (mediante convolución con un gaussiano ) y aplicando un umbral, lo que lleva a una reducción en la ambigüedad de la imagen. ^[4] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f^{*}(-x)}$

Algoritmo semidefinido basado en relajación para transformada de Fourier de corto tiempo

La recuperación de fases es un problema mal planteado. Para identificar de forma única la señal subyacente, además de los métodos que agregan información previa adicional como el algoritmo de Gerchberg-Saxton , la otra forma es agregar mediciones de solo magnitud como la transformada de Fourier de corto tiempo (STFT).

El método que se presenta a continuación se basa principalmente en el trabajo de Jaganathan et al . ^[5]

Transformada de Fourier de corto tiempo

Dada una señal discreta que se muestrea de . Usamos una ventana de longitud W : para calcular el STFT de , denotada por : ${\displaystyle \mathbf {x} =(f[0],f[1],...,f[N-1])^{T}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {w} =(w[0],w[1],...,w[W-1])^{T}}$ ${\displaystyle \mathrm {f} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

${\displaystyle Y[m,r]=\sum _{n=0}^{N-1}{f[n]w[rL-n]e^{-i2\pi {\frac {mn}{N}}}}}$

para y , donde el parámetro denota la separación en el tiempo entre secciones de corta duración adyacentes y el parámetro denota el número de secciones de corta duración consideradas. ${\displaystyle 0\leq m\leq N-1}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq R-1}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R=\left\lceil {\frac {N+W-1}{L}}\right\rceil }$

La otra interpretación (llamada interpretación de ventana deslizante) de STFT se puede utilizar con la ayuda de la transformada discreta de Fourier (DFT). Let denota el elemento de ventana obtenido de la ventana desplazada y volteada . Entonces nosotros tenemos ${\displaystyle w_{r}[n]=w[rL-n]}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle \mathbf {Y} =[\mathbf {Y} _{0},\mathbf {Y} _{1},...,\mathbf {Y} _{R-1}]}$, dónde . ${\displaystyle \mathbf {Y} _{r}=\mathbf {x} \circ \mathbf {w} _{r}}$

Definición del problema

Sean las medidas correspondientes a la magnitud cuadrada del STFT de , la matriz diagonal con elementos diagonales de recuperación de fase STFT se puede expresar como: ${\displaystyle {Z}_{w}[m,r]=|Y[m,r]|^{2}}$ ${\displaystyle N\times R}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {W} _{r}}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle \left(w_{r}[0],w_{r}[1],\ldots ,w_{r}[N-1]\right).}$

Encuentre algo que for y , donde esté la -ésima columna de la matriz DFT inversa de puntos. ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle Z_{w}[m,r]=\left|\left\langle \mathbf {f} _{m},\mathbf {W} _{r}\mathbf {x} \right\rangle \right|^{2}}$ ${\displaystyle 0\leq m\leq N-1}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq R-1}$ ${\displaystyle \mathbf {f} _{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle N}$

Intuitivamente, la creciente complejidad computacional hace que el método no sea práctico. De hecho, sin embargo, en la mayoría de los casos prácticos solo necesitamos considerar las medidas correspondientes a , para cualquier parámetro que satisfaga . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0\leq m\leq M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 2W\leq M\leq N}$

Para ser más específico, si tanto la señal como la ventana no desaparecen , es decir, para todos y para todos , la señal se puede identificar de forma única a partir de su magnitud STFT si se cumplen los siguientes requisitos: ${\displaystyle x[n]\neq 0}$ ${\displaystyle 0\leq n\leq N-1}$ ${\displaystyle w[n]\neq 0}$ ${\displaystyle 0\leq }$ ${\displaystyle n\leq W-1}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

1. ${\displaystyle L<W\leq N/2}$,
2. ${\displaystyle 2W\leq M\leq N}$.

La prueba se puede encontrar en el trabajo de Jaganathan, ^[5] que reformula la recuperación de fase STFT como el siguiente problema de mínimos cuadrados:

${\displaystyle \min _{\mathbf {x} }\sum _{r=0}^{R-1}\sum _{m=0}^{N-1}\left(Z_{w}[m,r]-\left|\left\langle \mathbf {f} _{m},\mathbf {W} _{r}\mathbf {x} \right\rangle \right|^{2}\right)^{2}}$.

El algoritmo, aunque sin garantías teóricas de recuperación, empíricamente es capaz de converger al mínimo global cuando existe una superposición sustancial entre secciones adyacentes de corto tiempo.

Algoritmo basado en relajación semidefinida

Para establecer garantías de recuperación, una forma es formular los problemas como un programa semidefinido (SDP), incrustando el problema en un espacio de dimensiones superiores utilizando la transformación y relajando la restricción de rango uno para obtener un programa convexo. El problema reformulado se expresa a continuación: ${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\ast }}$

Obtener resolviendo: para y ${\displaystyle \mathbf {\hat {X}} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {minimize} ~~~\mathrm {trace} (\mathbf {X} )\\[6pt]&\mathrm {subject~to} ~~Z[m,r]=\mathrm {trace} (\mathbf {W} _{r}^{\ast }\mathbf {f} _{m}\mathbf {f} _{m}^{\ast }\mathbf {W} _{r}\mathbf {X} )\\[0pt]&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {X} \succeq 0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 1\leq m\leq M}$ ${\displaystyle 0\leq r\leq R-1}$

Una vez encontrada, podemos recuperar la señal mediante la mejor aproximación de rango uno. ${\displaystyle \mathbf {\hat {X}} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Aplicaciones

La recuperación de fase es un componente clave de las imágenes de difracción coherente (CDI). En CDI, se mide la intensidad del patrón de difracción dispersado desde un objetivo. Luego se obtiene la fase del patrón de difracción utilizando algoritmos de recuperación de fase y se construye una imagen del objetivo. De esta forma, la recuperación de fase permite convertir un patrón de difracción en una imagen sin lente óptica .

Utilizando algoritmos de recuperación de fase, es posible caracterizar sistemas ópticos complejos y sus aberraciones. ^[6] Por ejemplo, la recuperación de fase se utilizó para diagnosticar y reparar la óptica defectuosa del Telescopio Espacial Hubble . ^{[7] [8]}

Otras aplicaciones de la recuperación de fases incluyen la cristalografía de rayos X y la microscopía electrónica de transmisión .

Ver también

• problema de fase
• Cristalografía
• Cristalografía de rayos X
• Imágenes de difracción coherente
• Ecuación de transporte de intensidad
• Correlación de fase

Referencias

1. Fienup, JR (1 de agosto de 1982). "Algoritmos de recuperación de fases: una comparación". Óptica Aplicada . 21 (15): 2758–69. Código Bib : 1982ApOpt..21.2758F. doi :10.1364/AO.21.002758. ISSN  0003-6935. PMID  20396114.
2. Marchesini, S. (25 de enero de 2007). "Artículo invitado: una evaluación unificada de algoritmos de proyección iterativos para la recuperación de fases". Revisión de Instrumentos Científicos . 78 (1): 011301–011301–10. arXiv : física/0603201 . Código Bib : 2007RScI...78a1301M. doi : 10.1063/1.2403783. ISSN  0034-6748. PMID  17503899. S2CID  7462041.
3. Fienup, JR; Wackerman, CC (1 de noviembre de 1986). "Problemas y soluciones de estancamiento de recuperación de fases". Revista de la Sociedad Óptica de América A. 3 (11): 1897. Código bibliográfico : 1986JOSAA...3.1897F. doi :10.1364/JOSAA.3.001897. ISSN  1084-7529.
4. Marchesini, S.; Él, H.; Chapman, HN; Hau-Riege, SP; Noy, A.; Howells, señor; Weierstall, U.; Spence, JCH (28 de octubre de 2003). "Reconstrucción de imágenes de rayos X únicamente a partir de un patrón de difracción". Revisión Física B. 68 (14): 140101. arXiv : física/0306174 . Código bibliográfico : 2003PhRvB..68n0101M. doi : 10.1103/PhysRevB.68.140101. ISSN  0163-1829. S2CID  14224319.
5. Jaganathan, Kishore; Eldar, Yonina C.; Hassibi, Babak (junio de 2016). "Recuperación de fase STFT: garantías de unicidad y algoritmos de recuperación". Revista IEEE de temas seleccionados en procesamiento de señales . 10 (4): 770–781. arXiv : 1508.02820 . Código Bib : 2016ISTSP..10..770J. doi : 10.1109/JSTSP.2016.2549507 . ISSN  1941-0484.
6. Fienup, JR (1 de abril de 1993). "Algoritmos de recuperación de fase para un sistema óptico complicado". Óptica Aplicada . 32 (10): 1737-1746. Código Bib : 1993ApOpt..32.1737F. doi :10.1364/AO.32.001737. ISSN  2155-3165. PMID  20820307.
7. "Primera persona: el descubrimiento de un científico pone el espacio en foco". www.wbur.org . Abril 2022 . Consultado el 30 de mayo de 2022 .Entrevista al profesor Robert Gonsalves.
8. Krist, JE; Madrigueras, CJ (1 de agosto de 1995). "Análisis de recuperación de fases de imágenes del telescopio espacial Hubble antes y después de la reparación". Óptica Aplicada . 34 (22): 4951–64. Código Bib : 1995ApOpt..34.4951K. doi :10.1364/AO.34.004951. PMID  21052338.

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• Klibanov, MV (1987). "Problemas de dispersión inversa y restauración de una función a partir del módulo de su transformada de Fourier". Matemáticas siberianas J. 27 (5): 708–719. doi :10.1007/bf00969199. S2CID  120840929.
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