Una representación de tiempo-frecuencia ( TFR ) es una vista de una señal (considerada como una función del tiempo) representada tanto en el tiempo como en la frecuencia . [1] Análisis tiempo-frecuencia significa análisis en el dominio tiempo-frecuencia proporcionado por un TFR. Esto se logra mediante el uso de una formulación a menudo llamada "Distribución tiempo-frecuencia", abreviada como TFD.
Los TFR son a menudo campos de valores complejos en el tiempo y la frecuencia, donde el módulo del campo representa amplitud o "densidad de energía" (la concentración de la raíz cuadrática media en el tiempo y la frecuencia), y el argumento del campo representa la fase.
Una señal , en función del tiempo, puede considerarse como una representación con perfecta resolución temporal . Por el contrario, la magnitud de la transformada de Fourier (FT) de la señal puede considerarse como una representación con resolución espectral perfecta pero sin información temporal porque la magnitud de la FT transmite contenido de frecuencia pero no transmite cuando, en el tiempo, diferentes Los eventos ocurren en la señal.
Los TFR proporcionan un puente entre estas dos representaciones en el sentido de que proporcionan cierta información temporal y cierta información espectral simultáneamente. Por tanto, los TFR son útiles para la representación y análisis de señales que contienen múltiples frecuencias que varían en el tiempo.
Una forma de TFR (o TFD) puede formularse mediante la comparación multiplicativa de una señal consigo misma, expandida en diferentes direcciones en cada momento. Estas representaciones y formulaciones se conocen como TFR o TFD cuadráticos o "bilineales" (QTFR o QTFD) porque la representación es cuadrática en la señal (consulte Distribución bilineal tiempo-frecuencia ). Esta formulación fue descrita por primera vez por Eugene Wigner en 1932 en el contexto de la mecánica cuántica y, posteriormente, reformulada como una TFR general por Ville en 1948 para formar lo que hoy se conoce como distribución de Wigner-Ville , como se muestra en [2] que la fórmula de Wigner necesitaba utilizar la señal analítica definida en el artículo de Ville para ser útil como representación y para un análisis práctico. Hoy en día, los QTFR incluyen el espectrograma (magnitud al cuadrado de la transformada de Fourier de tiempo corto ), el escalaograma (magnitud al cuadrado de la transformada Wavelet) y la distribución pseudo-Wigner suavizada.
Aunque las TFR cuadráticas ofrecen resoluciones temporales y espectrales perfectas simultáneamente, la naturaleza cuadrática de las transformadas crea términos cruzados, también llamados "interferencias". Los términos cruzados causados por la estructura bilineal de TFD y TFR pueden ser útiles en algunas aplicaciones, como la clasificación, ya que los términos cruzados proporcionan detalles adicionales para el algoritmo de reconocimiento. Sin embargo, en algunas otras aplicaciones, estos términos cruzados pueden afectar a ciertas TFR cuadráticas y sería necesario reducirlos. Una forma de hacerlo se obtiene comparando la señal con una función diferente. Estas representaciones resultantes se conocen como TFR lineales porque la representación es lineal en la señal. Un ejemplo de tal representación es la transformada de Fourier en ventana (también conocida como transformada de Fourier de tiempo corto ) que localiza la señal modulándola con una función de ventana, antes de realizar la transformada de Fourier para obtener el contenido de frecuencia de la señal en la región. de la ventana.
Las transformadas wavelet, en particular la transformada wavelet continua , expanden la señal en términos de funciones wavelet que se localizan tanto en el tiempo como en la frecuencia. Por tanto, la transformada wavelet de una señal puede representarse tanto en términos de tiempo como de frecuencia.
Las nociones de tiempo, frecuencia y amplitud utilizadas para generar una TFR a partir de una transformada wavelet se desarrollaron originalmente de forma intuitiva. En 1992, se publicó una derivación cuantitativa de estas relaciones, basada en una aproximación de fase estacionaria . [3]
Las transformaciones canónicas lineales son las transformaciones lineales de la representación tiempo-frecuencia que preservan la forma simpléctica . Estos incluyen y generalizan la transformada de Fourier , la transformada fraccionada de Fourier y otras, proporcionando así una visión unificada de estas transformadas en términos de su acción en el dominio tiempo-frecuencia.
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